Nội dung bài học sẽ cung cấp đến các em khái niệm về hai loại số tự nhiên đặc biệt là số nguyên tố và hợp số cùng với những dạng toán liên quan. Bên cạnh đó là những bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng nắm được nội dung bài học.
Ví dụ 1:
Số 7 chỉ có hai ước là 1 và 7, khi đó ta nói 7 là số nguyên tố.
Số 6 có các ước số là 1, 2, 3, 6, khi đó ta nói 6 là hợp số.
Như vậy, ta có định nghĩa:
Cho một số tự nhiên a > 1
a được gọi là số nguyên tố nếu Ư(a) = {1, a} (không có ước nào ngoài 1 và chính nó)
a được gọi là hợp số nếu Ư(a) = {1,…,a) (có nhiều hơn 2 ước)
Chú ý: Ta cần chú ý rằng:
- Số 0 và số 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải hợp số.
- Số nguyên tố nhỏ nhất là số 2 và là số nguyên tố chẵn duy nhất.
Để chứng minh a là một số nguyên tố, ta chỉ cần chỉ ra được nó không chia hết cho mọi số nguyên tố có bình phương nhỏ hơn a.
Tổng quát: Số nguyên tooso khác 2 và 3 đều có dạng: \(6n \pm 1\) với \(n \in {N^*}\)
Ta có định nghĩa công việc:
Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố.
Mọi hợp số đều phân tích được ra thừa số nguyên tố và cách phân tích này là duy nhất.
Ví dụ 2: Phân tích số 30 ra thừa số nguyên tố:
60 | 2 |
30 | 2 |
15 | 3 |
5 | 4 |
1 |
Suy ra \(60{\rm{ }} = {\rm{ }}2.3.5{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}{.3^1}{.5^1}\)
Như vậy, số 30 đã được phân tích ra thừa số nguyên tố.
Từ ví dụ trên ta có một số nhận xét sau:
Khi viết, các thừa số nguyên tố được sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
Ư(60)={2,3,5,6 =2.3.10=2.5.12=23 .3.15 = 3.5.20=22.5.30=2.3.5.60=22.3.5}
Số 60 có:
(2+1)(1+1)(1+1)=3.2.2=12 (ước số)
Nhận xét:
1. Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của mỗi số nguyên tố là chính số đó.
2. Nếu số A được phân tích dưới dạng:
\(A = {a^m}.{b^n}.{c^p}...\)
Trong đó a, b, c là các số nguyên tố, thì A có tất cả:
(m+1)(n+1)(p+1)…
Ước số
Ví dụ 3: Cho số 420
a. Phân tích 420 ra thừa số nguyên tố.
b. Số 420 có tất cả bao nhiêu ước số.
c. Liệt kê tất cả các ước đó.
Giải
a. Ta có:
\(420 = {2^2}.3.5.7\)
b. Số các ước số của 420 là:
(1+2)(1+1)(1+1)(1+1)=24 (ước)
c. Ta liệt kê trình tự theo 4 bước sau:
B1: 420 có các ước là: \(1,2,{2^2}\) (1)
B2: Nhân các số hạng của dãy số (1) với 3, ta được dãy: 3, 6, 12 (2)
B3: Nhân các số hạng của dãy (1) (2) với 5, ta được dãy: 5, 10, 20, 15, 30, 60 (3)
B4: Nhân các số hạng của dãy (1) (2) (3) với 7, ta được dãy:
7, 14, 28, 21, 42, 84, 53, 70, 170, 105, 210, 420 (4)
Vậy ta có đủ 24 ước của 420:
1 2 3 4 5 6 7 10
12 14 15 20 21 28 30 42
53 60 70 84 105 140 210 420
Bài 1: Chứng minh rằng các số sau đây là hợp số:
a. \({12^{11}} + {13^{17}} + {17^{19}}\)
b. \(1 + {23^{23}} + {29^{29}} + {25^{125}}\)
c. \({45^{25}} + {37^{15}}\)
d. \({95^{354}} + {51^{25}}\)
Giải
Chứng minh rằng chữ số tận cùng trong luỹ thừa chia hết cho 2.
a. Khi đó \({12^{11}} + {13^{17}} + {17^{19}}\) có chữ số tận cùng là 8
b. Khi đó \(1 + {23^{23}} + {29^{29}} + {25^{125}}\) có chữ số tận cùng là 4
c. Khi đó \({45^{25}} + {37^{15}}\) có chữ số tận cùng là 2
d. Khi đó \({95^{354}} + {51^{25}}\)có chữ số tận cùng là 6.
Bài 2: Trong một phép chia, số bị chia bằng 99, số dư bằng 8. Tìm số chia và thương.
Giải
Giả sử
99 = a . x + 8 (với a là số chia, x là thương, a > 8)
\( \Rightarrow \) a . x = 91.
Suy ra, a phải là ước của 91 và a > 8
Phân tích ra thừa số nguyên tố, ta được:
91 = 13 . 7
Vậy ta có hai đáp số
* Số chia bằng 13, thương bẳng 7
99 = 13 . 7 + 8
* Số chia bằng 91, thương bằng 1
99 = 91 . 1 + 8.
Bài 3: Tìm số tự nhiên n thoả mãn: n, n + 2, n + 6 đều là số nguyên tố.
Giải
Từ giả thiết: n là số nguyên tố
Suy ra:
n = 3 hoặc n = 5
Với n = 3 suy ra n + 6 = 3 + 6 = 9 (không phải là số nguyên tố)
Với n = 5 ta được:
n = 5 suy ra n + 2 = 7, n + 6 = 11 (đều là số nguyên tố)
Vậy n = 5 thoả mãn.
Qua bài giảng Số nguyên tố, hợp số và bảng số nguyên tố này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 6 Chương 1 Bài 14để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Trong các số sau, số nào là số nguyên tố: 2, 4, 13, 19, 25, 31
Khẳng định nào sau đây là sai?
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 6 Chương 1 Bài 14 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 6 tập 1
Bài tập 149 trang 24 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 14.2 trang 25 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 14.1 trang 25 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 158 trang 25 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 156 trang 25 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 157 trang 25 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 155 trang 25 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 154 trang 25 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 153 trang 25 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 152 trang 25 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 151 trang 24 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 150 trang 24 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 115 trang 47 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 148 trang 24 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 124 trang 48 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 123 trang 48 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 122 trang 47 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 121 trang 47 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 120 trang 47 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 119 trang 47 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 118 trang 47 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 117 trang 47 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 116 trang 47 SGK Toán 6 Tập 1
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 6 DapAnHay
Trong các số sau, số nào là số nguyên tố: 2, 4, 13, 19, 25, 31
Khẳng định nào sau đây là sai?
Tìm số tự nhiên a sao cho \(\overline {6{\rm{a}}} \) là số nguyên tố?
Ba số tự nhiên lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố là?
Chọn phát biểu sai:
Tổng (hiệu) là số nguyên tố hay hợp số?
a) 5.6.7 + 8.9
b) 5.7.9.11 – 2.3.7
c) 5.7.11 + 13.17.19
d) 4253 + 1422
Tìm số tự nhiên \(\overline {abc} \) có ba chữ số khác nhau, chia hết cho các số nguyên tố a, b, c.
Có bao nhiêu số nguyên tố có hai chữ số mà chữ số hàng đơn vị là 1?
(A) 3 số ;
(B) 4 số ;
(C) 5 số ;
(D) 6 số.
Hãy chọn phương án đúng
Gọi a = 2.3.4.5. .. .101. có phải 100 số tự nhiên liên tiếp sau đều là hợp số không?
A + 2; a + 3; a + 4; ...; a + 101
Cho biết: Nếu số tự nhiên a (lớn hơn 1 ) không chia hết cho mọi số nguyên tố p mà bình phương không vượt quá a ( tức là p2 ≤ a) thì a là số nguyên tố. Dùng nhận xét trên cho biết số nào trong các số ở bài 153 là số nguyên tố?
a) Số 2009 có là bội số của 41 không?
b) Từ 2000 đến 2020 chỉ có ba số nguyên tố là 2003, 2011, 2017. Hãy giải thích tại sao các số lẻ trong khoảng từ 2000 đến 2010 đều là hợp số?
a) Nhà toán học Đức Gôn-bách viết thư cho nhà toán học Thuỵ Sĩ Ơ-le năm 1742 nói rằng: Mọi số tự nhiên lớn hơn 5 đều viết được dưới dạng tổng quát của 3 số nguyên tố. Hãy viết các số 6, 7, 8 dưới dạng tổng của 3 só nguyên tố.
b) Trong thư trả lời Gôn-bách, Ơ-le nói rằng: Mọi số chẵn lớn hơn 2 đều viết được dưới dạng tổng của hai số nguyên tố. Hãy viết các số 30; 32 dưới dạng tổng của 2 số nguyên tố. Cho đến nay, bài toán Gôn-bách – Ơ-le vẫn chưa có lời giải.
Hai số nguyên tố sinh đôi là hai số nguyên tố hơn kém nhau hai đơn vị. Tìm hai số nguyên tố sinh đôi nhỏ hơn 50.
Điền vào bảng sau mọi số nguyên tố p mà p2 ≤ a
a | 59 | 121 | 179 | 197 | 217 |
p |
Tìm số tự nhiên k để 5k là số nguyên tố
Thay chữ số vào dấu * để \(\overline {7*} \) là số nguyên tố
Thay chữ số vào dấu * để \(\overline {5*} \) là hợp số.
Các số sau là số nguyên tố hay hợp tố ?
312; 213; 435; 417; 3311; 67.
Máy bay có động cơ ra đời năm nào ?
Máy bay có động cơ ra đời năm \(\overline {abcd} \), trong đó:
a là số có đúng một ước;
b là hợp số lẻ nhỏ nhất;
c không phải là số nguyên tố, không phải là hợp số và c ≠ 1;
d là số nguyên tố lẻ nhỏ nhất.
Điền vào bảng sau mọi số nguyên tố p mà bình phương của nó không vượt quá a, tức là p2 ≤ a:
a | 29 | 67 | 49 | 127 | 173 | 253 |
p |
|
|
|
|
|
|
Điền dấu "X" vào ô thích hợp:
Câu | Đúng | Sai |
a) Có hai số tự nhiên liên tiếp đều là số nguyên tố.
|
|
|
b) Có ba số lẻ liên tiếp đều là số nguyên tố.
|
|
|
c) Mọi số nguyên tố đều là số lẻ.
|
|
|
d) Mọi số nguyên tố đều có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 1, 3, 7, 9. |
|
|
a) Tìm số tự nhiên k để 3 . k là số nguyên tố.
b) Tìm số tự nhiên k để 7 . k là số nguyên tố.
Thay chữ số vào dấu * để được số nguyên tố: ; .
Thay chữ số vào dấu * để được hợp số: ; .
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu trả lời của bạn
Gọi a,b,c lần lượt là các số hạng cần tìm
Theo bài ra ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=2010\\a=2b\\b=2\left(a+c\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=2010\\a-2b=0\\-2a+b-2c=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\)\(\text{a+b+c+a-2b-2a+b-2c=}2010\)
\(\Rightarrow-c=2010\Rightarrow c=-2010\)\(\Rightarrow a+b=4020\)
Kết hợp với a-2b=0 giải tương tự được a= 2680 và b=1340
Vậy 3 số cần tìm là 2680, 1340 và -2010
Bài 1: Tìm x thuộc N để (n^2-8)^2 +36 là số nguyên tố
Câu trả lời của bạn
\(\left(n^2-8\right)^2+36\)
\(=\left(n^4-16n^2+64\right)+36\)
\(=n^4+20n^2-36n^2+100\)
\(=\left(n^4+20n^2+100\right)-36n^2\)
\(=\left(n^2+10\right)^2-\left(6n\right)^2\)
\(=\left(n^2+10-6n\right)\left(n^2+10+6n\right)\)
Mà để \(\left(n^2+10-6n\right)\left(n^2+10+6n\right)\) là số nguyên tố thì \(n^2+10-6n=1\) hoặc \(n^2+10+6n=1\)
Mặt khác ta có \(n^2+10-6n< n^2+10+6n\)
\(\Rightarrow n^2+10-6n=1\left(n\in N\right)\)
\(\Rightarrow n^2+9-6n=0\)
\(\Rightarrow\left(n-3\right)^2=0\Rightarrow n=3\)
Vậy với \(n=3\) thì \(\left(n^2-8\right)^2+36\) là số nguyên tố.
Câu 8:
a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số sao cho số đó chia hết cho 2 và 9 nhưng chia cho 5 thì dư 3?
b) Trong các số 7; 10; 15; 21. Cặp số nào là số nguyên tố cùng nhau?
Câu trả lời của bạn
a) Số đó là 108
b) Cặp số 7 và 15 ; 10 và 21 ; 7 và 10
a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số sao cho số đó chia hết cho 2 và 9 nhưng chia cho 5 thì dư 3.
Giải
Gọi số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số cần tìm là \(\overline{abc}\)
Vì \(\overline{abc}\) \(⋮\) 2 và chia 5 dư 3
\(\Rightarrow\) c = 8.
Ta có số: \(\overline{ab8}\)
Vì a là chữ số đứng đầu \(\Rightarrow\) a > 0
Mà a nhỏ nhất \(\Rightarrow\) a = 1
Ta có số: \(\overline{1b8}\)
Vì \(\overline{1b8}\) \(⋮\) 9
\(\Rightarrow\) (1 + b + 8) \(⋮\) 9
\(\Rightarrow\) 9 + b \(⋮\) 9 mà b là chữ số
\(\Rightarrow\) b \(\in\) {0; 9}
Để \(\overline{1b8}\) nhỏ nhất
\(\Rightarrow\) b = 0.
Vậy số cần tìm là 108.
b) Trong các số 7; 10; 15; 21. Cặp số nào là số nguyên tố cùng nhau?
- Các cặp số nguyên tố cùng nhau là:
+ 7 và 10
+ 7 và 15
+ 10 và 21
a/ Thực hiện phép tính
A=(2^9+2^7+1).(2^23-2^21+2^19-2^17+2^14-2^10+2^9-2^7+1)
b/ Số 2^32+1 có là số nguyên tố không
Câu trả lời của bạn
a. Triển khai:
\(A=\left(2^9+2^7+1\right).\left(2^{33}-2^{21}+2^{19}-2^{17}+2^{14}-2^{10}+2^9-2^7+1\right)\)
\(A=2^{32}.\left(2^{23}+2^{23}-2^{24}\right)+\left(2^{18}-2^{17}-2^{17}\right)+\left(2^9+2^9-2^{10}+1\right)\)
\(A=2^{32}+1\)
b. Số \(2^{32}+1\) theo câu \(a\) thì là hợp số chứ không phải là số nguyên tố.
Câu 8:
a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số sao cho số đó chia hết cho 2 và 9 nhưng chia cho 5 thì dư 3?
b) Trong các số 7; 10; 15; 21. Cặp số nào là số nguyên tố cùng nhau?
Câu trả lời của bạn
Gọi số cần tìm là :a
Ta có a chia hết cho 18; chia 5 dư 3
Vậy a chia hết cho 18;a có tận cùng=8( số chia 5 dư 3 có tận cùng =8 hoặc 3)
Mà 100<=a<900
Vậy a=18k (k có tận cùng =6 hoặc 1)
Vậy k=11;16;21;26;31;36;41;46;51
b,Các cặp:(7;10);(7;15);(10;21)
bài 1 : tìm số nguyên tố p sao cho p + 6 , p + 8 , p + 12 , p + 14
bài 2 : số 2323 ; 151515 ; 344344 ; ababab là số nguyên tố hay hợp số
bài 3 : tìm số tự nhiên k để 17k là số nguyên tố
bài 4 : tìm sô nguyên tố p để
a) 5p + 3 là số nguyên tố
b) p + 2 ; p + 6 ; p + 8 là số nguyên tố
Câu trả lời của bạn
Bài 4. Giải
b) *Nếu p = 2 \(\Rightarrow\) p + 2 = 4 là hợp số (KTM)
*Nếu p = 3 \(\Rightarrow\) p + 6 = 9 là hợp số (KTM)
*Nếu p = 5 \(\Rightarrow\) p + 2 = 7, p + 6 = 11, p + 8 = 13 là hợp số (chọn)
*Nếu p > 5 \(\Rightarrow\) p \(⋮̸\) 5 \(\Rightarrow\) p = 5k + 1, p = 5k + 2, p = 5k + 3 hay p = 5k + 4 (k \(\in\) N*)
Khi p = 5k + 1 \(\Rightarrow\) p + 2 = 5k + 1 + 1 = 5k + 2 \(⋮̸\) 5
p + 6 = 5k + 1 + 6 = 5k + 7 \(⋮̸\) 5
p + 8 = 5k + 1 + 8 = 5k + 9 \(⋮̸\) 5
Đều là số nguyên tố (chọn)
Khi p = 5k + 2 \(\Rightarrow\) p + 8 = 5k + 2 + 8 = 5k + 10 \(⋮\) 5 là hợp số (KTM)
Khi p = 5k + 3 \(\Rightarrow\) p + 2 = 5k + 3 + 2 = 5k + 5 \(⋮\) 5 là hợp số (KTM)
Khi p = 5k + 4 \(\Rightarrow\) p + 6 = 5k + 3 + 2 = 5k + 5 \(⋮\) 5 là hợp số (KTM)
Vậy p = 5, p = 5k + 1.
Cho n là 1 số không chia hết cho 3.CMR:n bình chia 3 dư 1
Câu trả lời của bạn
Giải:
Ta có:
\(n⋮̸3\)
=> n chia cho 3 dư 1 hoặc 2
Xét các trường hợp:
+ n chia 3 dư 1: \(n=3k+1\Rightarrow n^2=\left(3k+1\right)\left(3k+1\right)=9k^2+6k+1=3\left(3k^2+2k\right)+1\)
\(\Leftrightarrow\) n2 chia cho 3 dư 1.
+ n chia 3 dư 2: \(n=3k+2\Rightarrow n^2=\left(3k+2\right)\left(3k+2\right)=9k^2+12k+4=3\left(3k^2+4k+1\right)+1\)
\(\Leftrightarrow\) n2 chia cho 3 dư 1. Vậy ... Chúc bạn học tốt!1/ Tổng (hiệu) trên là số nguyên tố hay hợp số:
a)12.3+3.41+240
b)45+36+72+81
c)91.13-29.13+12.13
2/ Tìm tập hợp các số có hai chữ số là bình phương của một số nguyên tố.
HELP ME
Câu trả lời của bạn
Bài 1 :
a, \(12.3+3.41+240\)
= \(12.3+3.41+3.80\)
= \(3.\left(12+41+80\right)\)
=\(3.133\)
= \(399\) ( hợp số )
b,\(45+36+72+81\)
= \(234\) ( hợp số )
c, \(91.13-29.13+12.13\)
= \(13.\left(91-29+12\right)\)
= \(13.74\)
= \(962\) ( hợp số )
Bài 2 :
Bài giải
Chỉ số hai số đó vì
Các số nguyên tố thường có hai chữ số thì bình phương là số có 3 chữ số
Các số nguyên tố có 1 chữ số là 2; 3 ; 5 ;7 bình phương của chúng là:
22 = 4
32 = 9
52 = 25 ( Thỏa Mãn )
72 = 49 ( Thảo Mãn )
Vậy 2 số đó là 49 ; 25
Chứng minh rằng nếu số nguyên k > 1 thoả mãn \(k^2+4\) và \(k^2+16\) là các số nguyên tố thì k chia hết cho 5.
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Phản chứng. Giả sử với \(k^2+4; k^2+16\in\mathbb{P}\) thì tồn tại $k$ không chia hết cho 5
Khi đó ta xét các TH sau:
TH1: \(k=5t+1\). Vì \(k>1\Rightarrow t>1\)
\(\Rightarrow k^2+4=(5t+1)^2+4=25t^2+1+10t+4\)
\(=5(5t^2+2t+1)\)\(\vdots 5\) và \(5(5t^2+2t+1)>5\forall t>1\) nên \(k^2+4\) không thể là số nguyên tố (trái với ĐKĐB)
TH2: \(k=5t+2\)
\(\Rightarrow k^2+16=(5t+2)^2+16=25t^2+20t+20\)
\(=5(5t^2+4t+4)\vdots 5\) và \(5(5t^2+4t+4)>5\) nên \(k^2+16\) không thể là số nguyên tố (trái với ĐKĐB)
TH3: \(k=5t+3\)
\(\Rightarrow k^2+16=(5t+3)^2+16=25t^2+30t+25\)
\(=5(5t^2+6t+5)\vdots 5\) và \(5(5t^2+6t+5)>5\) nên \(k^2+16\) không thể là số nguyên tố (trái với ĐKĐB)
TH4: \(k=5t+4\Rightarrow k^2+4=(5t+4)^2+4=25t^2+40t+20\)
\(=5(5t^2+8t+4)\vdots 5\) và \(5(5t^2+8t+4)>5\) nên \(k^2+4\) không thể là số nguyên tố (trái với ĐKĐB)
Từ các TH trên suy ra điều giả sử là sai. Do đó \(k\vdots 5\)
Cho \(p\ge5\) , p là số nguyên tố sao cho 2p+1 cũng là số nguyên tố. Chứng minh p+1 chia hết cho 6 và \(2p^2+1\) không phải là số nguyên tố.
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Vì \(p\geq 5\Rightarrow p\not\vdots 3\) và \(p\) lẻ. Do đó \(p\) có thể có dạng \(6k+1; 6k+5\)
Nếu \(p=6k+1\Rightarrow 2p+1=2(6k+1)+1=3(4k+1)\) chia hêt cho $3$ và lớn hơn 3. Khi đó \(2p+1\not\in\mathbb{P}\) (trái với giả thiết)
Do đó \(p=6k+5\)
Kéo theo \(p+1=6k+6=6(k+1)\vdots 6\) (đpcm)
Hơn nữa:
\(2p^2+1=2(6k+5)^2+1=72k^2+120k+51=3(24k^2+40k+17)\vdots 3\)
và lớn hơn 3
Do đó \(2p^2+1\) không phải số nguyên tố.
Tìm 3 số nguyên tố p, q, r sao cho \(p^q+q^p=r\)
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
-Nếu $p,q$ cùng tính chẵn lẻ. Khi đó \(p^q+q^p\) chẵn, kéo theo $r$ chẵn. Ta suy ra \(r=2\). Mà từ \(p^q+q^p=r\Rightarrow r>p,q\Leftrightarrow 2> p,q\) (vô lý vì \(p,q\in\mathbb{P}\) )
-Nếu $p,q$ khác tính chẵn lẻ . Không mất tính tổng quát giả sử \(p\) chẵn $q$ lẻ. Khi đó \(p=2\)
PT trở thành: \(2^q+q^2=r\)
Ta có: \(r=2^q+q^2\equiv (-1)^q+q^2\equiv -1+q^2\pmod 3\) (do q lẻ)
+Nếu \(q=3\Rightarrow r=2^3+3^2=17\in\mathbb{P}\) (thỏa mãn)
+Nếu \(q\neq 3\Rightarrow q\not\vdots 3\) . Khi đó \(q=3k\pm 1\Rightarrow 1-q^2=-9k^2\mp 6k\vdots 3\)
hay \(1-q^2\equiv 0\pmod 3\Leftrightarrow r\equiv 0\pmod 3\Leftrightarrow r\vdots 3\Rightarrow r=3\)
\(q^2=3-2^q<1 \Rightarrow q< 1\) (vô lý)
Vậy \((p,q,r)=(2,3,17); (3,2,17)\)
Tìm các số tự nhiên a, b, c sao cho \(A=a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\) là số nguyên tố.
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Ta có:
\(A=a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)\)
\(=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\)
\(=ab(a+b+c)+bc(a+b+c)+ac(c+a)-2abc\)
\(=b(a+b+c)(a+c)+ac(a+c)-2abc\)
\(=(a+c)(b^2+ab+bc+ac)-2abc=(a+c)(b+a)(b+c)-2abc\)
Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất \(\left[\frac{3}{2}\right]+1=2\) số có cùng tính chẵn lẻ
Giả sử hai số đó là \(a,b\) suy ra \(a+b\vdots 2\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\vdots 2\)
\(\Rightarrow A=(a+b)(b+c)(c+a)-2abc\vdots 2\)
Muốn $A$ là số nguyên tố thì $A=2$
\(\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)-2abc=2\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(2=(a+b)(b+c)(c+a)-2abc\geq 2\sqrt{ab}2\sqrt{bc}2\sqrt{ac}-2abc\)
\(\Leftrightarrow 2\geq 8abc-2abc=6abc\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{3}\geq abc\)
Nếu \(a,b,c\geq 1\) thì điều này không thể xảy ra. Do đó phải tồn tại ít nhất một số bằng 0
Không mất tính tổng quát giả sử \(a=0\Rightarrow bc(b+c)=2\)
Từ đây ta dễ dàng tìm được \(b=c=1\) với \(b,c\in\mathbb{N}\)
Vậy \((a,b,c)=(0;1;1)\) và các hoán vị tương ứng.
Tìm các số nguyên tố P thỏa mãn 2P+P2 là nguyên tố
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Nếu $p$ chẵn thì \(p=2\Rightarrow 2^p+p^2=8\not\in\mathbb{P}\)
Kí hiệu \(\text{BS3}\) là bội số của $3$
Do đó $p$ lẻ. Trong TH $p$ lẻ, xét các TH nhỏ sau:
\(\bullet p=3k\Rightarrow p\vdots 3\Rightarrow p=3\Rightarrow p^2+2^p=17\in\mathbb{P}\) (thỏa mãn)
\(\bullet p=3k+1\Rightarrow 2^p+p^2= 2^p+(3k+1)^2=(3-1)^p+9k^2+6k+1\)
\(=\text{BS3}-1+9k^2+6k+1=\text{BS3}+9k^2+6k\vdots 3\)
Mà \(2^p+p^2>3\) nên nó không thể là số nguyên tố (loại)
\(\bullet p=3k+2\Rightarrow 2^p+p^2=2^p+(3k+2)^2\)
\(=(3-1)^p+9k^2+12k+4=\text{BS3}-1+9k^2+12k+4\)
\(=\text{BS3}+9k^2+12k+3\vdots 3\)
Mà \(2^p+p^2>3\Rightarrow \) nó không thể là số nguyên tố (loại)
Vậy \(p=3\)
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên n và k để \(\left(n^4+4^{2k+1}\right)\) là số nguyên tố.
Câu trả lời của bạn
Lời giải:
Ta có:
\(n^4+4^{2k+1}=(n^2)^2+(2^{2k+1})^2=(n^2+2^{2k+1})^2-2.n^2.2^{2k+1}\)
\(=(n^2+2^{2k+1})^2-(2^{k+1}n)^2\)
\(=(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}n)(n^2+2^{2k+1}+2^{k+1}n)\)
Để số trên là số nguyên tố thì điều kiện đầu tiên là một trong hai thừa số \(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}n; n^2+2^{2k+1}+2^{k+1}n\) phải bằng 1
Vì \(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}n< n^2+2^{2k+1}+2^{k+1}n\) nên :
\(n^2+2^{2k+1}-2^{k+1}n=1\)
Đặt \(2^{k+1}=t(t>0)\). PT trở thành:
\(n^2+\frac{t^2}{2}-tn=1\)
\(\Leftrightarrow 2n^2+t^2-2tn=2\)
\(\Leftrightarrow (t-n)^2+(n^2-2)=0\)
Nếu \(n\geq 2\Rightarrow n^2-2>0; (t-n)^2\geq 0\)
\(\Rightarrow (t-n)^2+(n^2-2)>0\) (vô lý)
Do đó \(n<2\). Vì \(n\in\mathbb{N}\Rightarrow n\in\left\{0;1\right\}\)
+) \(n=0\Rightarrow t^2-2=0\Rightarrow t\not\in\mathbb{N}\) (vô lý)
+) \(n=1\Rightarrow (t-1)^2=1\Rightarrow t-1=\pm 1\Leftrightarrow t=0;2\)
Thấy \(t>0\Rightarrow t=2\Leftrightarrow 2^{k+1}=2\Leftrightarrow k+1=1\Leftrightarrow k=0\)
Vậy \((n,k)=(1,0)\)
Cho \(A=n^{2012}+n^{2011}+1\) . Tìm các số tự nhiên n để A nhận giá trị là một số nguyên tố.
Câu trả lời của bạn
n=1
tìm số nguyên tố P sao cho P+6,P+12,P+34,P+38 cũng là số nguyên tố
Câu trả lời của bạn
+ Nếu P=2, ta có:
P+6=2+6=8_là hợp số (không thỏa mãn)
+ Nếu P=3, ta có:
P+6=3+6=9_ là hợp số
+ Nếu P= 4, ta có:
p+6=4+6=10_ là hợp số
+ Nếu P=5, ta có:
p+6=5+6= 11_ là số nguyên tố
p+12=5+12=17_ là số nguyên tố
p+34=5+34=39_ là hợp số( không thỏa mãn)
+ Nếu P=6, ta có:
P+6=6+6=12_ là hớp số(không thỏa mãn)
+Nếu P=7, ta có:
P+6=7+6=13_là số nguyên tố
P+12=7+12=19_là số nguyên tố
P+34=7+34=41_ là số nguyên tố
P+38=7+38=43_ là số nguyên tố
=> P=7 thỏa mãn đề bài
+ Nếu P>7 mà P là số nguyên tố=> p có dạng:
P= 7.k+1; P=7.k+2; P= 7.k +3; P=7.k+4; P=7.k+5; P=7.k+6
CMR luuon tồn tại 100 STN liên tiếp là hợp số
Câu trả lời của bạn
Đặt a = 2 . 3 . 4 . ... . 101
Ta xét 100 số tự nhiên liên tiếp sau:
a+2; a+3; ..; a+101
Vì 2 chia hết cho 2
⇒ 2 . 3 . 4 . ... . 101 chia hết cho 2 hay a chia hết cho 2
Do đó a+2 chia hết cho 2 Mà a+2 >2 nên a+2 là hợp số.
Ta xét 100 số tự nhiên liên tiếp sau:
a+2; a+3; ..; a+101
Vì 3 chia hết cho 3
⇒ 2 . 3 . 4 . ... . 101 chia hết cho 3 hay a chia hết cho 3
Do đó a+3 chia hết cho 3 Mà a+3 >3 nên a+3 là hợp số.
.....
Ta xét 100 số tự nhiên liên tiếp sau:
a+2; a+3; ..; a+101
Vì 100 chia hết cho 100
⇒ 2 . 3 . 4 . ... . 101 chia hết cho 100 hay a chia hết cho 100
Do đó a+100 chia hết cho 100 Mà a+100 >100 nên a+100 là hợp số.
Vậy, 100 STN liên tiếp là hợp số.
Tìm số nguyên tố p để :
a) p+8 ; p+4 đều là số nguyên tố
b) p+14 ; p+94 đều là số nguyên tố
Câu trả lời của bạn
Giải
a) * Nếu p = 2 \(\Rightarrow\) p + 4 = 6 là hợp số. (KTM)
* Nếu p = 3 \(\Rightarrow\) p + 4 = 7, p + 8 = 11 là số nguyên tố. (nhận)
* Nếu p \(\ge\) 3 thì p \(⋮̸\) 3 nên p = 3k + 1 hay p = 3k + 2. (k \(\in\) N*)
Khi p = 3k + 1 \(\Rightarrow\) p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 \(⋮\) 3 là hợp số. (KTM)
Khi p = 3k + 2 \(\Rightarrow\) p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 \(⋮\) 3 là hợp số. (KTM)
Vậy p = 3.
b) * Nếu p = 2 \(\Rightarrow\) p + 14 = 16 là hợp số. (KTM)
* Nếu p = 3 \(\Rightarrow\) p + 14 = 17, p + 94 = 97 là số nguyên tố. (nhận)
* Nếu p \(\ge\) 3 thì p \(⋮̸\) 3 nên p = 3k + 1 hay p = 3k + 2. (k \(\in\) N*)
Khi p = 3k + 1 \(\Rightarrow\) p + 14 = 3k + 1 + 14 = 3k + 15 \(⋮\) 3 là hợp số. (KTM)
Khi p = 3k + 2 \(\Rightarrow\) p + 94 = 3k + 2 + 94 = 3k + 96 \(⋮\) 3 là hợp số. (KTM)
Vậy p = 3.
Chứng tỏ rằng:
ababab+2019 là hợp số
TL đi mk tick cho!(chỉ ai lm đúng đầu tiên)
Câu trả lời của bạn
Giải:
Ta có: \(\overline{ababab}=3\left(a+b\right)⋮3_{\left(1\right)}.\)
Mà 2019 có: \(2+0+1+9=12⋮3_{\left(2\right)}.\)
Từ \(_{\left(1\right)}\) và \(_{\left(2\right)}\Rightarrow\overline{ababab}+2019⋮3.\)
\(\Rightarrow\overline{ababab}+2019\) là hợp số (đpcm).
Tổng của 2 số nguyên tố có thể bằng 2017 được hay không ? Vì sao
Câu trả lời của bạn
Vì tổng 2 số nguyên tố là 1 số lẻ nên có 1 số lẻ , 1 số chẵn
=> số nguyên tố chẵn duy nhất là 2
=> số còn lại là 2017 - 2 = 2015
Mà 2015 chia hết cho 5 nên đó không phải số nguyên tố
Vậy tổng của 2 số không thể là 2017
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *