Cho hình bình hành ABCD có AB = 3a, AD = 5a, góc BAD bằng 120ο
a) Tìm các tích vô hướng sau: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} \)
b) Tính độ dài BD và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a)
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = AB.AD.\cos \widehat {DAB} = 3a.5a.\cos {120^0} = - \frac{{15{a^2}}}{2}\\
\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right)\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = A{D^2} - A{B^2} = 16{a^2}
\end{array}\)
b)
\({\overrightarrow {BD} ^2} = {\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)^2} = A{D^2} + A{B^2} - 2\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = 49{a^2} \Rightarrow BD = 7a\)
ABCD là hình bình hành nên: BC = AD = 5a;
\(\widehat {BAD} + \widehat {ABC} = {180^0} \Rightarrow \widehat {ABC} = {60^0}\)
Áp dụng định lí hàm số cô sin trong tam giác ABC, ta được:
\(A{C^2} = B{C^2} + A{B^2} - 2BC.AB.\cos \widehat {ABC} = 19{a^2} \Rightarrow AC = a\sqrt {19} \)
Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABC, ta được:
\(R = \frac{{AC}}{{2\sin ABC}} = \frac{{a\sqrt {19} }}{{2\sin {{60}^0}}} = \frac{{a\sqrt {57} }}{3}\)
-- Mod Toán 10