Cùng nhau ôn tập lại chương tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng giúp các em có cái nhìn tổng quát về tích vô hướng của hai vectơ, công thức tính diện tích tam giác mở rộng và hệ thức lượng trong tam giác thường. Từ đó ta vận dụng kiến thức đã học để áp dụng cho chương trình toán các lớp trên...
Với mỗi góc \(\alpha(0^o\leq \alpha\leq 180^o)\), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn sao cho \(\widehat{MOx}=\alpha\). Giả sử điểm M(x;y). Khi đó:
Tung độ y của điểm M được gọi là sin của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(sin\alpha\)
Hoành độ x của điểm M được gọi là cosin của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(cos\alpha\).
Tỉ số \(\frac{y}{x}\) \((x\neq 0)\) được gọi là tan của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(tan\alpha\)
Tỉ số \(\frac{x}{y}\) \((y\neq 0)\) được gọi là côtan của góc \(\alpha\), ta kí hiệu là \(cot\alpha\)
Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là một số (đại lượng đại số), được kí hiệu là \(\vec a.\vec b\) và được xác định bởi công thức
\(\vec a.\vec b=|\vec a|.|\vec b|.cos\left ( \vec a,\vec b \right )\)
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:
Cho hai vectơ \(\vec{a}(x;y);\vec{b}(x';y')\). Khi đó:
\(\vec{a}.\vec{b}=xx'+yy'\)
\(|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(cos(\vec{a};\vec{b})=\frac{xx'+yy'}{\sqrt{x^2+y^2}.\sqrt{x'^2+y'^2}},\vec{a}\neq \vec{0};\vec{b}\neq \vec{0}\)
\(\vec{a}\perp \vec{b}\Leftrightarrow xx'+yy'=0\)
Trong tam giác ABC, gọi \(Ab=c;AC=b;BC=a\), ta có:
\(a^2=b^2+c^2-2bc.cosA\)
\(b^2=a^2+c^2-2ac.cosB\)
\(c^2=a^2+b^2-2ab.cosC\)
Từ đó, ta có hệ quả sau:
\(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)
\(cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
\(a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC\)
\(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R\)
\(m_{a}^{2}=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)
Và tương tự vậy...
\(S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}b.h_b=\frac{1}{2}c.h_c\)
\(S=\frac{1}{2}ab.sinC=\frac{1}{2}ac.sinB=\frac{1}{2}bc.sinA\)
\(S=\frac{abc}{4R}\)
\(S=pr\)
\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oij, cho A(2;3), B(4;1). Tính chu vi và diện tích của tam giác OAB.
Hướng dẫn:
Bằng định lí Pytago, ta dễ dàng tính được \(OA=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\)
\(OB=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}\)
\(AB=2\sqrt{2}\)
Vậy chu vi tam giác ABC là:
\(P=AB+AC+BC=\sqrt{13}+\sqrt{17}+2\sqrt{2}\approx 10,56\)
Khi có 3 cạnh của tam giác ABC, ta nghĩ ngay đến công thức tính diện tích tam giác bằng Hê rông.
Cụ thể là: Gọi p là nửa chu vi của tam giác
\(p=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{17}+2\sqrt{2}}{2}\)
Khi đó, diện tích tam giác bằng:
\(S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=5\)
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB=a. D và E là hai điểm thuộc đoạn thẳng BC sao cho đúng thứ tự C, D, E, B và chia góc A thành ba góc bằng nhau. Tính các góc của tam giác ADE.
Hướng dẫn:
Ta có hình vẽ sau:
Dễ thấy rằng \(\widehat{BAC}\) được chia thành ba góc bằng nhau nên \(\widehat{DAE}=\frac{90^o}{3}=30^o\)
Xét hai tam giác CAD và BAE có:
\(\left\{\begin{matrix} AB=AC=a\\ \widehat{CAD}=\widehat{EAB}=30^o\\ \widehat{ACD}=\widehat{ABE}=45^o \end{matrix}\right.\)
Vậy, \(\Delta CAD=\Delta BAE(g.c.g)\)
\(\Rightarrow AD=AE\)
\(\Rightarrow \Delta ADE\) cân tại A.
\(\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{AED}=\frac{180^o-30^o}{2}=75^o\)
Bài 3: Cho tam giác ABC có độ lớn các cạnh a, b, c lần lượt là 10, 13, 16 và G là trọng tâm tam giác ABC. Hãy tính độ lớn của đoạn AG.
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức tính đường trung tuyến từ đỉnh A trong tam giác ABC, ta có:
\(AD=\sqrt{\frac{13^2+16^2}{2}-\frac{10^2}{4}}=\frac{5\sqrt{30}}{2}\)
Mặc khác, theo tính chất trọng tâm, ta có:
\(AG=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}.\frac{5\sqrt{30}}{2}=\frac{5\sqrt{30}}{3}\)
Bài 4: Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c và diện tích S. Nếu tăng a lên 2 lần, tăng b lên 3 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì diện tích mới sẽ thay đổi như thế nào? Từ đó, hãy chia tỷ lệ tam giác mới bằng đúng bấy nhiêu lần diện tích tam giác cũ, nêu rõ cách chia.
Hướng dẫn:
Ta có, diện tích S của tam giác ABC được tính bởi công thức:
\(S=\frac{1}{2}absinC\)
Mà giá trị của góc C không thay đổi
Nên khi a tăng 2 lần, b tăng 3 lần, ta nhận được tam giác mới có diện tích bằng 6 lần diện tích của tam giác ban đầu.
Gọi tam giác được tăng lên theo kích thước mới là tam giác EFC.
Theo đề, ta có: BF=BC
AC=AD=DE
Cách chia như sau:
Nối A với F ta có được \(dt_{ABF}=S\)
Nối F với D, ta dễ thấy rằng \(dt_{EDF}=dt_{ADF}=2S\)
Gọi G là trung điểm của DF
\(\Rightarrow dt_{EGF}=dt_{EDG}=dt_{AGF}=dt_{ADG}=S\)
Vậy ta có 6 tam giác có diện tích bằng nhau là các tam giác nhỏ như trên hình.
Ở lớp dưới, chúng ta đã biết các giá trị của sin, côsin, tan hay côtan của một góc nhọn x nào đó, vậy lên chương trình cấp THPT, có thể bao gồm góc tù hay bất kì một góc nào đó cho trước độ lớn hay không? Chúng ta cùng đi vào bài đầu tiên của chương 2 Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Ôn tập chương IIđể kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tam giác ABC có b=7, c=5 và \(cosA=\frac{3}{5}\). Diện tích tam giác ABC là:
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a là:
Cho tam giác ABC có diện tích S. Nếu tăng độ dài cạnh a lên 3 lần, tăng độ dài cạnh b lên 2 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì diện tích tam giác mới đc tạo nên là:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Ôn tập chương II sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 12 trang 64 SGK Hình học 10
Bài tập 13 trang 64 SGK Hình học 10
Bài tập 14 trang 64 SGK Hình học 10
Bài tập 15 trang 65 SGK Hình học 10
Bài tập 16 trang 65 SGK Hình học 10
Bài tập 17 trang 65 SGK Hình học 10
Bài tập 18 trang 65 SGK Hình học 10
Bài tập 19 trang 65 SGK Hình học 10
Bài tập 20 trang 65 SGK Hình học 10
Bài tập 21 trang 65 SGK Hình học 10
Bài tập 22 trang 65 SGK Hình học 10
Bài tập 23 trang 66 SGK Hình học 10
Bài tập 24 trang 66 SGK Hình học 10
Bài tập 25 trang 66 SGK Hình học 10
Bài tập 26 trang 66 SGK Hình học 10
Bài tập 27 trang 66 SGK Hình học 10
Bài tập 28 trang 66 SGK Hình học 10
Bài tập 29 trang 67 SGK Hình học 10
Bài tập 30 trang 67 SGK Hình học 10
Bài tập 2.45 trang 103 SBT Hình học 10
Bài tập 2.46 trang 103 SBT Hình học 10
Bài tập 2.47 trang 104 SBT Hình học 10
Bài tập 2.48 trang 104 SBT Hình học 10
Bài tập 2.49 trang 104 SBT Hình học 10
Bài tập 2.50 trang 104 SBT Hình học 10
Bài tập 2.51 trang 104 SBT Hình học 10
Bài tập 2.52 trang 104 SBT Hình học 10
Bài tập 2.53 trang 104 SBT Hình học 10
Bài tập 2.54 trang 104 SBT Hình học 10
Bài tập 2.55 trang 104 SBT Hình học 10
Bài tập 2.56 trang 104 SBT Hình học 10
Bài tập 2.57 trang 105 SBT Hình học 10
Bài tập 2.58 trang 105 SBT Hình học 10
Bài tập 2.59 trang 105 SBT Hình học 10
Bài tập 2.60 trang 105 SBT Hình học 10
Bài tập 2.61 trang 105 SBT Hình học 10
Bài tập 2.62 trang 105 SBT Hình học 10
Bài tập 2.63 trang 105 SBT Hình học 10
Bài tập 2.64 trang 105 SBT Hình học 10
Bài tập 2.65 trang 106 SBT Hình học 10
Bài tập 2.66 trang 106 SBT Hình học 10
Bài tập 2.67 trang 106 SBT Hình học 10
Bài tập 2.68 trang 106 SBT Hình học 10
Bài tập 2.69 trang 106 SBT Hình học 10
Bài tập 2.70 trang 106 SBT Hình học 10
Bài tập 2.71 trang 106 SBT Hình học 10
Bài tập 2.72 trang 107 SBT Hình học 10
Bài tập 2.73 trang 107 SBT Hình học 10
Bài tập 2.74 trang 107 SBT Hình học 10
Bài tập 2.75 trang 107 SBT Hình học 10
Bài tập 2.76 trang 107 SBT Hình học 10
Bài tập 2.77 trang 107 SBT Hình học 10
Bài tập 2.78 trang 107 SBT Hình học 10
Bài tập 2.79 trang 108 SBT Hình học 10
Bài tập 2.80 trang 108 SBT Hình học 10
Bài tập 2.81 trang 108 SBT Hình học 10
Bài tập 2.82 trang 108 SBT Hình học 10
Bài tập 2.83 trang 108 SBT Hình học 10
Bài tập 2.84 trang 108 SBT Hình học 10
Bài tập 2.85 trang 108 SBT Hình học 10
Bài tập 2.86 trang 109 SBT Hình học 10
Bài tập 2.87 trang 109 SBT Hình học 10
Bài tập 2.88 trang 109 SBT Hình học 10
Bài tập 2.89 trang 109 SBT Hình học 10
Bài tập 2.90 trang 109 SBT Hình học 10
Bài tập 2.91 trang 109 SBT Hình học 10
Bài tập 2.92 trang 109 SBT Hình học 10
Bài tập 2.93 trang 110 SBT Hình học 10
Bài tập 2.94 trang 110 SBT Hình học 10
Bài tập 2.95 trang 110 SBT Hình học 10
Bài tập 2.96 trang 110 SBT Hình học 10
Bài tập 2.97 trang 110 SBT Hình học 10
Bài tập 1 trang 69 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 2 trang 69 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 3 trang 70 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 4 trang 70 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 5 trang 70 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 6 trang 70 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 7 trang 70 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 8 trang 70 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 9 trang 70 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 10 trang 71 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 11 trang 71 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 12 trang 71 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 1 trang 71 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 2 trang 71 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 3 trang 71 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 4 trang 71 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 5 trang 72 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 6 trang 72 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 7 trang 72 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 8 trang 72 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 9 trang 72 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 10 trang 72 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 11 trang 73 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 12 trang 73 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 13 trang 73 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 14 trang 73 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 15 trang 73 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 16 trang 73 SGK Hình học 10 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Tam giác ABC có b=7, c=5 và \(cosA=\frac{3}{5}\). Diện tích tam giác ABC là:
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a là:
Cho tam giác ABC có diện tích S. Nếu tăng độ dài cạnh a lên 3 lần, tăng độ dài cạnh b lên 2 lần và giữ nguyên độ lớn của góc C thì diện tích tam giác mới đc tạo nên là:
Cho tam giác ABC có BC=a, AC=b. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi góc C bằng?
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm \(A(-1;1),B(2;4),C(6;0)\)
Tam giác ABC là tam giác gì?
Cho góc nhọn α. Giá trị của biểu thức P= sin2(90o - α) + sin2α là
Cho góc α thỏa mãn 90o < α < 180o,sinα=12/13. Giá trị của cos α là
Cho góc sinαcosα=1/3. Giá trị của biểu thức sin4α + cos4α là
Cho tam giác đều ABC, \(\alpha = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\). Giá trị của cosα là
Cho góc 0o < α < β < 90o. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho tam giác DEF có \(DE = DF = 10cm\) và \(EF = 12cm\). Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh EF. Đoạn thẳng DI có độ dài là:
A. 6,5 cm
B. 7cm
C. 8cm
D. 4cm
Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right|\). Vậy tam giác ABC là tam giác gì?
Ba điểm A, B, C phân biệt tạo nên vec tơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) vuông góc với vec tơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} \). Vậy tam giác ABC là tam giác gì?
Tính các cạnh còn lại của tam giác ABC trong mỗi trường hợp sau:
a) a = 7, b = 10, góc C = 56ο29' ;
b) a = 2, c = 3, góc B = 123ο17' ;
c) b = 0,4, c = 12, góc A = 23ο28'.
Tam giác ABC có góc B = 60ο, góc C = 45ο, BC = a. Tính độ dài hai cạnh AB và AC.
Tam giác ABC có góc A = 60ο, các cạnh b = 20, c = 35.
a) Tính chiều cao ha;
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng: b2 - c2 = a(b.cosC - c.cosB)
Tam giác ABC có BC = 12, CA = 13, trung tuyến AM = 8
a) Tính diện tích tam giác ABC;
b) Tính góc B.
Giải tam giác ABC biết các cạnh: a = 14, b = 18, c = 20
Giải các tam giác ABC biết: góc A = 60ο; góc B = 40ο; cạnh c = 14
Cho tam giác ABC có các cạnh a = 49,4; b = 26,4; góc C = 47ο20'. Tính góc A, B và cạnh c
Cho hình bình hành ABCD có AB = 3a, AD = 5a, góc BAD bằng 120ο
a) Tìm các tích vô hướng sau: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} \)
b) Tính độ dài BD và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(-5; 6), B(-4; -1), C(4; 3)
a) Tính tọa độ trực tâm H của tam giác ABC;
b) Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) ngắn nhất
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(2; 4); B(3; 1); C(-1; 1).
a) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;
b) Chứng minh H, G, I thẳng hàng.
Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a, tâm O; E là điểm trên cạnh BC và BE = a.
a) Tính cạnh OE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OBE;
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ACD. Tính tích vô hướng: \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GC} \)
Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b (với b ≠ c) phân giác trong AD = k (D nằm trên cạnh BC), BD = d, CD = e. Chứng minh hệ thức: k2 = bc - de
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b và AB = c thỏa mãn hệ thức \(\frac{c}{{b + a}} + \frac{b}{{a + c}} = 1\). Hãy tính số đo của góc A.
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1; 2), B(-3; 1) và trực tâm H(-2; 3). Hãy tìm tọa độ đỉnh C.
Cho tam giác ABC góc BAC = 60ο, AB = 4 và AC = 6.
a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \) , độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;
b) Lấy các điểm M, N định bởi:
\(2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \left( {x \ne - 1} \right)\)
Định x để AN vuông góc với BM.
Cho tam giác ABC có a = 12, b = 16, c = 20.
a) Tính diện tích S và chiều cao ha của tam giác;
b) Tính độ dài đường trung tuyến ma của tam giác;
c) Tính bán kính R và r của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *