Nội dung bài học sẽ giúp các em biết cách tính Phương sai và độ lệch chuẩn của các bảng phân bố tần số, tần suất (hoặc bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp), qua đó đánh giá được mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng).
Là trung bình cộng của các bình phương độ lệch của mỗi số liệu thống kê.
Công thức tính phương sai:
* Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất
\(\begin{array}{l}
{s^2} = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}{{\left( {{x_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]\\
= {f_1}{\left( {{x_1} - \overline x } \right)^2} + {f_2}{\left( {{x_2} - \overline x } \right)^2} + ... + {f_k}{\left( {{x_k} - \overline x } \right)^2}
\end{array}\)
trong đó ni, fi lần lượt là tần số, tần suất cua giá trị xi; n là số các số liệu thống kê (n=n1+n2+...+nk); \({\overline x }\) là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.
* Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp
\(\begin{array}{l}
{s^2} = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{c_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{c_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}{{\left( {{c_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]\\
= {f_1}{\left( {{c_1} - \overline x } \right)^2} + {f_2}{\left( {{c_2} - \overline x } \right)^2} + ... + {f_k}{\left( {{c_k} - \overline x } \right)^2}
\end{array}\)
trong đó ci, ni, fi lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i; n là số các số liệu thống kê (n=n1+n2+...+nk); \({\overline x }\) là số trung bình cộng của các số liệu đã cho.
Phương pháp tính phương sai:
+ Tính trung bình cộng
+ Tính độ lệch của mỗi số liệu thống kê
+ Áp dụng công thức
Ngoài ra có thể dùng công thức:
\({s^2} = \overline {{x^2}} - {\left( {\overline x } \right)^2}\)
trong đó \(\overline {{x^2}} \) là trung bình cộng của các bình phương số liệu thống kê và
\(\overline {{x^2}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}{x^2}_i} = \sum\limits_1^k {{f_i}{x^2}_i} \) (đối với bảng phân bố tần số, tần suất)
\(\overline {{x^2}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}{c_i}^2} = \sum\limits_1^k {{f_i}{c_i}^2} \) (đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp)
Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn. Ký hiệu là s và \(s = \sqrt {{s^2}} \)
Ý nghĩa: Phương sai s2 và độ lệch chuẩn s đều được dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng). Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng s vì s có đơn vị đo với dấu hiệu được nghiên cứu.
Ví dụ 1: Điểm trung bình các môn học của học sinh được cho trong bảng sau:
Điểm | 7,5 | 7,8 | 8,0 | 8,4 | 9,0 | 9,5 |
|
Tần số | 1 | 2 | 3 | 2 | 2 | 1 | n = 11 |
Tần suất (%) | 9,09 | 18,18 | 27,27 | 18,18 | 18,18 | 9,09 | 100 (%) |
Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số, tần suất trên
Hướng dẫn:
Điểm trung bình của học sinh là
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\bar x = {f_1}{x_1} + {f_2}{x_2} + {f_3}{x_3} + {f_4}{x_4} + {f_5}{x_5} + {f_6}{x_6}}\\
{ = \frac{{9,09}}{{100}}.7,5 + \frac{{18,18}}{{100}}.7,8 + \frac{{27,27}}{{100}}.8,0 + \frac{{18,18}}{{100}}.8,4 + \frac{{18,18}}{{100}}.9,0 + \frac{{9,09}}{{100}}.9,5}\\
{ \approx 8,3}
\end{array}\)
Phương sai s2
\(\begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{l}}
{{s^2} = {f_1}{{\left( {{x_1} - \bar x} \right)}^2} + {f_2}{{\left( {{x_2} - \bar x} \right)}^2} + ... + {f_k}{{\left( {{x_k} - \bar x} \right)}^2}}
\end{array}\\
= \frac{{9,09}}{{100}}{\left( {7,5 - 8,3} \right)^2} + \frac{{18,18}}{{100}}{\left( {7,8 - 8,3} \right)^2} + \frac{{27,27}}{{100}}{\left( {8,0 - 8,3} \right)^2}\\
+ \frac{{18,18}}{{100}}{\left( {8,4 - 8,3} \right)^2} + \frac{{18,18}}{{100}}{\left( {9,0 - 8,3} \right)^2} + \frac{{9,09}}{{100}}{\left( {9,5 - 8,3} \right)^2}\\
\approx 0,35
\end{array}\)
Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {{s^2}} \approx 0,59\)
Ví dụ 2: Cho bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau
Nhiệt độ trung bình của tháng 2 tại thành phố Vinh từ 1961 đến hết 1990 (30 năm)
Lớp nhiệt độ (0C) | Tần số | Tần suẩt |
[12;14) [14;16) [16;18) [18;20) [20;22) | 1 3 12 9 5 | 3,33 10,00 40,00 30,00 16,67 |
Cộng | 30 | 100 (%) |
Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng trên.
Hướng dẫn:
Số trung bình cộng:
\(\begin{array}{l}
\bar x = {f_1}{c_1} + {f_2}{c_2} + ... + {f_k}{c_k}\\
= \frac{{3,33}}{{100}}.13 + \frac{{10}}{{100}}.15 + \frac{{40}}{{100}}.17 + \frac{{30}}{{100}}.19 + \frac{{16,67}}{{100}}.21\\
\approx 17,93
\end{array}\)
Phương sai s2
\(\begin{array}{l}
{s^2} = {f_1}{\left( {{c_1} - \overline x } \right)^2} + {f_2}{\left( {{c_2} - \overline x } \right)^2} + {f_3}{\left( {{c_3} - \overline x } \right)^2} + {f_4}{\left( {{c_4} - \overline x } \right)^2} + {f_5}{\left( {{c_5} - \overline x } \right)^2}\\
= \frac{{3,33}}{{100}}{\left( {13 - 17,93} \right)^2} + \frac{{10}}{{100}}{\left( {15 - 17,93} \right)^2} + \frac{{40}}{{100}}.{\left( {17 - 17,93} \right)^2} + \frac{{30}}{{100}}{\left( {19 - 17,93} \right)^2} + \frac{{16,67}}{{100}}{\left( {21 - 17,93} \right)^2}\\
\approx 8,64
\end{array}\)
Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {{s^2}} \approx 2,94\)
Trong phạm vi bài học DapAnHay chỉ giới thiệu đến các em những các cách tính Phương sai và độ lệch chuẩn của các bảng phân bố tần số, tần suất (hoặc bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp), qua đó đánh giá được mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng).
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Bài 4để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Nếu đơn vị của số liệu là kg thì đơn vị của phương sai là?
Điều tra về chiều cao của học sinh khối lớp 10, ta có kết quả sau:
Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là
Cho bảng phân bố tần số ghép lớp:
Mệnh đề đúng là:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Bài 4 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 128 SGK Đại số 10
Bài tập 2 trang 128 SGK Đại số 10
Bài tập 3 trang 128 SGK Đại số 10
Bài tập 5.15 trang 162 SBT Toán 10
Bài tập 5.16 trang 162 SBT Toán 10
Bài tập 5.17 trang 162 SBT Toán 10
Bài tập 9 trang 177 SGK Toán 10 NC
Bài tập 10 trang 177 SGK Toán 10 NC
Bài tập 11 trang 178 SGK Toán 10 NC
Bài tập 12 trang 178 SGK Toán 10 NC
Bài tập 13 trang 178 SGK Toán 10 NC
Bài tập 14 trang 179 SGK Toán 10 NC
Bài tập 15 trang 179 SGK Toán 10 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Nếu đơn vị của số liệu là kg thì đơn vị của phương sai là?
Điều tra về chiều cao của học sinh khối lớp 10, ta có kết quả sau:
Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là
Cho bảng phân bố tần số ghép lớp:
Mệnh đề đúng là:
Chọn câu đúng trong bốn phương án trả lời đúng sau đây:
Độ lệch chuẩn là?
Cho dãy số liệu thống kê:1,2,3,4,5,6,7,8. Độ lệch chuẩn của dãy số liệu thống kê gần bằng
Tỉ số giữa tần số và kích thước mẫu được gọi là
Cho mẫu số liệu \(\left\{ {10,8,6,2,4} \right\}\) .Độ lệch chuẩn của mẫu là
Cho bảng số liệu ghi lại điểm của 40 học sinh trong bài kiểm tra 1 tiết môn toán
Mốt của dấu hiệu là?
100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi toán ( thang điểm là 20 ). Kết quả cho trong bảng sau:
Trung bình cộng của bảng số liệu trên là:
Điều tra về chiều cao của học sinh khối lớp 10, ta có kết quả sau:
Độ lệch chuẩn là:
Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số đã được lập ở bài tập 1 và của bảng phân bố tần số ghép lớp cho ở bài tập 2 của §1.
Hai lớp 10C, 10D của một trường Trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Ngữ văn theo cùng một đề thi. Kết quả thi được thình bày ở hai bảng phân bố tần số sau đây:
Điểm thi Ngữ văn của lớp 10C
Điểm thi | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Cộng |
Tần số | 3 | 7 | 12 | 14 | 3 | 1 | 40 |
Điểm thi Ngữ văn của lớp 10D
Điểm thi | 6 | 7 | 8 | 9 | Cộng |
Tần số | 8 | 18 | 10 | 4 | 40 |
a) Tính các số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của các bảng phân bố tần số đã cho.
b) Xét xem kết quả làm bài thi của môn Ngữ văn ở lớp nào là đồng đều hơn?
Cho hai bảng phân bố tần số ghép lớp
Khối lượng của nhóm cá mè thứ 1
Lớp khối lượng(kg) | [0,6;0,8) | [0,8;1,0) | [1,0;1,2) | [1,2;1,4] | Cộng |
Tần số | 4 | 6 | 6 | 4 | 20 |
Khối lượng của nhóm cá mè thứ 2
Lớp khối lượng(kg) | [0,5;0,7) | [0,7;0,9) | [0,9;1,1) | [1,1;1,3) | [1,3;1,5] | Cộng |
Tần số | 3 | 4 | 6 | 4 | 3 | 20 |
a) Tính các số trung bình cộng của các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho.
b) Tính phương sai của các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho.
c) Xét xem nhóm cá nào có khối lượng đồng đều hơn?
a) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của dãy số liệu về chiều cao của học sinh nam và các học sinh nữ cho ở bảng 5;
b) Giả sử trường Trung học phổ thông M còn có một nhóm học sinh nam lớp 10 chuyên toán (kí hiệu là nhóm T) có chiều cao trung bình là \(\overline x \) = 163 cm, có độ lệch chuẩn là s = 13. So sánh chiều cao của ba nhóm học sinh đã cho (nhóm nam, nhóm nữ, nhóm T).
Hai xạ thủ cùng tập bắn, mỗi người đã bắn 30 viên đạn vào bia. Kết quả được ghi lại ở các bảng sau.
Điểm số của xạ thủ A (Bảng 13)
8 | 9 | 10 | 9 | 9 | 10 | 8 | 7 | 6 | 8 |
10 | 7 | 10 | 9 | 8 | 10 | 8 | 9 | 8 | 6 |
10 | 9 | 7 | 9 | 9 | 9 | 6 | 8 | 6 | 8 |
Điểm số của xạ thủ B (Bảng 14)
9 | 9 | 10 | 6 | 9 | 10 | 8 | 8 | 5 | 9 |
9 | 10 | 6 | 10 | 7 | 8 | 10 | 9 | 10 | 9 |
9 | 10 | 7 | 7 | 8 | 9 | 8 | 7 | 8 | 8 |
a) Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của các số liệu thống kê cho ở bảng 13, bảng 14.
b) Xét xem trong lần tập bắn này, xạ thủ nào bắn chụm hơn?
Cho dãy số liệu thống kê (đơn vị là kg): 1, 2, 3, 4, 5 (1)
Dãy (1) có trung bình cộng \(\overline x \) = 3kg và độ lệch chuẩn s = \(\sqrt 2 \) kg.
Cộng thêm 4 kg vào mỗi số liệu thống kê của dãy (1), ta được dãy số liệu thống kê (đã hiệu chỉnh) sau đây (đơn vị là kg): 5, 6, 7, 8, 9 (2)
Khi đó ta có: Độ lệch chuẩn của dãy (2) là:
A. \(\sqrt 2 \) kg
B. \(\sqrt 3 \) kg
C. \(\sqrt 4 \) kg
D. \(\sqrt 6 \) kg
Có 100 học sinh tham dự kỳ thi học sinh giỏi Toán (thang điểm là 20) kết quả được cho bởi bảng sau.
a) Tính số trung bình.
b) Tính số trung vị và mốt. Nêu ý nghĩa
c) Tính phương sai và độ lệch chuẩn
Người ta chia 179 củ khoai tây được chia thành chin nhóm căn cứ trên khối lượng của chúng (đơn vị gam), ta có bảng phân bố tần số sau đây:
Tính khối lượng trung bình của một của khoai tây. Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
Bảng sau đây trích từ số theo dõi bán hàng của một cửa hàng bán xa máy:
a) Tìm số xe trung bình bán được trong mỗi ngày.
b) Tìm phương sai và độ lệch chẩn.
Số liệu sau đây cho ta lãi (quy tròn) hàng tháng của một cửa hàng trong năm 2000. Đơn vị là triệu đồng.
a) Tìm số trung bình, số trung vị
b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn
Một cửa hàng vật liệu xây dựng thống kê số bao xi măng bán ra trong 23 ngày cuối nắm 2004. Kết quả như sau:
47; 54; 43; 50; 61; 36; 65; 54; 50; 43; 62; 59; 36; 45; 45; 33; 53; 67; 21; 45; 50; 36; 58
a) Tính số trung bình, số trung vị
b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn
Số lượng khách đến thăm quan một địa điểm du lịch trong mỗi tháng được thống kê như sau:
a) Tìm số trung bình, số trung vị
b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.
Trên hai con đường A và B trạm kiểm soát đã ghi lại tốc độ (km/h) của 30 chiếc ôto trên mỗi con đường như sau:
Con đường A: 60; 65; 70; 68; 62; 75; 80; 83; 82; 69; 73; 75; 85; 72; 67; 88; 90; 85; 72; 63; 75; 76; 85; 84; 70; 61; 60; 65; 73; 76.
Con đường B: 76; 64; 58; 82; 72; 70; 68; 75; 63; 67; 74; 70; 79 ; 80; 73; 75; 71; 68; 72; 73; 79; 80; 63; 62; 71; 70; 74; 69; 60; 63.
a) Tìm số trung bình, số trung vị, phương sai và độ lệch chuẩn của tốc độ ở trên mỗi con đường A và B.
b) Theo em lái xe trên con đường nào là an toàn hơn?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *