Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm cơ bản về Công thức lượng giác kèm theo các bài tập minh họa có lời giải chi tiết nhằm giúp các em có thêm tài liệu học tập thật tốt.
cos( a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos( a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
\(\tan (a - b) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\)
\(\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\)
Cách ghi nhớ:
Sin thì sin cos cos sin
Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ).
Tang tổng thì lấy tổng tang
Chia một trừ với tích tang, dễ òm.
* Công thức nhân đôi
sin2a = 2sina.cosa
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1= 1 – 2sin2a
\(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\)
Cách ghi nhớ:
Sin gấp đôi = 2 sin cos
Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin
= trừ 1 cộng hai lần bình cos
= cộng 1 trừ hai lần bình sin
Tang gấp đôi
Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang)
Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.
* Công thức hạ bậc
\(\begin{array}{l}
c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = \frac{{1 + c{\rm{os}}2a}}{2}\\
{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a = \frac{{1 - c{\rm{os}}2a}}{2}\\
{\tan ^2}a = \frac{{1 - c{\rm{os}}2a}}{{1 + c{\rm{os}}2a}}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\cos a.\cos b = \frac{1}{2}{\rm{[}}c{\rm{os}}(a - b) + c{\rm{os}}(a + b){\rm{]}}\\
\sin a.\sin b = \frac{1}{2}{\rm{[}}c{\rm{os}}(a - b) - c{\rm{os}}(a + b){\rm{]}}\\
\sin a.\cos b = \frac{1}{2}{\rm{[}}\sin (a - b) + \sin (a + b){\rm{]}}
\end{array}\)
Cách ghi nhớ:
Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ
Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng
Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ
\(\begin{array}{l}
\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\
\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\
\sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\
\sin u - \sin v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}
\end{array}\)
Cách ghi nhớ:
Cos cộng cos bằng hai cos cos
cos trừ cos bằng trừ hai sin sin
Sin cộng sin bằng hai sin cos
sin trừ sin bằng hai cos sin.
Ví dụ 1: Tính \(\sin \frac{{5\pi }}{{12}};c{\rm{os}}\frac{{7\pi }}{{12}}\)
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức cộng đối với sin và cos
* Ta có \(\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \sin \frac{{2\pi + 3\pi }}{{12}} = \sin (\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{4})\)
\(\begin{array}{l}
= \sin \frac{\pi }{6}.c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} + c{\rm{os}}\frac{\pi }{6}.\sin \frac{\pi }{4}\\
= \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}
\end{array}\)
* Ta có \(c{\rm{os}}\frac{{7\pi }}{{12}} = c{\rm{os}}\frac{{3\pi + 4\pi }}{{12}} = \cos (\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3})\)
\(\begin{array}{l}
= c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}.c{\rm{os}}\frac{\pi }{3} - \sin \frac{\pi }{4}.\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\
= \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}
\end{array}\)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng
\(\begin{array}{l}
a){\rm{ }}\tan (\frac{\pi }{4} - a) = \frac{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}\\
b){\rm{ }}\tan (\frac{\pi }{4} + a) = \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}
\end{array}\)
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức cộng đối với tan
\(\begin{array}{l}
a)\tan (\frac{\pi }{4} - a) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{\tan \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} = \frac{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}\\
b)\tan (\frac{\pi }{4} + a) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{\tan \frac{\pi }{4} - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} = \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}
\end{array}\)
Ví dụ 3: Tính sin2a, cos2a, tan2a biết \(\sin a = - \frac{3}{5}{\rm{, }}\pi {\rm{ < a < }}\frac{{3\pi }}{2}\)
Hướng dẫn:
+ Tính cos a bằng công thức lượng giác cơ bản thích hợp
+ Áp dụng công thức nhân đôi
\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}a + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 - {\sin ^2}a\\
\Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 - {( - \frac{3}{5})^2} = \frac{{16}}{{25}} \Leftrightarrow \cos a = \pm \frac{4}{5}
\end{array}\)
Vì \(\pi {\rm{ < a < }}\frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos a = - \frac{4}{5}\)
Vậy \(\sin 2a = 2\sin a.\cos a = 2.( - \frac{3}{5})( - \frac{4}{5}) = \frac{{24}}{{25}}\)
\(\begin{array}{l}
\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2{( - \frac{4}{5})^2} - 1 = \frac{{32}}{{25}} - 1 = \frac{7}{{25}}\\
\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{c{\rm{os}}2a}} = \frac{{24}}{{25}}.\frac{{25}}{7} = \frac{{24}}{7}
\end{array}\)
Ví dụ 4: Tính \({\rm{sin}}\frac{\pi }{8};\tan \frac{\pi }{8}\)
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức hạ bậc
Ta có \({\sin ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\)
Vì \(\sin \frac{\pi }{8} > 0\) nên suy ra \(\sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\)
\({\tan ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}}{{1 + c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}\)
Vì \(\tan \frac{\pi }{8} > 0\) nên suy ra \(\tan \frac{\pi }{8} = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}} = \sqrt {\frac{{{{(2 - \sqrt 2 )}^2}}}{2}} = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } = \sqrt 2 - 1\)
Ví dụ 5: Tính giá trị của các biểu thức
\(A = \sin \frac{{15\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}};B = \cos {75^ \circ }.\cos {15^ \circ }\)
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
\(\begin{array}{l}
A = \sin \frac{{15\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{15\pi }}{{12}} - \frac{{5\pi }}{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{15\pi }}{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)} \right]\\
= \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{10\pi }}{{12}} + \sin \frac{{20\pi }}{{12}}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{5\pi }}{6} + \sin \frac{{5\pi }}{3}} \right]\\
= \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{\pi }{6} + \sin \left( { - \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right] = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}) = \frac{1}{4}\left( {1 - \sqrt 3 } \right)
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
B = \cos {75^ \circ }.\cos {15^ \circ }\\
= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {{{75}^0} - {{15}^0}} \right) + \cos \left( {{{75}^0} + {{15}^0}} \right)} \right]\\
= \frac{1}{2}\left[ {\cos {{60}^0} + \cos {{90}^0}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2} + 0} \right] = \frac{1}{4}
\end{array}\)
Ví dụ 6: Chứng minh đẳng thức
\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x = \sqrt 2 .\sin (x + \frac{\pi }{4})\)
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để biến đổi vế trái thành vế phải của đẳng thức (có thể áp dụng công thức cộng, biến đổi VP thành VT của đẳng thức)
\(\begin{array}{l}
VT{\rm{ = sinx}} + \cos x = \sin x + \sin (\frac{\pi }{2} - x)\\
= 2\sin \frac{\pi }{4}.\cos (x - \frac{\pi }{4}) = 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos (\frac{\pi }{4} - x)\\
= \sqrt 2 .\sin [\frac{\pi }{2} - (\frac{\pi }{4} - x){\rm{]}} = \sqrt 2 .\sin (x + \frac{\pi }{4}) = VP
\end{array}\)
Trong phạm vi bài học DapAnHay chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Công thức lượng giác và phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến công thức lượng giác.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Giả sử \(A = {\rm{tan }}x.{\rm{tan}}(\;\frac{\pi }{3} - {\rm{ }}x){\rm{tan}}(\;\frac{\pi }{3}\; + {\rm{ }}x)\) được rút gọn thành \(A = {\rm{ tan }}nx\). Khi đó n bằng:
Nếu sinx = 3cosx thì sinx.cosx bằng:
Cho \(\sin a = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) . Tính \(\cos 2a\sin a\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 153 SGK Đại số 10
Bài tập 2 trang 153 SGK Đại số 10
Bài tập 3 trang 154 SGK Đại số 10
Bài tập 4 trang 154 SGK Đại số 10
Bài tập 5 trang 154 SGK Đại số 10
Bài tập 6 trang 154 SGK Đại số 10
Bài tập 7 trang 155 SGK Đại số 10
Bài tập 8 trang 155 SGK Đại số 10
Bài tập 6.30 trang 189 SBT Toán 10
Bài tập 6.31 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.32 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.33 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.34 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.35 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.36 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.37 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.38 trang 191 SBT Toán 10
Bài tập 6.39 trang 191 SBT Toán 10
Bài tập 6.40 trang 191 SBT Toán 10
Bài tập 6.41 trang 191 SBT Toán 10
Bài tập 38 trang 213 SGK Toán 10 NC
Bài tập 39 trang 213 SGK Toán 10 NC
Bài tập 40 trang 213 SGK Toán 10 NC
Bài tập 41 trang 214 SGK Toán 10 NC
Bài tập 42 trang 214 SGK Toán 10 NC
Bài tập 43 trang 214 SGK Toán 10 NC
Bài tập 44 trang 214 SGK Toán 10 NC
Bài tập 45 trang 214 SGK Toán 10 NC
Bài tập 46 trang 215 SGK Toán 10 NC
Bài tập 47 trang 215 SGK Toán 10 NC
Bài tập 48 trang 215 SGK Toán 10 NC
Bài tập 49 trang 215 SGK Toán 10 NC
Bài tập 50 trang 215 SGK Toán 10 NC
Bài tập 51 trang 216 SGK Toán 10 NC
Bài tập 52 trang 216 SGK Toán 10 NC
Bài tập 53 trang 216 SGK Toán 10 NC
Bài tập 54 trang 216 SGK Toán 10 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Giả sử \(A = {\rm{tan }}x.{\rm{tan}}(\;\frac{\pi }{3} - {\rm{ }}x){\rm{tan}}(\;\frac{\pi }{3}\; + {\rm{ }}x)\) được rút gọn thành \(A = {\rm{ tan }}nx\). Khi đó n bằng:
Nếu sinx = 3cosx thì sinx.cosx bằng:
Cho \(\sin a = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) . Tính \(\cos 2a\sin a\)
Nếu \(\cos \alpha + \sin \alpha = \sqrt 2 \,\,\,\left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\) thì \(\alpha \) bằng:
Cho \(\cos 2a = \frac{1}{4}\). Tính \(\sin 2a\cos a\)
Tính \(C = \frac{{3{{\tan }^2}\alpha - \tan \alpha }}{{2 - 3{{\tan }^2}\alpha }}\), biết \(\tan \frac{\alpha }{2} = 2\)
Biểu thức nào sau đây có giá trị phụ thuộc vào biến x?
Tính giá trị của biểu thức \(P = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha \) biết \(\sin 2\alpha = \frac{2}{3}\)
Tính giá trị của \(A = \cos {75^0} + \sin {105^0}\)
Cho \(\sin a = - \frac{{12}}{{13}};\,\,\frac{{3\pi }}{2} < a < 2\pi \). Tính \(\cos \left( {\frac{\pi }{3} - a} \right)\)
Tính
a) \(cos225^0 , sin240^0 , cot(-15^0 ), tan 75^0\);
b) \(sin \frac{7x}{12}, cos\left ( -\frac{\pi}{12} \right ),tan\left ( \frac{13\pi}{12} \right )\)
Tính
a) \(cos(\alpha +\frac{\pi }{3})\), biết \(sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}\) và \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\)
b) \(tan(\alpha -\frac{\pi }{4})\), biết \(cos\alpha = -\frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\)
c) \(cos(a + b), sin(a - b),\) biết \(sina = \frac{4}{5}\), \(0^0 < a < 90^0\) và \(b=\frac{2}{3}, 90^0 < b < 180^0\)
Rút gọn các biểu thức
a) \(sin(a + b) + sin(\frac{\pi}{2}- a)sin(-b)\)
b) \(cos(\frac{\pi}{4} + a)cos(\frac{\pi }{4}- a) + sin^2a\)\(cos( \frac{\pi}{4}+ a)cos(\frac{\pi}{4} - a) + \frac{1}{2} sin^2a\)
c) \(cos(\frac{\pi}{2} - a)sin(\frac{\pi }{2} - b) - sin(a - b)\)\(cos(\frac{\pi}{2} - a)sin(\frac{\pi}{2} - b) - sin(a - b)\)
Chứng minh các đẳng thức
a) \(\frac{cos(a-b)}{cos(a+b)}=\frac{cotacotb+1}{cotacotb-1}\)
b) \(sin(a + b)sin(a - b) = sin^2a - sin^2b = cos^2b - cos^2a\)
c) \(cos(a + b)cos(a - b) = cos^2a - sin^2b = cos^2b -sin^2a\)
Tính \(sin2a, cos2a, tan2a\), biết:
a) \(sina = -0,6\) và \(\pi < a < \frac{3\pi }{2}\);
b) \(cosa = -\frac{5}{13}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi\)
c) \(sina + cosa = \frac{1 }{2}\) và \(\frac{3\pi }{4} < a < \pi\)
Cho sin \(2a = -\frac{5}{9}\) và \(\frac{\pi}{2} < a < \pi .\)
Tính \(sina\) và \(cosa\).
Biến đổi thành tích các biểu thức sau
a) \(1 - sinx;\) b) \(1 + sinx;\)
c) \(1 + 2cosx;\) d) \(1 - 2sinx\)
Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{sinx + sin3x + sin5x}}{{cosx + cos3x + cos5x}}\)
Cho \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\), tính \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) - \cos \left( {\alpha - \frac{{2\pi }}{3}} \right)\)
Cho \(\sin \alpha = \frac{8}{{17}},\sin \beta = \frac{{15}}{{17}}\) với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2},0 < \beta < \frac{\pi }{2}\). Chứng minh rằng \(\alpha + \beta = \frac{\pi }{2}\)
Chứng minh rằng các biểu thức sau là những hằng số không phụ thuộc α, β
a) \(\sin 6\alpha \cot 3\alpha - \cos 6\alpha\);
b) \({\left[ {\tan \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) - \cot \left( {{{90}^0} + \alpha } \right)} \right]^2} - {\left[ {\cot \left( {{{180}^0} + \alpha } \right) + \cot \left( {{{270}^0} + \alpha } \right)} \right]^2}\);
c) \(\left( {\tan \alpha - \tan \beta } \right)\cot \left( {\alpha - \beta } \right) - \tan \alpha \tan \beta\);
d) \(\left( {\cot \frac{\alpha }{3} - \tan \frac{\alpha }{3}} \right).\tan \frac{{2\alpha }}{3}\)
Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = AD. Biết tanBDC = \(\frac{3}{4}\), tính các giá trị lượng giác của BAD.
Nếu \(\sin \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\) thì cos2α bằng
A. 0,5 B. -0,25
C. \(\frac{3}{{\sqrt 5 }}\) D. -0,6
Biết sina + cosa = \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\). Giá trị sin2a là
A. \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
B. \(\frac{2}{3}\)
C. \(\frac{{ - 1}}{2}\)
D. \(\frac{1}{2}\)
Cho \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{{3\pi }}{4}\). Giá trị \(\tan 2\alpha \) là
A. \( - 2\sqrt 7 \)
B. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{4}\)
C. \( -3\sqrt 7 \)
D. \( 3\sqrt 7 \)
Cho \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\). Biểu thức \(S = \frac{{\sin 4\alpha - 2\sin 2\alpha }}{{\sin 4\alpha + 2\sin 2\alpha }}\) có thể rút gọn thành biểu thức nào sau đây?
A. - tan2α B. tanα
C. cot2α D. cotα
Cho \(\tan 2\alpha = \frac{4}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Giá trị \(\cos \alpha \) là
A. \(\frac{{ - \sqrt 5 }}{5}\) hoặc \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)
B. \(\frac{{ - \sqrt 5 }}{5}\)
C. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\) hoặc \(\frac{{ - 2\sqrt 5 }}{5}\)
D. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\)
Biết \(\sin a = - \frac{4}{5}\) với \(\frac{{3\pi }}{4} < a < \pi \). Giá trị tan a là
A. \(\frac{1}{2}\) B. 2
C. - 2 D. \(-\frac{1}{2}\)
Cho tanα = 2cotα và \(\frac{{3\pi }}{2}\) < α < 2π. Giá trị của biểu thức sinα + cosα là
A. \(\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3}\)
B. \(\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{3}\)
C. \(\frac{{2 - \sqrt 3 }}{3}\)
D. \(\frac{{2 + \sqrt 3 }}{3}\)
Biết sinα - cosα = \(\frac{1}{2}\) và π < α < \(\frac{{5\pi }}{4}\). Giá trị cot2α là
A. \(\frac{{ - \sqrt 7 }}{3}\)
B. \(\frac{{1 - \sqrt 5 }}{3}\)
C. \(\frac{{2 - \sqrt 7 }}{3}\)
D. \(\frac{{\sqrt 7 }}{3}\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *