Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm cơ bản về Giá trị lượng giác của một cung và phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến giá trị lượng giác của một cung.
Trên đường tròn lượng giác, cho điểm \(M\left( {{x_o},{y_o}} \right)\) sao cho cung lượng giác AM có sđ\(AM = \alpha \). Khi đó:
\(\begin{array}{l}
\sin \alpha = \overline {OK} = {y_0}\\
\cos \alpha = \overline {OH} = {x_0}\\
\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}{\rm{ }}\left( {\cos \alpha \ne 0} \right)\\
\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}{\rm{ }}\left( {\sin \alpha \ne 0} \right)
\end{array}\)
Định nghĩa: Các giá trị \(\sin \alpha ,\cos \alpha {\rm{, tan}}\alpha {\rm{, cot}}\alpha \) được gọi là các giá trị lượng giác của cung . Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin.
Chú ý:
1. Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác.
2. Nếu \({0^ \circ } \le \alpha \le {180^ \circ }\) thì các giá trị lượng giác của góc \[\alpha \] chính là các giá trị lượng giác của góc đó.
Ví dụ 1: Tính \(\sin \frac{{25\pi }}{4}\), \(cos\left( { - {{240}^o}} \right)\)
Hướng dẫn:
Để tính giá trị lượng giác của cung lượng giác AM có số đo \(\alpha \) bất kì, ta thực hiện theo các bước:
+ Biểu diễn cung lượng giác AM trên đường tròn lượng giác.
+ Tìm tọa độ điểm M, từ đó áp dụng định nghĩa suy ra các giá trị lượng giác cần tìm.
Ta có \(\frac{{25\pi }}{4} = \frac{\pi }{4} + 3.2\pi \) Suy ra \(\sin \frac{{25\pi }}{4} = \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) |
Tương tự \( - {240^0} = {120^0} - {360^0}\) Suy ra \(cos\left( { - {{240}^o}} \right) = cos{120^ \circ } = - \frac{1}{2}\) |
1) \(\sin \alpha \) và \(\cos \alpha \) xác định với mọi \(\alpha \in R\).
\(\begin{array}{l}
\sin \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \sin \alpha ,\forall k \in Z\\
\cos \left( {\alpha + k2\pi } \right) = \cos \alpha ,\forall k \in Z
\end{array}\)
2) \( - 1 \le \sin \alpha \le 1, - 1 \le \cos \alpha \le 1\)
3) Với mọi \(m \in R\) mà \( - 1 \le m \le 1\) đều tồn tại \(\alpha \) và \(\beta \) sao cho \(\sin \alpha = m\) và \(\cos \alpha = m\).
4) \(\tan \alpha \) xác định với mọi \(\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi {\rm{ }}\left( {k \in Z} \right)\)
5) \(\cot \alpha \) xác định với mọi \(\alpha \ne k\pi {\rm{ }}\left( {k \in Z} \right)\)
6) Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
\(\tan \alpha = \overline {AT} \) Trục t'At được gọi là trục tang. | \(\cot \alpha = \overline {BS} \) Trục s'Bs được gọi là trục côtang. |
Chú ý:
\(\begin{array}{l}
\tan \left( {\alpha + k\pi } \right) = \tan \alpha \\
\cot \left( {\alpha + k\pi } \right) = \cot \alpha
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\\
1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{co{s^2}\alpha }},\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z\\
1 + co{t^2}\alpha = \frac{1}{{si{n^2}\alpha }},\alpha \ne k\pi ,k \in Z\\
\tan \alpha .\cot \alpha = 1,\alpha \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in Z
\end{array}\)
Các điểm cuối của hai cung AM và AM' đối xứng nhau qua trục hoành nên ta có:
|
2) Cung bù nhau: \(\alpha \) và \(\pi - \alpha \)
Các điểm cuối của hai cung AM và AM' đối xứng với nhau qua trục tung, nên ta có:
|
3) Hơn kém nhau \(\pi \): \(\pi \) và \(\left( {\alpha + \pi } \right)\)
Các điểm cuối của hai cung đối xứng nhau qua gốc tọa độ, nên ta có:
|
4) Cung phụ nhau: \(\alpha \) và \(\alpha - \frac{\pi }{2}\)
Các điểm cuối của hai cung đối xứng nhau qua đường phân giác d của góc xOy, nên ta có:
|
Chú ý: Để ghi nhớ các công thức trên dễ dàng ta học thuộc câu: “cos-đối, sin-bù, phụ-chéo, hơn kém nhau- tan và cot”.
Ví dụ 1: Cho \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Tính \(\cos \alpha \)
Hướng dẫn:
Ta có \(si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\\
\Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{2}
\end{array}\)
Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos \alpha >0\) \( \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{2}\)
Ví dụ 2: Cho \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt {11} }}{6}\) với \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \). Tính \(\sin \alpha \)
Hướng dẫn:
Ta có \(si{n^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 - {\left( {\frac{{\sqrt {11} }}{6}} \right)^2} = \frac{{25}}{{36}}\\
\Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{5}{6}
\end{array}\)
Vì \(\frac{{3\pi }}{2} < x < 2\pi \) nên \(\sin \alpha < 0\) \( \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{5}{6}\)
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau
\(A = \cos ({90^0} - x).\sin ({180^0} - x) - \sin ({90^0} - x).\cos ({180^0} - x)\)
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức cung phụ nhau và cung bù nhau
Ta có \(A = \cos ({90^0} - x).\sin ({180^0} - x) - \sin ({90^0} - x).\cos ({180^0} - x)\)
\(\begin{array}{l}
= \sin x.\sin x - \cos x.( - \cos x)\\
= {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1
\end{array}\)
Ví dụ 4: Tính
\(\begin{array}{l}
a)\cos \left( { - \frac{{11\pi }}{4}} \right)\\
b)\tan \frac{{31\pi }}{6}\\
c)\sin ( - {1380^0})
\end{array}\)
Hướng dẫn:
- Sử dụng cung đối
- Biến đổi về góc nhỏ (dựa vào chu kỳ của \(\cos \alpha \) là \(\,2\pi \))
- Sử dụng cung bù
\(\begin{array}{l}
a)\cos \left( { - \frac{{11\pi }}{4}} \right) = \cos \frac{{11\pi }}{4} = \cos \left( {2\pi + \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{4}\\
= \cos \left( {\pi - \frac{\pi }{4}} \right) = - \cos \frac{\pi }{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
b)\tan \frac{{31\pi }}{6} = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}\left( {4\pi + \frac{{7\pi }}{6}} \right) = \tan \frac{{7\pi }}{6}\\
= \tan \left( {\pi + \frac{\pi }{6}} \right) = \tan \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
c)\,\,\,\,\sin ( - {1380^0}) = - \sin ({1380^0}) = - \sin ({4.360^0} - {60^0})\\
= - \sin ( - {60^0}) = \,\,\,\,\,\sin {60^0} = \frac{1}{2}
\end{array}\)
Trong phạm vi bài học DapAnHay chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về giá trị lượng giác của một cung và phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến giá trị lượng giác của một cung.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Biểu thức \({\sin ^2}x.{\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x - {\tan ^2}x + 3{\cos ^2}x\) không phụ thuộc vào x và có giá trị bằng:
Giá trị của \(M = {\cos ^2}{15^0} + {\cos ^2}{25^0} + {\cos ^2}{35^0} + {\cos ^2}{45^0} + {\cos ^2}{105^0} + {\cos ^2}{115^0} + {\cos ^2}{125^0}\) là:
Cho \({\rm{cos}}\alpha = - \frac{2}{5}\,\,\,\left( {\pi < \alpha < \frac{{2\pi }}{3}} \right)\). Khi đó \(\tan \alpha \) bằng:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 148 SGK Đại số 10
Bài tập 2 trang 148 SGK Đại số 10
Bài tập 3 trang 148 SGK Đại số 10
Bài tập 4 trang 148 SGK Đại số 10
Bài tập 5 trang 148 SGK Đại số 10
Bài tập 6.15 trang 185 SBT Toán 10
Bài tập 6.16 trang 185 SBT Toán 10
Bài tập 6.17 trang 185 SBT Toán 10
Bài tập 6.18 trang 185 SBT Toán 10
Bài tập 6.19 trang 185 SBT Toán 10
Bài tập 6.20 trang 186 SBT Toán 10
Bài tập 6.21 trang 186 SBT Toán 10
Bài tập 6.22 trang 186 SBT Toán 10
Bài tập 6.23 trang 186 SBT Toán 10
Bài tập 6.24 trang 186 SBT Toán 10
Bài tập 6.25 trang 186 SBT Toán 10
Bài tập 6.26 trang 188 SBT Toán 10
Bài tập 6.27 trang 188 SBT Toán 10
Bài tập 6.28 trang 188 SBT Toán 10
Bài tập 6.29 trang 188 SBT Toán 10
Bài tập 14 trang 199 SGK Toán 10 NC
Bài tập 15 trang 200 SGK Toán 10 NC
Bài tập 16 trang 200 SGK Toán 10 NC
Bài tập 17 trang 200 SGK Toán 10 NC
Bài tập 18 trang 200 SGK Toán 10 NC
Bài tập 19 trang 200 SGK Toán 10 NC
Bài tập 20 trang 201 SGK Toán 10 NC
Bài tập 21 trang 201 SGK Toán 10 NC
Bài tập 22 trang 201 SGK Toán 10 NC
Bài tập 23 trang 201 SGK Toán 10 NC
Bài tập 24 trang 205 SGK Toán 10 NC
Bài tập 25 trang 205 SGK Toán 10 NC
Bài tập 26 trang 205 SGK Toán 10 NC
Bài tập 27 trang 206 SGK Toán 10 NC
Bài tập 28 trang 206 SGK Toán 10 NC
Bài tập 30 trang 206 SGK Toán 10 NC
Bài tập 31 trang 206 SGK Toán 10 NC
Bài tập 32 trang 206 SGK Toán 10 NC
Bài tập 33 trang 206 SGK Toán 10 NC
Bài tập 34 trang 207 SGK Toán 10 NC
Bài tập 35 trang 207 SGK Toán 10 NC
Bài tập 36 trang 207 SGK Toán 10 NC
Bài tập 37 trang 207 SGK Toán 10 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Biểu thức \({\sin ^2}x.{\tan ^2}x + 4{\sin ^2}x - {\tan ^2}x + 3{\cos ^2}x\) không phụ thuộc vào x và có giá trị bằng:
Giá trị của \(M = {\cos ^2}{15^0} + {\cos ^2}{25^0} + {\cos ^2}{35^0} + {\cos ^2}{45^0} + {\cos ^2}{105^0} + {\cos ^2}{115^0} + {\cos ^2}{125^0}\) là:
Cho \({\rm{cos}}\alpha = - \frac{2}{5}\,\,\,\left( {\pi < \alpha < \frac{{2\pi }}{3}} \right)\). Khi đó \(\tan \alpha \) bằng:
Cho \(\sin a + \cos a = \frac{5}{4}\). Khi đó \(\sin a.\cos a\) có giá trị bằng:
Nếu \(\cos x + \sin x = \frac{1}{2}\) và \({0^0} < x < {180^0}\) thì \(\tan x{\rm{ = }} - \frac{{p + \sqrt q }}{3}\) với cặp số nguyên (p, q) là:
Kết quả rút gọn của biểu thức \({\left( {\frac{{\sin \alpha + \tan \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha {\rm{ + 1}}}}} \right)^2} + 1\) bằng:
Cho \(\cot \alpha = 3\). Khi đó \(\frac{{3\sin \alpha - 2\cos \alpha }}{{12{{\sin }^3}\alpha + 4{{\cos }^3}\alpha }}\) có giá trị bằng
Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây?
Để tính cos1200, một học sinh làm như sau:
(I) sin1200 =\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) (II) cos21200 = 1 – sin21200 (III) cos21200 =1/4 (IV) cos1200=1/2
Lập luận trên sai ở bước nào?
Cho \(\cot \alpha = \frac{1}{2}\left( {\pi < \alpha < \frac{{3\alpha }}{2}} \right)\) thì \({\sin ^2}\alpha .\cos \alpha \) có giá trị bằng:
Có cung α nào mà sinα nhận các giá trị tương ứng sau đây không?
a) \(-0,7\); b) \(\frac{4}{3}\) c) \(-\sqrt{}2\); d)\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?
a) \(sin\alpha =\frac{\sqrt{2}}{3}\) và \(cos\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\);
b) \(sin\alpha = -\frac{4}{5}\) và \(cos\alpha =-\frac{3}{5}\)
c) \(sin\alpha =0,7\) và \(cos\alpha = 0,3\)
Cho \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Xác định dấu của các giá trị lượng giác
a) \(sin(\alpha - \pi )\); b) \(cos( \frac{3\prod }{2}- \alpha )\)
c) \(tan(\alpha + \pi )\); d) \(cot(\alpha + \frac{\pi}{2})\)
Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu:
a) \(cos\alpha =\frac{4}{13}\) và \(0 < \alpha <\frac{\pi }{2}\); b) \(sin\alpha = -0,7\)và \(\pi < \alpha <\frac{3\pi }{2}\);
c) \(tan \alpha=-\frac{15}{7}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi\); d) \(cot \alpha = -3\) và \(\frac{3\pi }{2} < \alpha < 2\pi\).
Tính \(\alpha\), biết:
a) \(cos \alpha = 1\); b) \(cos\alpha = -1\)
c) \(cos\alpha = 0\); d)\(sin \alpha = 1\)
e) \(sin \alpha = -1;\) f) \(sin \alpha = 0,\)
Cho \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau
a) \(\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right)\) b) \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)\)
c) \(\tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\) d) \(\cot \left( {\alpha + \pi } \right)\)
Chứng minh rằng với mọi α, ta luôn có:
a) \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \alpha \)
b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = - \sin \alpha \)
c) \(\tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = - \cot \alpha \)
d) \(\cot \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = - \tan \alpha \)
Biết \(\sin \alpha = \frac{3}{4}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Tính
A. \(\frac{{2\tan \alpha - 3\cot \alpha }}{{\cos \alpha + \tan \alpha }}\)
B. \(\frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\cot }^2}\alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}\)
Cho \(\tan \alpha - 3\cot \alpha = 6\) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\). Tính
a) \(\sin \alpha + \cos \alpha \)
b) \(\frac{{2\sin \alpha - \tan \alpha }}{{\cos \alpha + \cot \alpha }}\)
Cho tanα + cotα = m, hãy tính theo m
a) tan2α + cot2α
b) tan3α + cot3α
Không dùng bảng số và máy tính, rút gọn các biểu thức
a) A = tan18οtan288ο + sin32οsin148ο - sin302οsin122ο
b) \(B = \frac{{1 + {{\sin }^4}\alpha - {{\cos }^4}\alpha }}{{1 - {{\sin }^6}\alpha - {{\cos }^6}\alpha }}\)
Chứng minh rằng với mọi α làm cho biểu thức \(\frac{{\sin \alpha + \tan \alpha }}{{\cos \alpha + \cot \alpha }}\) có nghĩa, biểu thức đó không thể là một số âm.
Giá trị \(\cos \frac{{59\pi }}{6}\) là
A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
C. \(-\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
D. \(-\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Cho \(\sin \alpha = - \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\) với \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \). Giá trị \(\cot \alpha \) là
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{1}{{\sqrt 5 }}\)
C. \(-\frac{1}{2}\)
D. \(-\frac{3}{{\sqrt 5 }}\)
Cho \(\cot \alpha = \frac{{ - 2}}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Giá trị cosα là
A. \(\frac{{ - 2}}{{\sqrt {13} }}\)
B. \(\frac{2}{{\sqrt {13} }}\)
C. \(\frac{2}{5}\)
D. \(\frac{{ - \sqrt {13} }}{2}\)
Cho \(\tan \alpha = - \frac{{\sqrt 2 }}{3}\). Giá trị của biểu thức là
\(M = \frac{{3\cos \alpha - 5\sin \alpha }}{{ - 2\cos \alpha + 3\sin \alpha }}\)
A. \(\frac{{5 + \sqrt 2 }}{6}\)
B. \( - \frac{{8 + \sqrt 2 }}{6}\)
C. \(\frac{{8 - \sqrt 2 }}{6}\)
D. \(\frac{{13 - 5\sqrt 2 }}{2}\)
Cho \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\) \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Giá trị của \(\cot \left( {\alpha + \frac{{3\pi }}{2}} \right)\) là
A. \(\frac{{ - \sqrt {14} }}{2}\)
B. \(\frac{{\sqrt 7 }}{3}\)
C. \(\frac{{\sqrt {14} }}{2}\)
D. \(\frac{{ - \sqrt 7 }}{3}\)
Cho tanα + cotα = - 2. Giá trị của biểu thức N = tan3α + cot3α là
A. 3 B. 4
C. -2 D. 2
Cho \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{4}\). Giá trị \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right)\) là
A. \(\frac{{ - 4\sqrt 5 }}{5}\)
B. \(\frac{{\sqrt 5 }}{4}\)
C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}\)
D. \(\frac{{ - \sqrt 5 }}{4}\)
Cho \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\). Giá trị của biểu thức
\(P = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + {{\cot }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha }}\)
A. \(\frac{{51}}{7}\)
B. \(\frac{{31}}{4}\)
C. \(\frac{{45}}{4}\)
D. \(\frac{{22}}{3}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *