Trong bài học này chúng ta sẽ được học về khái niệm Phương trình đường elip. Với bài học này, chúng ta sẽ hiểu khái niệm về phương trình chính tắc của đường elip, hình dạng một elip và liên hệ giữa đường tròn và đường elip.
Cho hai điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho
F1M+F2M=2a
Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài F1F2 gọi là tiêu cự của elip.
Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi F1M+F2M=2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sa cho F1=(-c;0) và F2=(c;0). Khi đó phương trình chính tắc của elip là:
\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
trong đó b2 = a2 - c2
+ (E) có trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là O
+ Các điểm A1, A2, B1, B2 gọi là các đỉnh của elip
+ Đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1B2 gọi là trục nhỏ của elip.
+ Từ hệ thức b2 = a2 - c2 ta thấy nếu tiêu cự càng nhỏ thì b càng gần a, tức là trục nhỏ của elip càng gần trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn.
+ Cho đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} = {a^2}\)
Với mỗi điểm M(x;y) thuộc đường tròn, xét điểm M'(x';y') sao cho \(\left\{ \begin{array}{l}
x' = x\\
y' = \frac{b}{a}y
\end{array} \right.\left( {0 < b < a} \right)\)
thì tập hợp các điểm M' có tọa độ thỏa phương trình \(\frac{{{x'^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y'^2}}}{{{b^2}}} = 1\) là một elip (E)
Ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E).
Ví dụ 1: Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của elip có phương trình
\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Hướng dẫn:
Ta có a2 = 9⇒ a = 3, b2 = 1 ⇒ b = 1
Vậy c2 = a2 - b2 = 9 - 1 = 8 ⇒ c = \(2\sqrt 2 \)
Độ dài trục lớn là A1A2 = 2a = 6
Độ dài trục nhỏ là: B1B2 = 2b = 2
Tiêu điểm là: \({F_1}\left( { - 2\sqrt 2 ;0} \right),{F_2}\left( {2\sqrt 2 ;0} \right)\)
Tọa độ các đỉnh là \({A_1}\left( { - 3;0} \right),{A_2}\left( {3;0} \right),{B_1}\left( {0; - 1} \right),{B_2}\left( {0;1} \right)\)
Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc của elip, biết:
a) (E) đi qua điểm \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) và M nhìn hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\) dưới một góc vuông.
b) (E) đi qua \(M\left( {\sqrt 3 ;\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right)\) và một tiêu điểm F nhìn trục nhỏ dưới góc 60o.
Hướng dẫn:
a) Do (E) đi qua M nên \(\frac{9}{{5{a^2}}} + \frac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\) (1); Lại có \({\widehat {{F_1}MF}_2} = {90^0} \Leftrightarrow OM = \frac{1}{2}{F_1}{F_2} = c \Leftrightarrow c = \sqrt 5 \)
Như vậy ta có hệ điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{9}{{5{a^2}}} + \frac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\\
{a^2} - {b^2} = 5
\end{array} \right.\). Giải hệ ta được \({a^2} = 9;{b^2} = 4 \Rightarrow (E):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
b) Tiêu điểm F nhìn trục nhỏ dưới góc 60o nên tam giác FB1B2 đều (B1, B2 là hai đỉnh trên trục nhỏ), suy ra \(c = b\sqrt 3 \Rightarrow a = 2b\), từ đó tìm ra \((E):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{9}{4}}} = 1\)
Ví dụ 3: Cho elip \((E):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\). Tìm điểm \(M \in (E)\) sao cho \(M{F_1} = 2M{F_2}\).
Hướng dẫn:
Gọi \(M(x;y) \Rightarrow M{F_1} = 2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x;M{F_2} = 2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x\). Từ \(M{F_1} = 2M{F_2} \Rightarrow x = \frac{4}{{3\sqrt 3 }}\)
Từ đó tìm ra \(y = \pm \frac{{\sqrt {23} }}{{3\sqrt 3 }}\). Vậy có hai điểm M cần tìm là \(M\left( {\frac{4}{{3\sqrt 3 }}; \pm \frac{{\sqrt {23} }}{{3\sqrt 3 }}} \right)\).
Trong phạm vi bài học DapAnHay chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Phương trình đường elip và phương pháp giải các dạng toán liên quan đến đường elip.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lơn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là:
Phương trình của elip có 1 tiêu điểm F2(1;0) và đi qua điểm M(2; -2/√5) là:
Cho elip có phương trình 4x2+9y2=36. Khi đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 88 SGK Hình học 10
Bài tập 2 trang 88 SGK Hình học 10
Bài tập 3 trang 88 SGK Hình học 10
Bài tập 4 trang 88 SGK Hình học 10
Bài tập 5 trang 88 SGK Hình học 10
Bài tập 3.28 trang 163 SBT Hình học 10
Bài tập 3.29 trang 163 SBT Hình học 10
Bài tập 3.30 trang 163 SBT Hình học 10
Bài tập 3.31 trang 163 SBT Hình học 10
Bài tập 3.32 trang 164 SBT Hình học 10
Bài tập 3.33 trang 164 SBT Hình học 10
Bài tập 3.34 trang 164 SBT Hình học 10
Bài tập 3.35 trang 164 SBT Hình học 10
Bài tập 3.36 trang 164 SBT Hình học 10
Bài tập 30 trang 102 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 31 trang 103 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 32 trang 103 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 33 trang 103 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 34 trang 103 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 35 trang 103 SGK Hình học 10 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lơn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là:
Phương trình của elip có 1 tiêu điểm F2(1;0) và đi qua điểm M(2; -2/√5) là:
Cho elip có phương trình 4x2+9y2=36. Khi đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng:
Cho elip (E) có phương trình
\(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
Đường thẳng nào sau đây cắt (E) tại hai điểm đối xứng nhau qua trục Oy?
Cho elip (E) có phương trình
\(\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)
với hai tiêu điểm là F1,F2. Với điểm M bất kì trên (E) thì chu vi tam giác MF1F2là:
Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục nhỏ bằng 8, hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 40 là:
Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng hai lần độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng 6 là:
Cho elip có phương trình 4x2+9y2=1. Khi đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng:
Cho elip (E) có phương trình
\(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
Đường thẳng nào sau đây cắt (E) tại hai điểm đối xứng nhau qua trục Ox?
Cho elip (E) có phương trình
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)
và M là điểm nằm trên (E). Khẳng định nào sau đây là luôn đúng?
Xác đinh độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và vẽ các elip có phương trình sau:
a) \(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\)
b) \(4x^2 + 9y^2 = 1\)
c) \(4x^2 + 9y^2 = 36\)
Lập phương trình chính tắc của elip, biết:
a) Trục lớn và trục nhỏ lần lươt là 8 và 6
b) Trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6
Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:
a) Elip đi qua các điểm M(0;3) và \(N(3;-\frac{12}{5})\)
b) Elip có một tiêu điểm là \(F_1(-\sqrt{3};0)\) và điểm \(M(1;\frac{\sqrt{3}}{2})\) nằm trên elip.
Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có các trục lớn là 80cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80cm x 40cm, người ta vẽ một hình elip lên tấm ván như hình 3.19. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?
Cho hai đường tròn \(C_1(F_1; R_1)\) và \(C_2(F_2; R_2).C_1\) nằm trong \(C_2\) và \(F_1 \neq F_2\). Đường tròn (C) thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với \(C_1\) và tiếp xúc trong với \(C_2\). Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn (C) di động trên một elip.
Viết phương trình elip trong mỗi trường hợp sau:
a) Độ dài trục nhỏ bằng 12 và tiêu cự bằng 16 ;
b) Một tiêu điểm là (12;0) và điểm (13; 0) nằm trên elip.
Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài các trục của mỗi elip có phương trình sau:
a) 4x2 + 9y2 = 36;
b) x2 + 4y2 = 4.
Cho đường tròn tâm C(F1; 2a) cố định và một điểm F2 cố định nằm trong (C1).
Xét đường tròn di động (C) có tâm M. Cho biết (C) luôn đi qua F2 và (C) luôn tiếp xúc với (C1). Hãy chứng tỏ M di động trên một elip.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x; y) di động có tọa độ thỏa mãn
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 7\cot t\\
y = 5\sin t
\end{array} \right.\)
trong đó t là tham số. Hãy chững tỏ M đi động trên một elip.
Viết phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:
a) Độ dài trục lớn bằng 26 và tỉ số \(\frac{c}{a}\) bằng \(\frac{5}{{13}}\) ;
b) Tiêu điểm F1(-6; 0) và tỉ số \(\frac{c}{a}\) bằng \(\frac{2}{3}\).
Viết phương trình chính tắc của elip (E) F1 và F2 biết:
a) (E) đi qua hai điểm \(M\left( {4;\frac{9}{5}} \right)\) và \(N\left( {3;\frac{{12}}{5}} \right)\);
b) (E) đi qua \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) và tam giác MF1F2 vuông tại M.
Cho elip (E): 9x2 + 25y2 = 225
a) Tìm tọa độ hai điểm F1, F2 và các đỉnh của (E).
b) Tìm M ∈ (E) sao cho M nhìn F1, F2 dưới một góc vuông.
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\left( {0 < b < a} \right)\). Tính tỉ số: \(\frac{c}{a}\) trong các trường hợp sau:
a) Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ ;
b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiểu điểm dưới một góc vuông ;
c) Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.
Cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36 và điểm M(1; 1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.
Cho elip (E) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). Hỏi trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a) Tiêu cự của (E) là 2c, trong đó c2 = a2−b2.
b) (E) có độ dài trục lớn bằng 2a, độ dài trục bé bằng 2b,
c) (E) có tâm sai \(e = - \frac{c}{a}\)
d) Tọa độ các tiêu điểm của (E) là F1 = (−c;0), F2 = (c;0).
e) Điểm (b;0) là một đỉnh của (E).
Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục bé của mỗi elip có phương trình sau
a) \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\);
b) \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)
c) \({x^2} + 4{y^2} = 4\)
Viết phương trình chính tắc của đường elip (E) trong mỗi trường hợp sau
a. (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai \(e = {{\sqrt 3 } \over 2};\)
b. (E) có độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4
c. (E) có một tiêu điểm là \(F(\sqrt 3 ;0)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right).\)
Cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).
a) Tính độ dài dây cung của (E) đi qua một tiêu điểm và vuông góc với trục tiêu (đoạn thẳng nối hai điểm của elip gọi là dây cung của elip, trục chứa các tiêu điểm gọi là trục tiêu của elip).
b) Tìm trên (E) điểm M sao cho MF1 = 2MF2, trong đó F1, F2 lần lượt là các tiêu điểm của (E) nằm bên trái và bên phải trục tung.
Vệ tinh nhân tạo đầu tiên được Liên Xô (cũ) phóng từ Trái đất năm 1957. Quỹ đạo của vệ tinh đó là một đường elip nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Người ta đo được vệ tinh cách bề mặt Trái Đất gần nhất là 583 dặm và xa nhất là 1342 dặm (1 dặm ≈ 1,609km). Tìm tâm sai của quỹ đạo đó biết bán kính của Trái Đất xấp xỉ 4000 dặm.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A chạy trên trục Ox, điểm B chạy trên trục Oy nhưng độ dài đoạn AB bằng a không đổi. Tìm tập hợp các điểm M thuộc đoạn AB sao cho MB = 2MA.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *