Tương tự như bài Dấu của nhị thức bậc nhất, nội dung bài học Dấu của tam thức bậc hai sẽ giới thiệu đến các em cách xét xem một biểu thức bậc hai f(x) đã cho nhận giá trị âm ( hoặc dương) với những giá trị nào của x cũng như xét dấu tích, thương các tam thức bậc hai và phương pháp để giải bất phương trình bậc hai
Tam thức bậc hai đối với là biểu thức có dạng \(f(x) = a{x^2} + bx + c,\) trong đó \(a,b,c\) là những hệ số \(,a \ne 0.\)
Ví dụ 1: Hãy cho biết có bao nhiêu tam thức bậc hai?
\(\begin{array}{l}
a.f(x) = {x^2} - 1\\
b.f(x) = {(x - 1)^2}\\
c.f(x) = (x - 1)(x - 2)\\
d.f(x) = {x^2}({x^2} - 1)
\end{array}\)
Đáp án: 3
Chú ý: Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) cũng là nghiệm của tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c,\Delta = {b^2} - 4ac\;(\Delta ' = b{'^2} - ac)\) được gọi là biệt thức(biệt thức thu gọn ) của tam thức bậc hai.
Định lí: Cho \(f(x) = a{x^2} + bx + c,\Delta = {b^2} - 4ac\)
Nếu \(\Delta < 0\) thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \in R\)
Nếu \(\Delta = 0\) thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi \(x = - \frac{b}{{2a}}\)
Nếu \(\Delta > 0\) thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi \(x < {x_1}\) hoặc \(x > {x_2}\) trái dấu với hệ số a khi \({x_1} < x < {x_2}\) trong đó \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là hai nghiệm của f(x)
Các kết quả trên được thể hiện qua các bảng sau:
+ Với \(\Delta < 0\)
+ Với \(\Delta = 0\)
+ Với \(\Delta > 0\)
* Cách xét dấu tam thức bậc hai
+ Tìm nghiệm tam thức (bấm máy)
+ Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a.
+ Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.
Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng \(a{x^2} + bx + c < 0\) (hoặc
\(a{x^2} + bx + c \le 0,a{x^2} + bx + c > 0,a{x^2} + bx + c \ge 0\)), trong đó \(a,b,c\) là những số thực đã cho \(,a \ne 0.\).
Ví dụ 2: \({x^2} - 1 < 0;2{x^2} - 5x + 2 > 0\)
Giải bất phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c < 0\) thực chất là tìm các khoảng mà trong đó \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) cùng dấu với hệ số a ( trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a ( trường hợp a > 0)
Ví dụ 1: Xét dấu tam thức \(f(x) = 3{x^2} + 2x - 5.\)
Hướng dẫn:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
3{x^2} + 2x - 5 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{5}{3}\\
x = 1
\end{array} \right..
\end{array}\)
Hệ số a = 3 > 0
Bảng xét dấu
Kết luận
\(\begin{array}{l}
f(x) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \frac{5}{3};1} \right)\\
f(x) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - \frac{5}{3}} \right) \cup (1; + \infty ).
\end{array}\)
Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức \(f(x) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} - 1}}\)
Hướng dẫn:
\(\begin{array}{l}
{x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1(a = 1 > 0)\\
{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 1
\end{array} \right.(a = 1 > 0)
\end{array}\)
Bảng xét dấu
Kết luận
\(\begin{array}{l}
f(x) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\\
f(x) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;1} \right)
\end{array}\)
Ví dụ 3: Giải bất phương trình \( - 3{x^2} + 7x - 4 < 0\)
Hướng dẫn:
Ta đặt \(f(x) = - 3{x^2} + 7x - 4\)
\({ - 3{x^2} + 7x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{x = \frac{4}{3}}
\end{array}} \right.}\)
Hệ số a = -3 < 0
Bảng xét dấu
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(T = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{4}{3}; + \infty } \right).\)
Trong phạm vi bài học DapAnHay giới thiệu đến các em khái niệm cơ bản về Dấu của tam thức bậc hai và phương pháp để giải bất phương trình bất phương trình bậc hai một ẩn
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Bài 5để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Để bất phương trình \(\sqrt {(x + 5)(3 - x)} \le {x^2} + 2x + a\) nghiệm đúng \(\forall x \in \left[ { - 5;3} \right]\), tham số a phải thỏa điều kiện:
Với giá trị nào của m thìphương trình \(\sqrt {{x^2} - 2m} + 2\sqrt {{x^2} - 1} = x\) vô nghiệm?
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 3x - 4 \le 0}\\ {{x^3} - 3\left| x \right|x - {m^2} + 6m \ge 0} \end{array}} \right.\). Để hệ có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 105 SGK Đại số 10
Bài tập 2 trang 105 SGK Đại số 10
Bài tập 3 trang 105 SGK Đại số 10
Bài tập 4 trang 105 SGK Đại số 10
Bài tập 4.51 trang 121 SBT Toán 10
Bài tập 4.52 trang 121 SBT Toán 10
Bài tập 4.53 trang 121 SBT Toán 10
Bài tập 4.54 trang 122 SBT Toán 10
Bài tập 4.55 trang 122 SBT Toán 10
Bài tập 4.56 trang 122 SBT Toán 10
Bài tập 4.57 trang 122 SBT Toán 10
Bài tập 4.58 trang 122 SBT Toán 10
Bài tập 4.59 trang 122 SBT Toán 10
Bài tập 4.60 trang 122 SBT Toán 10
Bài tập 4.61 trang 122 SBT Toán 10
Bài tập 4.62 trang 122 SBT Toán 10
Bài tập 4.63 trang 122 SBT Toán 10
Bài tập 4.64 trang 123 SBT Toán 10
Bài tập 4.65 trang 123 SBT Toán 10
Bài tập 4.66 trang 123 SBT Toán 10
Bài tập 4.67 trang 123 SBT Toán 10
Bài tập 4.68 trang 123 SBT Toán 10
Bài tập 4.69 trang 123 SBT Toán 10
Bài tập 4.70 trang 123 SBT Toán 10
Bài tập 4.71 trang 124 SBT Toán 10
Bài tập 4.72 trang 124 SBT Toán 10
Bài tập 4.73 trang 124 SBT Toán 10
Bài tập 4.74 trang 124 SBT Toán 10
Bài tập 4.75 trang 124 SBT Toán 10
Bài tập 49 trang 140 SGK Toán 10 NC
Bài tập 50 trang 140 SGK Toán 10 NC
Bài tập 51 trang 141 SGK Toán 10 NC
Bài tập 52 trang 141 SGK Toán 10 NC
Bài tập 53 trang 145 SGK Toán 10 NC
Bài tập 54 trang 145 SGK Toán 10 NC
Bài tập 55 trang 145 SGK Toán 10 NC
Bài tập 56 trang 145 SGK Toán 10 NC
Bài tập 57 trang 146 SGK Toán 10 NC
Bài tập 58 trang 146 SGK Toán 10 NC
Bài tập 59 trang 146 SGK Toán 10 NC
Bài tập 60 trang 146 SGK Toán 10 NC
Bài tập 61 trang 146 SGK Toán 10 NC
Bài tập 62 trang 146 SGK Toán 10 NC
Bài tập 63 trang 146 SGK Toán 10 NC
Bài tập 64 trang 146 SGK Toán 10 NC
Bài tập 65 trang 151 SGK Toán 10 NC
Bài tập 66 trang 151 SGK Toán 10 NC
Bài tập 67 trang 151 SGK Toán 10 NC
Bài tập 68 trang 151 SGK Toán 10 NC
Bài tập 69 trang 154 SGK Toán 10 NC
Bài tập 70 trang 154 SGK Toán 10 NC
Bài tập 71 trang 154 SGK Toán 10 NC
Bài tập 72 trang 154 SGK Toán 10 NC
Bài tập 73 trang 154 SGK Toán 10 NC
Bài tập 74 trang 154 SGK Toán 10 NC
Bài tập 75 trang 154 SGK Toán 10 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Để bất phương trình \(\sqrt {(x + 5)(3 - x)} \le {x^2} + 2x + a\) nghiệm đúng \(\forall x \in \left[ { - 5;3} \right]\), tham số a phải thỏa điều kiện:
Với giá trị nào của m thìphương trình \(\sqrt {{x^2} - 2m} + 2\sqrt {{x^2} - 1} = x\) vô nghiệm?
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} - 3x - 4 \le 0}\\ {{x^3} - 3\left| x \right|x - {m^2} + 6m \ge 0} \end{array}} \right.\). Để hệ có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:
Hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 5x + 4 \le 0\\ {x^2} - ({m^2} + 3)x + 2({m^2} + 1) \le 0 \end{array} \right.\) có tập nghiệm biểu diễn trên trục số có độ dài bằng 1, với giá trị của m là:
Để phương trình: \(\left| {x + 3} \right|(x - 2) + m - 1 = 0\) có đúng một nghiệm, các giá trị của tham số m là:
Phương trình \(\left| {x - 2} \right|\left( {x + 1} \right) + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt, giá trị thích hợp của tham số m là:
Để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: \(\left| {10x - 2{x^2} - 8} \right| = {x^2} - 5x + a\). Giá trị của tham số a là:
Để phương trình sau cónghiệm duy nhất: \(\left| {2{x^2} - 3x - 2} \right| = 5a - 8x - {x^2}\) . Giá trị của tham số a là:
Giá trị nào của m thì phương trình sau có hai nghiệm phân biệt?
\(\left( {m - 3} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x - \left( {m + 1} \right) = 0\) (1)
Giá trị nào của m thì phương trình x2-mx+1-3m=0 có 2 nghiệm trái dấu?
Xét dấu các tam thức bậc hai
a) \(5x^2 - 3x + 1;\)
b) \(- 2x^2 + 3x + 5;\)
c) \(x^2 + 12x + 36;\)
d) \((2x - 3)(x + 5).\)
Lập bảng xét dấu các biểu thức sau
a) \(f(x) = (3x^2 - 10x + 3)(4x - 5);\)
b) \(f(x) = (3x^2 - 4x)(2x^2 - x - 1);\)
c) \(f(x) = (4x^2 - 1)(- 8x^2 + x - 3)(2x + 9);\)
d) \(f(x) =\frac{(3x^{2}-x)(3-x^{2})}{4x^{2}+x-3}.\)
Giải các bất phương trình sau
a) \(4x^2 - x + 1 < 0;\)
b) \(- 3x^2 + x + 4 \geq 0;\)
c) \(\frac{1}{x^{2}-4}<\frac{3}{3x^{2}+x-4};\)
d) \(x^2 - x - 6 \leq 0.\)
Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm
a) \((m - 2)x^2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0;\)
b) \((3 - m)x^2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0.\)
Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:
a) \(2{x^2} + 5x + 2\)
b) \(4{x^2} - 3x - 1\)
c) \( - 3{x^2} + 5x + 1\)
d) \(3{x^2} + x + 5\)
Giải các bất phương trình sau:
a) x2 - 2x + 3 > 0;
b) x2 + 9 > 6x.
Giải các bất phương trình sau:
a) 6x2 - x - 2 ≥ 0;
b) \(\frac{{{x^2}}}{3} + 3x + 6 < 0\)
Giải các bất phương trình sau:
a) \(\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2} + 3x - 10}} < 0\)
b) \(\frac{{10 - x}}{{5 + {x^2}}} > \frac{1}{2}\)
Giải các bất phương trình sau:
a) \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} + 2 > \frac{{x - 1}}{x}\)
b) \(\frac{1}{{x + 1}} + \frac{2}{{x + 3}} < \frac{3}{{x + 2}}\)
Giải các hệ bất phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} \ge 4x\\
{\left( {2x - 1} \right)^2} < 9
\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3 < \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\\
{x^2} - x \le 6
\end{array} \right.\)
Giải các hệ bất phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} \ge 4\\
{\left( {2x - 1} \right)^2} \le 9
\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}
2x - 3 \le \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\\
{x^2} - x < 6
\end{array} \right.\)
Giải các bất phương trình (ẩn m) sau:
a) \(2{m^2} - m - 5 > 0\)
b) \( - {m^2} + m + 9 > 0\)
Giải các bất phương trình (ẩn m) sau:
a) (2m - 1)2 - 4(m + 1)(m - 2) ≥ 0
b) m2 - (2m - 1)(m + 1) < 0
Giải các hệ bất phương trình (ẩn m) sau:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - m} \right) \ge 0\\
\frac{1}{{{m^2} - m}} > 0\\
\frac{{2m - 1}}{{{m^2} - m}} > 0
\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {m - 2} \right)^2} - \left( {m + 3} \right)\left( {m - 1} \right) \ge 0\\
\frac{{m - 2}}{{m + 3}} > 0\\
\frac{{m - 1}}{{m + 3}} > 0
\end{array} \right.\)
Giải các hệ bất phương trình (ẩn m) sau:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}
2m - 1 > 0\\
{m^2} - \left( {m - 2} \right)\left( {2m - 1} \right) < 0
\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{m^2} - m - 2 > 0\\
{\left( {2m - 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - m - 2} \right) \le 0
\end{array} \right.\)
Tìm các giá trị của tham số m để các tam thức bậc hai sau có dấu không đổi (không phụ thuộc vào x).
a) f(x) = 2x2 - (m + 2)x + m2 - m + 1
b) f(x) = (m2 - m - 1)x2 - (2m - 1)x + 1
Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu
a) (m2 - 1)x2 + (m + 3)x + (m2 + m) = 0
b) x2 - (m3 + m - 2)x + m2 + m - 5 = 0.
Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt
a) x2 - 2x + m2 + m + 3 = 0;
b) (m2 + m + 3)x2 + (4m2 + m + 2)x + m = 0
Với giá trị nào của tham số m hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0?
\(\left\{ \begin{array}{l}
2x - \left( {{m^2} + m + 1} \right)y = - {m^2} - 9\\
{m^4}x + \left( {2{m^2} + 1} \right)y = 1
\end{array} \right.\)
Tìm các giá trị của tham số m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
5x2 - x + m > 0
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *