Cho tam giác ABC góc BAC = 60ο, AB = 4 và AC = 6.
a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \) , độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;
b) Lấy các điểm M, N định bởi:
\(2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \left( {x \ne - 1} \right)\)
Định x để AN vuông góc với BM.
a)
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos A = 4.6.\frac{1}{2} = 12\\
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2} = 12 - 16 = - 4\\
B{C^2} = {\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)^2} = A{C^2} - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + A{B^2}\\
= 36 - 2.12 + 16 = 28 \Rightarrow BC = 2\sqrt 7 \\
R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{2\sqrt 7 }}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{2\sqrt {21} }}{3}
\end{array}\)
b)
\(\begin{array}{l}
2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AM} + 3\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} } \right) = 0\\
\Rightarrow \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = 3\overrightarrow {AC} \\
\Rightarrow \overrightarrow {BM} = 3\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} + x\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AN} } \right) = \overrightarrow 0 \\
\Rightarrow \overrightarrow {AN} = \frac{1}{{x + 1}}\left( {\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} } \right)
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
AN \bot BM \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM} = 0\\
\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} } \right)\left( {3\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {3 - x} \right)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2} + 3xA{C^2} = 0\\
\Leftrightarrow \left( {3 - x} \right).12 - 16 + 3x.36 = 0\\
\Leftrightarrow 96x + 20 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{5}{{24}}
\end{array}\)
-- Mod Toán 10