Phương trình, một khái niệm hết sức quen thuộc mà các em được được học từ tiểu học qua những bài toán tìm x và xuyên suốt chương trình cấp 2, nổi bậc là phương trình bậc hai và định lý Vi-et. Trong chương trình đại số 10, các em sẽ lần lượt được tìm hiểu các dạng phương trình, hệ phương trình và những phương pháp giải của chúng. Mở đầu, các em cùng tìm hiểu bài học Đại cương về phương trình.
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) có tập xác định lần lượt là \({{\rm{D}}_f}\) và \({{\rm{D}}_g}\). Đặt \({\rm{D}} = {D_f} \cap {D_g}.\) Mệnh đề chứa biến "\(f(x) = g(x)\)" được gọi là phương trình một ẩn ; \(x\) được gọi là ẩn số (hay ẩn) và \({\rm{D}}\) gọi là tập xác định của phương trình.
\({x_0} \in D\) gọi là một nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) nếu "\(f(x) = g(x)\)" là mệnh đề đúng.
Chú ý: Các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) là các hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\).
Hai phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) và \({f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu là \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right) \Leftrightarrow {f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\).
\({f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\) gọi là phương trình hệ quả của phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\).
Kí hiệu là \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right) \Rightarrow {f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\)
Định lý 1: Cho phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) có tập xác định \({\rm{D}}\); \(y = h\left( x \right)\) là hàm số xác định trên \({\rm{D}}\). Khi đó trên \({\rm{D}}\), phương trình đã cho tương đương với phương trình sau:
\(1)\,\,f\left( x \right) + h\left( x \right) = g\left( x \right) + h\left( x \right)\)
\(2)\,\,f\left( x \right).h\left( x \right) = g\left( x \right).h\left( x \right)\) nếu \(h\left( x \right) \ne 0\) với mọi \(x \in D\)
Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho.
\(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow {f^2}\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\).
Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần chú ý
Phương pháp giải
- Điều kiện xác định của phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của \(f\left( x \right),\,\,g\left( x \right)\) cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài)
- Điều kiện để biểu thức
Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:
a) \(x + \frac{5}{{{x^2} - 4}} = 1\)
b) \(1 + \sqrt {3 - x} = \sqrt {x - 2} \)
a) Điều kiện xác định của phương trình là \({x^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} \ne 4 \Leftrightarrow x \ne \pm 2.\)
b) Điều kiện xác định của phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 - x \ge 0}\\{x - 2 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le 3}\\{x \ge 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 2 \le x \le 3.\)
Tìm điều kiện xác định của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:
a) \(4x + \sqrt {4x - 3} = 2\sqrt {3 - 4x} + 3\)
b) \(\sqrt { - {x^2} + 6x - 9} + {x^3} = 27\)
a) Điều kiện xác định của phương trình là\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{\rm{x}} - 3 \ge 0}\\{3 - 4{\rm{x}} \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge \frac{3}{4}}\\{x \le \frac{3}{4}}\end{array} \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}} \right.\)
Thử vào phương trình thấy \(x = \frac{3}{4}\) thỏa mãn
Vậy tập nghiệp của phương trình là \({\rm{S}} = \left\{ {\frac{3}{4}} \right\}.\)
b) Điều kiện xác định của phương trình là \( - {x^2} + 6x - 9 \ge 0 \Leftrightarrow - {\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow x = 3\)
Thay \({\rm{x}} = 3\) vào thấy thỏa mãn phương trình
Vậy tập nghiệp của phương trình là \({\rm{S}} = \left\{ 3 \right\}.\)
Phương pháp giải:
Để giải phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng
Tìm số nghiệm của các phương trình sau:
a) \(1 + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{5}{{{x^2} - x - 6}}\)
b) \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {x - 2} }} = \frac{1}{{\sqrt {x - 2} }} - \sqrt {x - 2} \)
a) ĐKXĐ : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 3}\\{{x^2} - x - 6 \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 3}\\{x \ne - 2}\end{array}} \right.\)
Với điều kiện đó phương trình tương đương với
\(1 + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{5}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right) + x + 2 = 5\)
\( \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\)
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là \({\rm{x}} = - 3\).
b) ĐKXĐ: \({\rm{x}} > 2\)
Với điều kiện đó phương trình tương đương với
\({x^2} = 1 - \left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} + x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {13} }}{2}\)
Đối chiếu với điều kiện ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn
Vậy phương trình vô nghiệm.
Tìm \(m\) để cặp phương trình sau tương đương
\(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 2 = 0\) (1) và \(\left( {m - 2} \right){x^2} - 3x + {m^2} - 15 = 0\) (2)
Giả sử hai phương trình (1) và (2) tương đương
Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {mx - m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{mx - m + 2 = 0}\end{array}} \right.\)
Do hai phương trình tương đương nên \(x = 1\) là nghiệm của phương trình (2)
Thay \(x = 1\) vào phương trình (2) ta được
\(\left( {m - 2} \right) - 3 + {m^2} - 15 = 0 \Leftrightarrow {m^2} + m - 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 4}\\{m = - 5}\end{array}} \right.\)
Phương trình (2) trở thành \( - 7{x^2} - 3x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = - \frac{{10}}{7}}\end{array}} \right.\)
Suy ra hai phương trình không tương đương
Phương trình (2) trở thành \(2{x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)
Suy ra hai phương trình tương đương
Vậy \(m = 4\)thì hai phương trình tương đương.
Trong phạm vi bài học DapAnHay chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về khái niệm cơ bản nhất đại cương về phương trình. Về các thuật ngữ có vẻ hết sức quen thuộc. Khái niệm Phương trình các em đã bước đầu được tìm hiểu ở chương trình Toán lớp 8, lên bậc THPT chúng ta sẽ được học nâng cao hơn, các em cần tìm hiểu thêm.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chương 3 Bài 1để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tìm điều kiện xác định của phương trình \(\frac{5}{{{x^2} - x - 1}} = \sqrt[3]{x}.\)
Tìm điều kiện xác định của phương trình \(1 + \sqrt {2x - 4} = \sqrt {2 - 4x} .\)
Tìm điều kiện xác định của phương trình \(\sqrt { - {x^2} + x - 1} + x = 1.\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chương 3 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 57 SGK Đại số 10
Bài tập 2 trang 57 SGK Đại số 10
Bài tập 3 trang 57 SGK Đại số 10
Bài tập 4 trang 57 SGK Đại số 10
Bài tập 3.1 trang 56 SBT Toán 10
Bài tập 3.2 trang 56 SBT Toán 10
Bài tập 3.3 trang 56 SBT Toán 10
Bài tập 3.4 trang 57 SBT Toán 10
Bài tập 3.5 trang 57 SBT Toán 10
Bài tập 3.6 trang 57 SBT Toán 10
Bài tập 3.7 trang 57 SBT Toán 10
Bài tập 3.8 trang 57 SBT Toán 10
Bài tập 3.9 trang 57 SBT Toán 10
Bài tập 3.10 trang 58 SBT Toán 10
Bài tập 3.11 trang 58 SBT Toán 10
Bài tập 3.12 trang 58 SBT Toán 10
Bài tập 1 trang 71 SGK Toán 10 NC
Bài tập 2 trang 71 SGK Toán 10 NC
Bài tập 3 trang 71 SGK Toán 10 NC
Bài tập 4 trang 71 SGK Toán 10 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Tìm điều kiện xác định của phương trình \(\frac{5}{{{x^2} - x - 1}} = \sqrt[3]{x}.\)
Tìm điều kiện xác định của phương trình \(1 + \sqrt {2x - 4} = \sqrt {2 - 4x} .\)
Tìm điều kiện xác định của phương trình \(\sqrt { - {x^2} + x - 1} + x = 1.\)
Tìm số nghiệm của các phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {x - 2} }} = \frac{1}{{\sqrt {x - 2} }} - \sqrt {x - 2} .\)
Tìm số nghiệm của các phương trình \(\sqrt {\sqrt x - 1} ({x^2} - x - 2) = 0.\)
Tìm số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x + 4} = 8 - 3x.\)
Tìm \(m\) để cặp phương trình sau tương đương:
\({x^2} + mx - 1 = 0\) (1) và \(\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + m - 3 = 0\) (2)
Tìm số nghiệm của phương trình \(\left| {2x + 1} \right| = \left| {x - 2} \right|.\)
Tìm số nghiệm của phương trình \(\left| {2x + 1} \right| = x - 1.\)
Tìm \(m\) để cặp phương trình sau tương đương:
\(2{x^2} + mx - 2 = 0\) (3) và \(2{x^3} + \left( {m + 4} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 4 = 0\) (4)
Cho hai phương trình \(3x = 2\) và \(2x = 3\).
Cộng các vế tương ứng của hai phương trình đã cho. Hỏi
a) Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho hay không?
b) Phương trình đó có phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho hay không ?
Cho hai phương trình \(4x = 5\) và \(3x = 4\) .
Nhân các vế tương ứng của hai phương trình đã cho. Hỏi
a) Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho hay không?
b) Phương trình đó có phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho hay không?
Giải các phương trình
a) \(\sqrt{3-x}+x =\) \(\sqrt{3-x} + 1\);
b) \(x +\sqrt{x-2}=\) \(\sqrt{2-x}+2\) ;
c) \(\frac{x^{2}}{\sqrt{x-1}}=\frac{9}{\sqrt{x-1}}\);
d) \(x^2 -\sqrt{1-x}=\sqrt{x-2}+3\).
Giải các phương trình
a) \(x + 1 +\frac{2}{x +3}=\) \(\frac{x +5}{x +3}\);
b) \(2x +\frac{3}{x -1}=\) \(\frac{3x}{x -1}\);
c) \(\frac{x^{2}-4x-2}{\sqrt{x-2}}=\sqrt{x-2}\)
d) \(\frac{2x^{2}-x-3}{\sqrt{2x-3}}=\sqrt{2x-3}\).
Tìm điều kiện của các phương trình sau
a) \(\sqrt {2x + 1} = \frac{1}{x}\)
b) \(\frac{{x + 2}}{{\sqrt {2{x^2} + 1} }} = 3{x^2} + x + 1\)
c) \(\frac{x}{{\sqrt {x - 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {x + 3} }}\)
d) \(\frac{{2x + 3}}{{{x^2} - 4}} = \sqrt {x + 1} \)
Xác định tham số m để các cặp phương trình sau tương đương
a) x + 2 = 0 và \(\frac{{mx}}{{x + 3}} + 3m - 1 = 0\)
b) x2 - 9 = 0 và \(2{x^2} + \left( {m - 5} \right)x - 3\left( {m + 1} \right) = 0\)
Giải các phương trình:
a) \(\frac{{3{x^2} + 1}}{{\sqrt {x - 1} }} = \frac{4}{{\sqrt {x - 1} }}\)
b) \(\frac{{{x^2} + 3x + 4}}{{\sqrt {x + 4} }} = \sqrt {x + 4} \)
c) \(\frac{{3{x^2} - x - 2}}{{\sqrt {3x - 2} }} = \sqrt {3x - 2} \)
d) \(2x + 3 + \frac{4}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\)
Xác định m để mỗi cặp phương trình sau tương đương
a) 3x - 2 = 0 và (m + 3)x - m + 4 = 0
b) x + 2 = 0 và m(x2 + 3x + 2) + m2x + 2 = 0
Điều kiện của phương trình sau là: \(\frac{{2{x^2} + x\sqrt {2x - 3} }}{{x + 2}} = 3 + x - \sqrt {7 - 4x} \)
A. \(x \ne - 2\)
B. \(x \ge \frac{3}{2}\)
C. \(\frac{3}{2} \le x \le \frac{7}{4}\)
D. \(x \le \frac{7}{4}\)
Điều kiện của phương trình sau là:
\(\frac{{4x + 3}}{{\sqrt {3x + 2} }} = \frac{2}{{{x^2}}} + \sqrt {2 - x} \)
A. \(x \ne 0\)
B. \(x > - \frac{2}{3}\)
C. \(x \le 2\)
D. \( - \frac{2}{3} < x \le 2,x \ne 0\)
Điều kiện của phương trình sau là:
\(\frac{{\sqrt {x - 2} }}{{{x^2} + x - 2}} = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {x - 2} }}\)
A. \(x \ne 1\)
B. x > 2
C. \(x \ne -2\)
D. \(x \ne 1,x \ne - 2\)
Nghiệm của phương trình sau là:
\(2{x^2} - 1 + \sqrt {2x - 1} = 7 + \sqrt {2x - 1} \)
A. x = -2 B. x = 2; x = -2
C. x = 2 D. \(x = \frac{1}{2}\)
Tìm nghiệm của phương trình sau là:
\(\frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{\sqrt {2x - 7} }} = \sqrt {2x - 7} \)
A. x = 1 B. x = -1
C. x = 2 D. Phương trình vô nghiệm
Nghiệm của phương trình sau là:
\(\frac{{x - 4}}{{ - {x^2} + 4x - 3}} = \frac{3}{{{x^2} - 4x + 3}} - 1\)
A. x = 4 B. x = 1
C. x = 3 D. x = 1 và x = 4
Cho hai phương trình
2x - 1 = 0 (1) và \(\frac{{2mx}}{{x + 1}} + m - 1 = 0\,\,\left( 2 \right)\)
Hai phương trình (1) và (2) tương đương khi giá trị của tham số m là
A. m = \(\frac{1}{2}\) B. m = \(\frac{3}{5}\)
C. m = 1 D. m = 0.
Cho hai phương trình
x2 + 3x - 4 = 0 (1) và 2x2 + (4m - 6)x - 4(m - 1) = 0 (2)
Hai phương trình (1) và (2) tương đương khi giá trị của tham số m là
A. m = \(\frac{3}{2}\) B. m = 3
C. m = \(\frac{1}{2}\) D. m = 1
Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó.
a) \(\sqrt x = \sqrt { - x} \)
b) \(3x - \sqrt {x - 2} = \sqrt {2 - x} + 6\)
c) \(\frac{{\sqrt {3 - x} }}{{x - 3}} = x + \sqrt {x - 3} \)
d) \(x + \sqrt {x - 1} = \sqrt { - x} \)
Giải các phương trình sau:
a) \(x + \sqrt {x - 1} = 2 + \sqrt {x - 1} \)
b) \(x + \sqrt {x - 1} = 0,5 + \sqrt {x - 1} \)
c) \(\frac{x}{{2\sqrt {x - 5} }} = \frac{3}{{\sqrt {x - 5} }}\)
d) \(\frac{x}{{2\sqrt {x - 5} }} = \frac{2}{{\sqrt {x - 5} }}\)
Giải các phương trình sau:
a) \(x + \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\)
b) \(x + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{{2x - 3}}{{x - 2}}\)
c) \(\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\sqrt {x - 3} = 0\)
d) \(\left( {{x^2} - x - 2} \right)\sqrt {x + 1} = 0\)
Giải các phương trình sau bằng cách bình phương hai vế của phương trình.
a) \(\sqrt {x - 3} = \sqrt {9 - 2x} \)
b) \(\sqrt {x - 1} = x - 3\)
c) \(2\left| {x - 1} \right| = x + 2\)
d) \(\left| {x - 2} \right| = 2x - 1\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *