Ta đã biết thế nào là tổng và hiệu của hai vectơ. Bây giờ lấy vectơ a cộng với chính nó thì ta sẽ được 2 lần vectơ a. Bài học này sẽ giúp các em hiểu được tích của vectơ và một hằng số có phải là một vectơ khác không?
Xem hình vẽ minh họa và ta có các nhận xét sau:
Xét hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) ta nhận thấy rằng:
Chúng có giá song song với nhau và cùng hướng, độ lớn về chiều dài của \(\vec{b}\) gấp 2 lần độ lớn chiều dài của \(\vec{a}\)
Lúc đó, ta viết rằng: \(\vec{b}=2\vec{a}\)
Xét đến hai vectơ \(\vec{c}\) và \(\vec{d}\) ta có nhận xét:
Chúng có giá song song và ngược hướng, độ lớn về chiều dài của \(\vec{d}\) gấp 3 lần độ lớn chiều dài của \(\vec{c}\)
Lúc đó, ta viết rằng: \(\vec{d}=-3\vec{c}\)
Định nghĩa:
Tích của vectơ \(\vec{a}\) với số thực k là một vectơ, kí hiệu là \(k\vec{a}\), được xác định như sau:
Chúng ta cùng xem qua hình ảnh sau:
Một cách tổng quá, ta có:
Vectơ \(\vec{b}\) cùng phương với vectơ \(\vec{a}\neq \vec{0}\) khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho \(\vec{b}=k\vec{a}\)
Ứng dụng vào ba điểm thẳng hàng:
Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho \(\vec{AB}=k\vec{AC}\)
Dựa vào hình trên, ta có định lí sau:
Cho hai vectơ không cùng phương \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\). Khi đó mọi vectơ \(\vec{x}\) đều có thể hiển thị một cách duy nhất qua hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\), nghĩa là có cặp số duy nhất m và n sao cho:
\(\vec{x}=m\vec{a}+n\vec{b}\)
Cho tam giác OAB vuông cân với \(OA=OB=a\). Tính độ dài của các vectơ \(\vec{OA}+\vec{OB}\); \(3\vec{OA}+4\vec{OB}\)
Do tam giác OAB vuông cân tại O có cạnh là a. Dễ dàng tính được \(\vec{OA}+\vec{OB}\) theo quy tắc hình bình hành, \(\vec{OA}+\vec{OB}=\vec{OD}\)
Độ lớn của \(|\vec{OD}|\)=\(a\sqrt{2}\)
Tương tự, ta tính \(3\vec{OA}+4\vec{OB}\)
Nhận thấy rằng \(3|\vec{OA}|=3a;4|\vec{OB}|=4a\)
Theo quy tắc hình bình hành và theo hình vẽ, ta có \(3\vec{OA}+4\vec{OB}=\vec{OC}\)
Độ lớn của \(|\vec{OC}|=5a\) theo định lý Pytago.
Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kì, ta luôn có hệ thức: \(\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{CB}-\vec{CD}\)
Đề yêu cầu cần chứng minh \(\vec{AB}-\vec{AD}=\vec{CB}-\vec{CD}\)
Ta viết lại: \(\Leftrightarrow \vec{AB}+\vec{DA}=\vec{CB}+\vec{DC}=\vec{DB}\Rightarrow dpcm\)
Cho hình chữ nhật có \(AB=5cm\), \(BC=10cm\). Tính \(|\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}|\).
Như hình trên, chúng ta có thể viết lại như sau:
\(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}=\vec{DC}+\vec{AC}+\vec{AD}=\vec{AC}+\vec{AC}=2\vec{AC}\)
Vậy \(|\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}|=2|\vec{AC}|\)
Bằng Pytago, ta dễ dàng tính toán được \(2|\vec{AC}|=10\sqrt{5}(cm)\)
Cho tam giác ABC. M là điểm thuộc đoạn BC sao cho \(MB=2MC\). Chứng minh rằng: \(\vec{AM}=\frac{1}{3}\vec{AB}+\frac{2}{3}\vec{AC}\)
Theo giả thiết, \(MB=2MC\).
Trên AB lấy điểm D sao cho \(AD=\frac{1}{3}AB\), trên AC lấy điểm E sao cho \(CE=\frac{1}{3}AC\)
Vậy, theo đề được viết lại như sau: \(\frac{1}{3}\vec{AB}=\vec{AD};\frac{2}{3}\vec{AC}=\vec{AE}\)
Cần chứng minh ADME là hình bình hành.
Thật vậy, với tỷ lệ đề cho, ta tìm được các cặp cạnh đối song song nhờ định lí Thales đảo.
Vậy: \(\left\{\begin{matrix} AD//ME\\ AE//DM \end{matrix}\right.\) hay ADME là hình bình hành
Nên \(\vec{AM}=\frac{1}{3}\vec{AB}+\frac{2}{3}\vec{AC}\).
Ta đã biết thế nào là tổng và hiệu của hai vectơ. Bây giờ lấy vectơ a cộng với chính nó thì ta sẽ được 2 lần vectơ a. Bài học này sẽ giúp các em hiểu được tích của vectơ và một hằng số có phải là một vectơ khác không?
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Chương 1 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tìm khẳng định sai:
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Mệnh đề sai là?
Cho tam giác ABC đều cạnh a, H là trung điểm của BC. Vectơ \(\vec{CA}-\vec{HC}\) có độ dài là?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Chương 1 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 17 SGK Hình học 10
Bài tập 2 trang 17 SGK Hình học 10
Bài tập 3 trang 17 SGK Hình học 10
Bài tập 4 trang 17 SGK Hình học 10
Bài tập 5 trang 17 SGK Hình học 10
Bài tập 6 trang 17 SGK Hình học 10
Bài tập 7 trang 17 SGK Hình học 10
Bài tập 8 trang 17 SGK Hình học 10
Bài tập 9 trang 17 SGK Hình học 10
Bài tập 1.20 trang 31 SBT Hình học 10
Bài tập 1.21 trang 35 SBT Hình học 10
Bài tập 1.22 trang 31 SBT Hình học 10
Bài tập 1.23 trang 31 SBT Hình học 10
Bài tập 1.24 trang 31 SBT Hình học 10
Bài tập 1.25 trang 31 SBT Hình học 10
Bài tập 1.26 trang 31 SBT Hình học 10
Bài tập 1.27 trang 31 SBT Hình học 10
Bài tập 1.28 trang 32 SBT Hình học 10
Bài tập 1.29 trang 32 SBT Hình học 10
Bài tập 1.30 trang 32 SBT Hình học 10
Bài tập 1.31 trang 32 SBT Hình học 10
Bài tập 1.32 trang 32 SBT Hình học 10
Bài tập 1.33 trang 32 SBT Hình học 10
Bài tập 1.34 trang 32 SBT Hình học 10
Bài tập 1.35 trang 32 SBT Hình học 10
Bài tập 21 trang 23 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 22 trang 24 SGK Toán 10 NC
Bài tập 23 trang 24 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 24 trang 24 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 25 trang 24 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 26 trang 24 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 27 trang 24 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 28 trang 24 SGK Hình học 10 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Tìm khẳng định sai:
Cho hình bình hành ABCD tâm O. Mệnh đề sai là?
Cho tam giác ABC đều cạnh a, H là trung điểm của BC. Vectơ \(\vec{CA}-\vec{HC}\) có độ dài là?
Cho hình bình hành ABCD có \(AD=2cm, AB=4cm, BD=5cm\). Giá trị của \(|\vec{BA}-\vec{DA}|\) là:
Cho vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và các số thực m, n, k. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho ba điểm A, B, C phân biệt sao cho \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \). Biết rằng B nằm giữa A và C. Giá trị k thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
Cho ba ABC với các trung tuyến AM, BN, CP. Khẳng định nào sau đây sai?
Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Vị trí của điểm M trên d sao cho
có giá trị nhỏ nhất là:
Cho tứ giác ABCD; X là trọng tâm của tam giác BCD, G là trọng tâm tứ giác ABCD. Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho hình bình hành ABCD. Chứng mỉnh rằng:
\(\overrightarrow{AB}\) \(+\) \(\overrightarrow{AC}\) \(+\) \(\overrightarrow{AD}\) \(=2\overrightarrow{AC}\).
Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ \( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AC}\), theo hai vectơ sau \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AK},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BM}\).
Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho \( \overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}\). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow{AM}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}\).
Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đạn AM. Chứng minh rằng:
a) \(2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\)
b) \(2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OD} \), với \(O\) là điểm tùy ý.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng: \(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\)
Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho \(3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}\).
Cho tam giác ABC. Tìm điểm m sao cho \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
Cho tam giác đều ABC có trọng tâm O và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF} =\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}\)
Tìm giá trị của m sao cho \(\overrightarrow a = m\overrightarrow b \) trong các trường hợp sau:
a) \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \);
b) \(\overrightarrow a = - \overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \);
c) \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 20,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\);
d) \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 15\);
e) \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \);
g) \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \);
h) \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \).
Chứng minh rằng:
a) Nếu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) thì \(m\overrightarrow a = m\overrightarrow b \);
b) \(m\overrightarrow a = m\overrightarrow b \) và m ≠ 0 thì \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \);
c) Nếu \(m\overrightarrow a = n\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) thì m = n.
Chứng minh rằng tổng của n véc tơ \(\overrightarrow a \) bằng \(n\overrightarrow a \) (n là số nguyên dương).
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) thì G là trọng tâm của tam giác ABC.
Cho hai tam giác ABC và A′B′C′. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow 0\) thì hai tam giác đó có cùng trọng tâm.
Cho hai vec tơ không cùng phương \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \). Dựng các vec tơ:
a) \(2\overrightarrow a + \overrightarrow b \)
b) \(\overrightarrow a - 2\overrightarrow b \)
c) \( - \overrightarrow a + \frac{1}{2}\overrightarrow b \)
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O có cạnh a.
a) Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AD} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AF} \).
b) Tính độ dài của vec tơ \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \) theo aa.
Cho tam giác ABC có trung tuyến \(\overrightarrow {AM} \) (M là trung điểm của BC). Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NA = 2NC. Gọi K là trung điểm của MN. Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AK} \) theo \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
Cho tam giác ABC. Dựng \(\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA'} = \overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC'} = \overrightarrow {CA} \).
a) Chứng minh rằng A là trung điểm của B′C′.
b) Chứng minh các đường thẳng AA′, BB′ và CC′ đồng quy.
Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho \(CI = \frac{1}{4}CA\), J là điểm mà \(\overrightarrow {BJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \).
a) Chứng minh \(\overrightarrow {BI} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \).
b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng.
c) Hãy dựng điểm J thỏa mãn điều kiện đề bài.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *