Bài trước chúng ta đã nhắc đến giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 độ, hôm nay chúng ta sẽ được biết đến khái niệm Tích vô hướng của hai vectơ, liệu sẽ bằng 1 vectơ khác hay một giá trị đại số?
Cho hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) được mô tả như hình sau:
Số đo góc trên được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\).
Nếu số đo ấy bằng 90 độ, ta nói \(\vec a\) vuông góc với \(\vec b\).
Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) là một số (đại lượng đại số), được kí hiệu là \(\vec a.\vec b\) và được xác định bởi công thức
\(\vec a.\vec b=|\vec a|.|\vec b|.cos\left ( \vec a,\vec b \right )\)
Bình phương vô hướng:
Với mỗi vectơ \(\vec a\) tùy ý, tích vô hướng \(\vec a.\vec a\) được kí hiệu là \(|\vec a|^2\) được gọi là bình phương vô hướng
Ta có: \(\vec a^2=|\vec a|.|\vec a|.cos0^o=|\vec a|^2\)
Như vậy: Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó
Với ba vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c\) tùy ý và một số thực k, ta có:
\(\vec a.\vec b=\vec b.\vec a\) (tính chất giao hoán)
\(\vec a.\vec b=0\Leftrightarrow \vec a\perp \vec b\)
\((k\vec a).\vec b=\vec a.(k\vec b)=k.(\vec a.\vec b)\)
\(\vec a. (\vec b\pm \vec c)=\vec a.\vec b\pm \vec a.\vec c\) (tính chất phân phối tổng hiệu)
Ta dễ dàng chứng minh được \(MT^2=MA.MB\) thông qua việc chứng minh tam giác đồng dạng
Mặc khác theo định lý Pytago vào tam giác OMT vuông tại T (vì MT là tiếp tuyến)
Ta có: \(MT^2=OM^2-OT^2\)
Theo ý trên: \(MA.MB=\vec{MA}.\vec{MB}\) (vì M, A, B thẳng hàng)
Vậy: \(\vec{MA}.\vec{MB}=OM^2-OT^2\)
Đây chính là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O).
Cho hai vectơ \(\vec{a}(x;y);\vec{b}(x';y')\). Khi đó:
Tính tích vô hướng của \(\vec{a}(2;3)\) và \(\vec{b}(1;1)\) biết chúng tạo với nhau một góc \(30^o\)
Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ, ta có: \(\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|.cos30\)
\(=\sqrt{2^2+3^2}.\sqrt{1^2+1^2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{78}}{2}\)
Cho hình vuông ABCD cạnh a đường chéo BD. Tính các tích vô hướng sau: \(\vec{AD}.\vec{AB}\), \(\vec{AD}.\vec{BD}\) và \(\vec{AB}.\vec{CD}\)
Vì \(AD\perp AB\) nên \(\vec{AD}.\vec{AB}=0\)
\(\vec{AD}.\vec{BD}=|\vec{AD}|.|\vec{BD}|cosADB=a.a\sqrt{2}.cos45=a^2\)
\(\vec{AB}.\vec{CD}=|\vec{AB}|.|\vec{CD}|.cos0^o=a^2\)
Tính giá trị của biểu thức \(A=\frac{11tan\alpha-5cot\alpha}{34tan\alpha+2cot\alpha}\) biết \(sin\alpha=\frac{1}{4}\)
Ta có: \(A=\frac{11tan\alpha-5cot\alpha}{34tan\alpha+2cot\alpha}\)\(=\frac{11\frac{sin\alpha}{cos\alpha}-5\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}{34\frac{sin\alpha}{cos\alpha}+2\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}\)\(=\frac{11sin^2\alpha-5cos^2\alpha}{34sin^2\alpha+2cos^2\alpha}\)
\(=\frac{16sin^2\alpha-5}{36sin^2\alpha+2}\)
\(=\frac{16.(0,25)^2-5}{32.(0,25)^2+2}=-1\)
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
\(B=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x)\)
Ta có:
\(B=2(sin^6x+cos^6x)-3(sin^4x+cos^4x)\)
\(=2(sin^2x+cos^2x)(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)-3(sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-2sin^2xcos^2x)\)
\(=2(sin^4x+2sin^2xcos^2x+cos^4x-3sin^2xcos^2x)-3(1-2sin^2xcos^2x)\)
\(=2(1-3sin^2xcos^2x)-3(1-2sin^2xcos^2x)\)
\(=-1\)
Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào giá trị của góc x
Bài trước chúng ta đã nhắc đến giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 đến 180 độ, hôm nay chúng ta sẽ được biết đến khái niệm Tích vô hướng của hai vectơ, liệu sẽ bằng 1 vectơ khác hay một giá trị đại số?
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Chương 2 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho vectơ \(\vec{a}(4;3)\) và vectơ \(\vec{b}(-3;4)\). Góc hợp bởi 2 vectơ trên là \(90^o\). Tích vô hướng của hai vectơ trên là:
Cho \(\vec {a}(1;3)\) và \(\vec {b}(-2;4)\). Góc tạo bởi hai vectơ trên là:
Cho hai vectơ \(\vec{a}=2\vec{i}+\vec{j}\) và \(\vec{b}=k\vec{i}-\vec{j}\)
Giá trị của k để \(\vec{a}\perp \vec{b}\) là:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Chương 2 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 45 SGK Hình học 10
Bài tập 2 trang 45 SGK Hình học 10
Bài tập 3 trang 45 SGK Hình học 10
Bài tập 4 trang 45 SGK Hình học 10
Bài tập 5 trang 46 SGK Hình học 10
Bài tập 6 trang 46 SGK Hình học 10
Bài tập 7 trang 46 SGK Hình học 10
Bài tập 2.13 trang 91 SBT Hình học 10
Bài tập 2.14 trang 91 SBT Hình học 10
Bài tập 2.15 trang 91 SBT Hình học 10
Bài tập 2.16 trang 91 SBT Hình học 10
Bài tập 2.17 trang 91 SBT Hình học 10
Bài tập 2.18 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 2.19 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 2.20 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 2.21 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 2.22 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 2.23 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 2.24 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 2.25 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 2.26 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 2.27 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 2.28 trang 92 SBT Hình học 10
Bài tập 4 trang 51 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 5 trang 51 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 6 trang 51 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 7 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 8 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 9 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 10 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 11 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 12 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 13 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 14 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Cho vectơ \(\vec{a}(4;3)\) và vectơ \(\vec{b}(-3;4)\). Góc hợp bởi 2 vectơ trên là \(90^o\). Tích vô hướng của hai vectơ trên là:
Cho \(\vec {a}(1;3)\) và \(\vec {b}(-2;4)\). Góc tạo bởi hai vectơ trên là:
Cho hai vectơ \(\vec{a}=2\vec{i}+\vec{j}\) và \(\vec{b}=k\vec{i}-\vec{j}\)
Giá trị của k để \(\vec{a}\perp \vec{b}\) là:
Chu vi của tam giác ABC có tọa độ ba điểm lần lượt là \(A(1;1);B(2;6);C(-2;4)\) bằng?
Cho tam giác ABC vuông tại A, có góc B bằng 60 độ. Tọa độ điểm A(1;0), tọa độ điểm C(3;3). Có bao nhiêu tọa độ điểm B thỏa bài toán?
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 1), B(3; -2), C(5; 7). Giá trị của \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) là
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;\sqrt 3 } \right),\overrightarrow b = \left( { - 2\sqrt 3 ;6} \right)\). Góc giữa hai vectơ a và vecto b là
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(-2; 8), C(-3; 1). Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC là
Cho hai điểm A(1; 1), B(3; 3). Điểm C thuộc trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C. Tọa độ của điểm C là:
Cho đoạn thẳng AB và điểm I thuộc đoạn thẳng AB thỏa mãn IA = 2IB. M là một điểm bất kì. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho tam giác vuông cân ABC có \(AB = AC = a\). Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow{ AB} .\overrightarrow{AC };\overrightarrow{ AC} .\overrightarrow{CB }\).
Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng biết \(OA = a, OB = b\). Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}\) trong 2 trường hợp
a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB
b) Điểm O nằm trong đoạn AB
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tai I.
a) Chứng minh \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}= \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}\)
B) Hãy dùng câu a) để tính \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}\) theo R
Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3), B(4;2)
a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB;
b) Tính chu vi tam giác OAB;
c) Chứng tỏ rằng OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB
Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ và trong các trường hợp sau :
a) \(\vec{a}= (2; -3)\) , \(\vec{b}= (6; 4)\)
b) \(\vec{a} = (3; 2)\), \(\vec{b}= (5; -1)\)
c) \(\vec{a} = (-2; -2 \sqrt3)\), \(\vec{b}= (3; \sqrt3)\)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm: A(7; -3); B(8; 4); C(1; 5); D(0;-2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.
Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2; 1). Gọi B là điểm đói xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ của điểm C có tung độ băng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở C.
Cho hai vectơ a và vectơ b đều khác vectơ 0. Tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) khi nào dương, khi nào âm và khi nào bằng 0?
Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất phân phối của tích vô hướng hãy chứng minh các kết quả sau đây:
\(\begin{array}{l}
{\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \\
{\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \\
\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}
\end{array}\)
Tam giác ABC vuông tại A và có AB = AC = a. Tính:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
b) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \)
c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \)
Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm.
a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) rồi suy ra giá trị của góc A;
b) Tính \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \)
Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 11 cm.
a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và chứng tỏ rằng tam giác ABC có góc A tù.
b) Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2 cm và gọi N là trung điểm của cạnh AC. Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN}\)
Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi H là trung điểm của cạnh BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC, M là trung điểm của đoạn HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD.
Cho hai véctơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 12\) và \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 13\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\) và suy ra góc giữa hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \({\overrightarrow a + \overrightarrow b }\).
Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {MA} = \frac{1}{4}B{C^2}\).
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \)
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại M. Gọi P là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh rằng MP vuông góc với BC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \)
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A = (2;4), B = (- 3;1) và C = (3;1). Tính:
a) Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành;
b) Tọa độ chân của đường cao vẽ từ đỉnh A.
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A = (-1; 1), B = (1; 3) và C = (1; -1)
Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.
Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(-1; 1), B(0; 2), C(3; 1) và D(0; -2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang cân.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *