Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a, tâm O; E là điểm trên cạnh BC và BE = a.
a) Tính cạnh OE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OBE;
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ACD. Tính tích vô hướng: \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GC} \)
a) Áp dụng định lí hàm số cô sin trong tam giác OBE ta được:
\(\begin{array}{l}
O{E^2} = O{B^2} + B{E^2} - 2OB.BE.\cos OBE\\
O{E^2} = {\left( {\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + {a^2} - 2.\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}.a.\cos {45^0} = \frac{{5{a^2}}}{2}\\
\Rightarrow OE = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}
\end{array}\)
Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác OBE ta được:
\({R_{\Delta OBE}} = \frac{{OE}}{{2\sin \widehat {OBE}}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {10} }}{2}}}{{2\sin {{45}^0}}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)
b)
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GC} = \left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OA} } \right)\left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OC} } \right)\\
= \left( {\overrightarrow {GO} + \overrightarrow {OA} } \right)\left( {\overrightarrow {GO} - \overrightarrow {OA} } \right) = {\overrightarrow {GO} ^2} - {\overrightarrow {OA} ^2}\\
= {\left( {\frac{1}{3}.\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = - 4{a^2}
\end{array}\)
-- Mod Toán 10