Phương trình đường thẳng là một khái niệm mà các em đã được tiếp cận từ những lớp nhỏ. Thông qua bài học này các em sẽ được hiểu thêm cách viết phương trình dựa vào công cụ đã học của toán THPT đó là dùng các vector...
Vectơ \(\overrightarrow u \) được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng \(\Delta\) nếu \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \) và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng \(\Delta\)
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua M0(x0;y0) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {{u_1};{u_2}} \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta\):
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + t{u_1}\\
y = {y_0} + t{u_2}
\end{array} \right.\)
Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên \(\Delta \).
Liên hệ giữa VTCP và hệ số góc của đường thẳng
Cho \(\Delta\) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {{u_1};{u_2}} \right)\) với \({u_1} \ne 0\) thì có hệ số góc là \(k = \frac{{{u_1}}}{{{u_2}}}\)
Phương trình \(\Delta\) đi qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k:
y-y0=k(x-x0)
Vectơ \(\overrightarrow n \) khác \(\overrightarrow 0 \), có giá vuông góc với đường thẳng \(\Delta\) gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng \(\Delta\)
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua M0(x0;y0) và nhận làm vectơ pháp tuyến thì phương trình tổng quát của \(\Delta\) là:
\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)
Tổng quát: Phương trình ax+by+c=0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét: Nếu đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là ax+by+c=0 thì có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) là và VTCP là \(\overrightarrow u = \left( { - b;a} \right)\)
Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát
Đường thẳng \(by+c=0\) song song hoặc trùng với Ox
Đường thẳng \(ax+c=0\) song song hoặc trùng với Oy
Đường thẳng \(ax+by=0\) đi qua gốc tọa độ
Cho hai phương trình đường thẳng:
\(\begin{array}{l} {\Delta_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\ {\Delta_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0 \end{array}\)
Tọa độ giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\
{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0
\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {\rm{I}} \right)\)
Ta có các trường hợp:
\({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) (có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{a_2};{b_2}} \right)\))
\({\rm{cos}}\widehat {\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)} = c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)
Ví dụ 1: Hãy tìm tọa độ của VTCP của đường thẳng có phương trình 3x + 4y + 5 = 0
Hướng dẫn:
Đường thẳng có VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {3;4} \right)\) suy ra VTCP là \(\overrightarrow u = \left( { - 4;3} \right)\)
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua 2 điểm A(-2;3) và B(5;-6)
Hướng dẫn:
(d) đi qua A(-2;3) và có VTCP là \(\overrightarrow {AB} = \left( {7; - 9} \right)\) suy ra VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {9;7} \right)\)
PTTQ của (d) có dạng:
\(\begin{array}{l}
a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 9\left( {x + 2} \right) + 7\left( {y - 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 9x + 7y - 3 = 0
\end{array}\)
Ví dụ 3: Xét vị trí tương đối của \(\Delta :x - 2y + 1 = 0\) với mỗi đường thẳng sau:
\(\begin{array}{l}
{d_1}: - 3x + 6y - 3 = 0\\
{d_2}:y = - 2x
\end{array}\)
Hướng dẫn:
Xét \(\Delta \) với d1, hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2y + 1 = 0\\
- 3x + 6y - 3 = 0
\end{array} \right.\)
có vô số nghiệm vì các hệ số của 2 phương trình tỉ lệ)
Suy ra \(\Delta \equiv {d_1}\)
Xét \(\Delta \) với d2, hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2y + 1 = 0\\
y = - 2x
\end{array} \right.\)
có nghiệm \(\left( { - \frac{1}{5};\frac{2}{5}} \right)\)
Suy ra \(\Delta \) cắt d2 tại \(M\left( { - \frac{1}{5};\frac{2}{5}} \right)\)
Ví dụ 4: Tính khoảng cách từ điểm M(-2;1) đến đường thẳng \(\Delta \) có phương trình 3x - 2y - 1 = 0
Hướng dẫn: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {3.\left( { - 2} \right) - 2.1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{9\sqrt 5 }}{5}\)
Phương trình đường thẳng là một khái niệm mà các em đã được tiếp cận từ những lớp nhỏ. Thông qua bài học này các em sẽ được hiểu thêm cách viết phương trình dựa vào công cụ đã học của toán THPT đó là dùng các vector...
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Chương 3 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho đường thẳng Δ có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 3;5} \right)\). Vectơ nào dưới đây không phải là VTCP của Δ?
Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M(2; 3) và có hệ số góc k = 4 là:
Cho hai đường thẳng d1: y = 3x – 1 và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - t\\
y = 5 + 2t
\end{array} \right.\)
Góc giữa hai đường thẳng là:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Chương 3 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 80 SGK Hình học 10
Bài tập 2 trang 80 SGK Hình học 10
Bài tập 3 trang 80 SGK Hình học 10
Bài tập 4 trang 80 SGK Hình học 10
Bài tập 5 trang 80 SGK Hình học 10
Bài tập 6 trang 80 SGK Hình học 10
Bài tập 7 trang 81 SGK Hình học 10
Bài tập 8 trang 81 SGK Hình học 10
Bài tập 9 trang 81 SGK Hình học 10
Bài tập 3.1 trang 146 SBT Hình học 10
Bài tập 3.2 trang 147 SBT Hình học 10
Bài tập 3.3 trang 147 SBT Hình học 10
Bài tập 3.4 trang 147 SBT Hình học 10
Bài tập 3.5 trang 147 SBT Hình học 10
Bài tập 3.6 trang 147 SBT Hình học 10
Bài tập 3.7 trang 147 SBT Hình học 10
Bài tập 3.8 trang 147 SBT Hình học 10
Bài tập 3.9 trang 147 SBT Hình học 10
Bài tập 3.10 trang 148 SBT Hình học 10
Bài tập 3.11 trang 148 SBT Hình học 10
Bài tập 3.12 trang 148 SBT Hình học 10
Bài tập 3.13 trang 148 SBT Hình học 10
Bài tập 3.14 trang 148 SBT Hình học 10
Bài tập 1 trang 79 SBT Hình học 10
Bài tập 2 trang 79 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 3 trang 80 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 4 trang 80 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 5 trang 80 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 6 trang 80 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 7 trang 73 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 8 trang 84 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 9 trang 84 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 10 trang 84 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 11 trang 84 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 12 trang 84 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 13 trang 85 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 14 trang 85 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 15 trang 89 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 16 trang 90 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 17 trang 90 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 18 trang 90 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 19 trang 90 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 20 trang 90 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 21 trang 95 SGK Hình học 10 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Cho đường thẳng Δ có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 3;5} \right)\). Vectơ nào dưới đây không phải là VTCP của Δ?
Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M(2; 3) và có hệ số góc k = 4 là:
Cho hai đường thẳng d1: y = 3x – 1 và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - t\\
y = 5 + 2t
\end{array} \right.\)
Góc giữa hai đường thẳng là:
Cho điểm A(-2; 1) và hai đường thẳng d1: 3x – 4y + 2 = 0 và d2: mx + 3y – 3 = 0. Giá trị của m để khoảng cách từ A đến hai đường thẳng bằng nhau là:
Cho tam giác ABC với A(-2; 3), B(1; 4), C(5; -2). Phương trình đườgn trung tuyến AM của tam giác là:
Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: 3x – y + 4 = 0, AC: x + 2y – 4 = 0, BC: 2x + 3y – 2 = 0. Khí đó diện tích của tam giác ABC là:
Có bao nhiêu vectơ pháp tuyến của một đường thẳng?
Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M1(3;4) và vuông góc với đường thẳng 2x – y + 3 = 0 là:
Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số là
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = - 1 + 4t\\
y = 3 - 2t
\end{array} \right.\)
Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của ∆?
Cho đường thẳng Δ có phương trình tổng quát là 2x – y – 2 = 0. Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của Δ?
Lập phương trình tham số của đường thẳng \(d\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d\) đi qua điểm \(M(2;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (3;4)\)
b) \(d\) đi qua điểm \(M( - 2;3)\) và có vec tơ pháp tuyến \(\vec n = (5;1)\)
Lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\Delta \) đi qua điểm \(M( - 5; - 8)\) và có hệ số góc \(k = - 3\)
b) \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A(2;1)\) và \(B( - 4;5)\)
Cho tam giác ABC, biết \(A(1;4),B(3; - 1)\) và \(C(6;2)\)
a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC, và CA
b) Lập phương trinh tổng quát của đường thẳng AH và phương trình tổng quát của trung tuyến AM
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(M(4;0)\) và \(N(0; - 1)\).
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:
a) \({d_1}:4x - 10y + 1 = 0\); \({d_2}:x + y + 2 = 0\) |
b) \({d_1}:12x - 6y + 10 = 0\); \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5 + t}&;\\{y = 3 + 2t}&;\end{array}} \right.\) c) \({d_1}:8x + 10y - 12 = 0;\) \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 6 + 5t}\\{y = 6 - 4t}\end{array}} \right.\) |
Cho đường thẳng d có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\)
Tìm điểm M thuộc d và cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5.
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt có phương trình: \({d_1}:4x - 2y + 6 = 0\) và \({d_2}:x - 3y + 1 = 0\)
Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) \(A(3;5)\) \(\Delta :4x + 3y + 1 = 0\); |
b) \(B(1; - 2)\) \(d:3x - 4y - 26 = 0\); |
c) \(C(1;2)\) \(m:3x + 4y - 11 = 0\); |
Tìm bán kính của đường tròn tâm \(C( - 2; - 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng
\(\Delta :5x + 12y - 10 = 0\). |
Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a) d đi qua điểm A(-5; -2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {4; - 3} \right)\)
b) d đi qua hai điểm\(A\left( {\sqrt 3 ;1} \right)\) và \(B\left( {2 + \sqrt 3 ;4} \right)\)
Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 2t\\
y = 3 + t
\end{array} \right.\)
a) Tìm điểm M nằm trên Δ và cách điểm A(0; 1) một khoảng bằng 5.
b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng Δ với đường thẳng x + y + 1 = 0
c) Tìm M trên Δ sao cho AM ngắn nhất.
Lập phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong mỗi trường hợp sau:
a) Δ đi qua điểm M(1;1) và có vectơ pháp tuyến vectơ n = (3; -2);
b) Δ đi qua điểm A(2;-1) và có hệ số góc k = \( - \frac{1}{2}\);
c) Δ đi qua hai điểm A(2;0) và B(0;-3).
Lập phương trình ba đường trung trực của một tam giác có trung điểm các cạnh lần lượt là M(-1; 0), N(4; 1), P(2; 4).
Cho M(1; 2). Hãy lập phương trình của đường thẳng đi qua M và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng nhau.
Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB: x - 3y + 11 = 0, đường cao AH: 3x + 7y - 15 = 0, đường cao BH: 3x - 5y + 13 = 0. Tìm phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại của tam giác.
Cho tam giác ABC có A(-2; 3) và hai đường trung tuyến: 2x - y + 1 = 0 và x + y - 4 = 0. Hãy viết phương trình ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.
Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc: Δ1: mx + y + q = 0 và Δ2: x - y + m = 0 ?
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = - 1 - 5t\\
y = 2 + 4t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}
x = - 6 + 5t'\\
y = 2 - 4t'
\end{array} \right.\)
b) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - 4t\\
y = 2 + 2t
\end{array} \right.\) và d': 2x + 4y - 10 = 0
c) d: x + y - 2 = 0 và d': 2x + y - 3 = 0
Tìm góc giữa hai đường thẳng d1: x + 2y + 4 = 0 và d2: 2x - y + 6 = 0
Tính bán kính của đường tròng có tâm là điểm I(1; 5) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: 4x - 3y + 1 = 0.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *