Nội dung bài học Dấu của nhị thức bậc nhất sẽ giới thiệu đến các em cách xét xem một biểu thức f(x) đã cho nhận giá trị âm ( hoặc dương) với những giá trị nào của x và phương pháp để giải bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng ax + b, trong đó a và b là hai số cho trước, với a ≠ 0 và a được gọi là hệ số của x hay hệ số của nhị thức.
Ví dụ 1: \(f(x) = 2x - 3;{\rm{ }}g(x) = 1 - 5x\)
Ta đã biết, phương trình ax + b = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm duy nhất \({x_0} = - \frac{b}{a}\). Nghiệm đó cũng được gọi là nghiệm của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b. Nó có vai trò rất quan trọng trong việc xét dấu của nhị thức bậc nhất f(x).
Định lý: Nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng \(\left( { - \frac{b}{a}; + \infty } \right)\) và trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{b}{a}} \right)\)
Kết quả của định lí trên được tóm tắt trong bảng sau:
Ta gọi bảng này là bảng xét dấu nhị thức f(x) = ax + b.
Giả sử f(x) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lý vè dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bằng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong f(x) ta suy ra được dấu của f(x). Trường hợp f(x) là một thương cũng được xét tương tự.
Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức \(f(x) = \frac{{\left( {4x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{ - 3x + 5}}\)
Hướng dẫn:
Giải các phương trình
\(\begin{array}{l}
4x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\\
x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\\
- 3x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{3}
\end{array}\)
f(x) không xác định khi \(x = \frac{5}{3}\)
Lập bảng xét dấu chung
Vậy f(x) > 0 khi \(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {\frac{1}{4};\frac{5}{3}} \right)\)
f(x) < 0 khi \(x \in \left( { - 2;\frac{1}{4}} \right) \cup \left( {\frac{5}{3}; + \infty } \right)\)
f(x) = 0 khi x = -2 hoặc \(x = \frac{1}{4}\)
Giải bất phương trình f(x) > 0 thực chất là xét xem biểu thức f(x) nhận giá trị dương với những giá trị nào của x (do đó cũng biết f(x) nhận giá trị âm với những giá trị nào của x), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức f(x).
Ví dụ 3: Giải bất phương trình \(\frac{1}{{1 - x}} \ge 1\)
Hướng dẫn:
Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho
\(\frac{1}{{1 - x}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{1 - x}} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{1 - x}} \ge 0\)
Xét dấu biểu thức \(f(x) = \frac{x}{{1 - x}}\) ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {0;1} \right)\)
Một trong những cách giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối là sử dụng định nghĩa để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ta thường phải xét bất phương trình trong nhiều khoảng ( nửa khoảng, đoạn) khác nhau, trên đó các biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối đều có dấu xác định.
Ví dụ 4: Giải bất phương trình |-2x+1|+x-3 < 5
Hướng dẫn:
Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:
\(\left| { - 2x + 1} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{ - 2x + 1,x \ge \frac{1}{2}}\\
{ - \left( { - 2x + 1} \right),x < \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\)
Giải các hệ bất phương trình:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \le \frac{1}{2}\\
\left( { - 2x + 1} \right) + x - 3 < 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le \frac{1}{2}\\
x > - 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow - 7 < x \le \frac{1}{2}\\
\left\{ \begin{array}{l}
x > \frac{1}{2}\\
\left( {2x - 1} \right) + x - 3 < 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > \frac{1}{2}\\
x < 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 3
\end{array}\)
Nghiệm của bất phương trình đã cho là hợp của hai khoảng:
\(\left( { - 7;\frac{1}{2}} \right] \cup \left( {\frac{1}{2};3} \right) = \left( { - 7;3} \right)\)
Kết luận: Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình dạng \(\left| {f(x)} \right| \le a\) và \(f(x) \ge a\) với a > 0 đã cho.
Ta có:
\(\left| {f(x)} \right| \le a \Leftrightarrow - a \le f(x) \le a\)
\(f(x) \ge a \Leftrightarrow f(x) \le a \vee f(x) \ge a\)
Ví dụ 1: Xét dấu các nhị thức \(f(x) = 2x - 3;{\rm{ }}g(x) = 1 - 5x\)
Hướng dẫn:
Hệ số a = 2 > 0 và có nghiệm là \({x_0} = \frac{3}{2}\)
Bảng xét dấu
Vậy f(x) > 0 khi \({x} > \frac{3}{2}\); f(x) < 0 khi \({x} < \frac{3}{2}\)
Hệ số a = -5 < 0 và có nghiệm \({x_0} = \frac{1}{5}\)
Bảng xét dấu
Vậy g(x) > 0 khi \({x} < \frac{1}{5}\); g(x) < 0 khi \({x} > \frac{1}{5}\); g(x) = 0 khi \({x} = \frac{1}{5}\)
Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức \(f(x) = \left( {2x - 1} \right)\left( { - x + 3} \right)\)
Hướng dẫn:
Giải các phương trình
\(\begin{array}{l}
\left( {2x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\\
\left( { - x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 3
\end{array}\)
Lập bảng xét dấu chung
Vậy f(x) > 0 khi \(x \in \left( {\frac{1}{2};3} \right)\)
f(x) < 0 khi \(x \in \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
f(x) = 0 khi x = 1/2 hoặc x = 3
Ví dụ 3: Giải bất phương trình x3 - 4x < 0
Hướng dẫn:
\({x^3} - 4x < 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 4} \right) < 0 \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) < 0\)
Xét dấu biểu thức \(f(x) = x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\)
Bảng xét dấu
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( { - 2;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\)
Ví dụ 4: Giải bất phương trình \(\frac{4}{{x - 1}} > \frac{7}{{2x + 1}}\)
Hướng dẫn:
\(\begin{array}{l}
\frac{4}{{x - 1}} > \frac{7}{{2x + 1}} \Leftrightarrow \frac{4}{{x - 1}} - \frac{7}{{2x + 1}} > 0\\
\Leftrightarrow \frac{{4\left( {2x + 1} \right) - 7\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 11}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} > 0
\end{array}\) (*)
Bảng xét dấu
Từ bảng xét dấu trên ta suy ra tập nghiệm của bất phương trình (*) là:
\(S = \left( { - 11; - \frac{1}{2}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)
Ví dụ 5: Giải bất phương trình \(\left| {3x + 2} \right| \le x + 1\)
Hướng dẫn:
\(\begin{array}{l}
\left| {3x + 2} \right| \le x + 1\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
- \left( {x + 1} \right) \le 3x + 2\\
x + 1 \ge 3x + 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4x \ge - 4\\
2x \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 1\\
x \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le x \le 0
\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ { - 1;0} \right]\)
Trong phạm vi bài học DapAnHay chỉ giới thiệu đến các em khái niệm cơ bản về Dấu của nhị thức bậc nhất và phương pháp để giải bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Bất phương trình \(\sqrt { - {x^2} + 6x - 5} > 8 - 2x\) có nghiệm là:
Bất phương trình: \(\sqrt {2x + 1} < 3 - x\) có nghiệm là:
Nghiệm của hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x^2} - x - 6 \le 0}\\ {{x^3} + {x^2} - x - 1 \ge 0} \end{array}} \right.\) là:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 94 SGK Đại số 10
Bài tập 2 trang 94 SGK Đại số 10
Bài tập 3 trang 94 SGK Đại số 10
Bài tập 4.34 trang 112 SBT Toán 10
Bài tập 4.35 trang 112 SBT Toán 10
Bài tập 4.36 trang 112 SBT Toán 10
Bài tập 4.37 trang 112 SBT Toán 10
Bài tập 4.38 trang 112 SBT Toán 10
Bài tập 3.39 trang 113 SBT Toán 10
Bài tập 4.40 trang 113 SBT Toán 10
Bài tập 4.41 trang 113 SBT Toán 10
Bài tập 4.42 trang 113 SBT Toán 10
Bài tập 4.43 trang 113 SBT Toán 10
Bài tập 4.44 trang 113 SBT Toán 10
Bài tập 4.45 trang 113 SBT Toán 10
Bài tập 32 trang 126 SGK Toán 10 NC
Bài tập 33 trang 126 SGK Toán 10 NC
Bài tập 34 trang 126 SGK Toán 10 NC
Bài tập 35 trang 126 SGK Toán 10 NC
Bài tập 36 trang 127 SGK Toán 10 NC
Bài tập 37 trang 127 SGK Toán 10 NC
Bài tập 38 trang 127 SGK Toán 10 NC
Bài tập 39 trang 127 SGK Toán 10 NC
Bài tập 40 trang 127 SGK Toán 10 NC
Bài tập 41 trang 127 SGK Toán 10 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Bất phương trình \(\sqrt { - {x^2} + 6x - 5} > 8 - 2x\) có nghiệm là:
Bất phương trình: \(\sqrt {2x + 1} < 3 - x\) có nghiệm là:
Nghiệm của hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2{x^2} - x - 6 \le 0}\\ {{x^3} + {x^2} - x - 1 \ge 0} \end{array}} \right.\) là:
Bất phương trình: \(\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| \le {x^2} - 5\) có bao nhiêu nghiệm nghiệm nguyên?
Cho bất phương trình: \({x^2} - 2x \le \left| {x - 2} \right| + ax - 6\). Giá trị dương nhỏ nhất của a để bất phương trình có nghiệm gần nhất với số nào sau đây:
Số nghiệm của phương trình: \(\sqrt {x + 8 - 2\sqrt {x + 7} } = 2 - \sqrt {x + 1 - \sqrt {x + 7} } \) là:
Nghiệm của bất phương trình:
\(\left( {{x^2} + x - 2} \right)\sqrt {2{x^2} - 1} < 0\) là:
Bất phương trình \(\frac{{2{x^2} - x - 1}}{{\left| {x + 1} \right| - 2x}} \le - 2{x^2} + x + 1\)
có bao nhiêu nghiệm nguyên?
Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 1 \le 0\\ x - m > 0 \end{array} \right.\) có nghiệm khi
Cho biểu thức \(f(x) = \left( {2x - 1} \right)\left( {{x^3} - 1} \right)\). Tập hợp tất cả các giá trị của x thỏa mãn bất phương trình \(f(x) \ge 0\)
Xét dấu các biểu thức:
a) \(f(x) = (2x - 1)(x + 3);\)
b) \(f(x) = (- 3x - 3)(x + 2)(x + 3);\)
c) \(f(x) = \frac{-4}{3x+1}-\frac{3}{2-x};\)
d) \(f(x) = 4x^2 - 1.\)
Giải các bất phương trình
a) \(\frac{2}{x-1}\leq \frac{5}{2x-1};\)
b) \(\frac{1}{x+1}<\frac{1}{(x-1)^{2}};\)
c) \(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+4}<\frac{3}{x+3};\)
d) \(\frac{x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}<1.\)
Giải các bất phương trình:
a) \(|5x - 4| \geq 6;\)
b) \(\left| {\frac{{ - 5}}{{x + 2}}} \right| < \left| {\frac{{10}}{{x - 1}}} \right|\)
Xét dấu biểu thức sau: f(x) = (-2x + 3)(x - 2)(x + 4)
Xét dấu biểu thức sau:
\(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
Xét dấu biểu thức sau:
\(f\left( x \right) = \frac{3}{{2x - 1}} - \frac{1}{{x + 2}}\)
Xét dấu biểu thức sau: f(x) = (4x - 1)(x + 2)(3x - 5)(-2x + 7)
Giải bất phương trình sau:
\(\frac{{{x^2} + x - 3}}{{{x^2} - 4}} \ge 1\)
Giải bất phương trình sau: |x - 3| > -1
Giải bất phương trình sau: |5 - 8x| ≤ 11
Giải bất phương trình sau: |x + 2| + |-2x + 1| ≤ x + 1
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}}\). Tìm khoảng mà trong đó f(x) nhận giá trị dương.
A. \(\left( { - \infty - 2} \right)\) và \(\left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\)
B. \(\left( { - \infty - 2} \right)\), \(\left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)
C. \(\left( { - 2; - \frac{3}{2}} \right)\)
D. \(\left( { - 2; - \frac{3}{2}} \right)\) và \(\left( { - \frac{3}{2};2} \right)\)
Nghiệm của bất phương trình sau là:
\(\frac{{{x^2} + x - 3}}{{{x^2} - 4}} \ge 1\)
A. \( - 2 < x \le 1,x > 2\)
B. \( - 2 < x \le 1,x \ge 2\)
C. \(x \le 2; - 1 \le x \le 2\)
D. \(x \le - 2; - 1 \le x < 2\)
Tìm tập nghiệm của bất phương trình |5 - 8x| ≤ 1
A. \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right)\)
B. \(\left[ {\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right]\)
C. \(\left[ {\frac{3}{4}; + \infty } \right]\)
D. \(\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\)
Lập bảng xét dấu của các biểu thức
a) \(\frac{{4 - 3x}}{{2x + 1}}\)
b) \(1 - \frac{{2 - x}}{{3x - 2}}\)
c) \(x{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {3 - x} \right)\)
d) \(\frac{{x{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {1 - x} \right)}}\)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bậc nhất rồi xét dấu:
a) \(-x^2+x+6\)
b) \(2{x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + \sqrt 3 \)
Giải các bất phương trình
a) \(\frac{{\left( {3 - x} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x + 1}} \le 0\)
b) \(\frac{3}{{1 - x}} \ge \frac{5}{{2x + 1}}\)
c) \(\left| {2x - \sqrt 2 } \right| + \left| {\sqrt 2 - x} \right| > 3x - 2\)
d) \(\left| {\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)x + 1} \right| \le \sqrt 3 + \sqrt 2 \)
Giải các hệ phương trình
a) \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt 2 - x} \right) > 0\\
\frac{{4x - 3}}{2} < x + 3
\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{2}{{2x - 1}} \le \frac{1}{{3 - x}}\\
\left| x \right| < 1
\end{array} \right.\)
Giải và biện luận các bất phương trình:
a) mx + 4 > 2x + m2
b) 2mx + 1 ≥ x + 4m2
c) x(m2 - 1) < m4 - 1
d) 2(m+1)x ≤ (m+1)2(x-1)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *