Nội dung bài học Phương trình - hệ phương trình sẽ giúp các em hệ thống lại kiến thức chương 3, đồng thời các em có thể tham khảo và luyện tập giải các bài tập liên quan đến phương trình - hệ phương trình.
Kí hiệu là \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right) \Rightarrow {f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\)
\(ax + b = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) | ||
Hệ số | Kết luận | |
\(a \ne 0\) | \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = - \frac{b}{a}\) | |
\(a = 0\) | \(b \ne 0\) | \(\left( 1 \right)\) vô nghiệm |
\(b = 0\) | \(\left( 1 \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x\) |
Khi \(a \ne 0\) phương trình \(ax + b = 0\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
\(a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) | |
\(\Delta = {b^2} - 4ac\) | Kết luận |
\(\Delta > 0\) | \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,\,\,2}} = \frac{{ - \,b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\) |
\(\Delta = 0\) | \(\left( 2 \right)\) có nghiệm kép \(x = - \frac{b}{{2a}}\) |
\(\Delta < 0\) | \(\left( 2 \right)\) vô nghiệm |
Nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thì
\({x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\)
Ngược lại, nếu hai số \(u\) và \(v\) có tổng \(u + v = S\) và tích \(uv = P\) thì \(u\) và \(v\) là các nghiệm của phương trình
\({x^2} - Sx + P = 0.\)
Định nghĩa và tính chất
\(\begin{array}{l}
\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}
A & khi\,\,A \ge 0\\
- A & khi\,\,A < 0
\end{array} \right.\\
\left| A \right| \ge 0,\,\,\forall A\\
\left| {A.B} \right| = \left| A \right|.\left| B \right|\\
{\left| A \right|^2} = {A^2}\\
\left| {A + B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| \Leftrightarrow A.B \ge 0\\
\left| {A + B} \right| = \left| {\left| A \right| - \left| B \right|} \right| \Leftrightarrow A.B \le 0\\
\left| {A - B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| \Leftrightarrow A.B \le 0\\
\left| {A - B} \right| = \left| {\left| A \right| - \left| B \right|} \right| \Leftrightarrow A.B \ge 0
\end{array}\)
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:
– Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ
Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách
– Nâng luỹ thừa hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
Dạng 1: \(\sqrt {f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) = {\left[ {g(x)} \right]^2}\\
g(x) \ge 0
\end{array} \right.\)
Dạng 2: \(\sqrt {f(x)} = \sqrt {g(x)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) = g(x)\\
f(x) \ge 0\,\,(hay\,\,g(x) \ge 0)
\end{array} \right.\)
Dạng 3: \(af(x) + b\sqrt {f(x)} + c = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = \sqrt {f(x)} ,\,\,t \ge 0\\
a{t^2} + bt + c = 0
\end{array} \right.\)
Dạng 4: \(\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} = h(x)\)
· Đặt \(u = \sqrt {f(x)} ,\,\,v = g(x)\) với \(u,v \ge 0\)
· Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v.
Dạng 5: \(\sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} + \sqrt {f(x).g(x)} = h(x)\)
Đặt \(t = \sqrt {f(x)} + \sqrt {g(x)} ,\,\,t \ge 0\)
Xét định thức | Kết quả | |
\(D \ne 0\) | Hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x = \frac{{{D_x}}}{D};y = \frac{{{D_y}}}{D}} \right)\) | |
D=0 | \(D_x \ne 0\) hoặc \(D_y \ne 0\) | Hệ vô nghiệm |
\(D_x=D_y\) | Hệ có vô số nghiệm |
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ví dụ 1: Giải các phương trình
a) \(\sqrt {2x - 3} = x - 3\)
b) \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4} = \sqrt {2 - x} \)
Hướng dẫn:
\(\begin{array}{l}
a) \sqrt {2x - 3} = x - 3\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 3 \ge 0\\
2x - 3 = {\left( {x - 3} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
{x^2} - 8x + 12 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
x = 6 \vee x = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = 6
\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 6
\(\begin{array}{l}
b)\sqrt {{x^2} + 2x + 4} = \sqrt {2 - x} \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 - x \ge 0\\
{x^2} + 2x + 4 = 2 - x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 2\\
{x^2} + 3x + 2 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 2\\
x = - 1 \vee x = - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = - 1 \vee x = - 2
\end{array}\)
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = - 1 và x = -2
Ví dụ 2: Giải các phương trình
a) \(1 + \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{10}}{{x + 3}} - \frac{{50}}{{(2 - x)(x + 3)}}\)
b) \(\left| {{x^2} - 4x - 5} \right| = 4x - 17\)
Hướng dẫn:
a) Điều kiện \(x \ne 2,x \ne - 3\)
\(\begin{array}{l}
1 + \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{10}}{{x + 3}} - \frac{{50}}{{(2 - x)(x + 3)}}\\
\Leftrightarrow \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{10\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{50}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\
\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 2\left( {x + 3} \right) = 10\left( {x - 2} \right) + 50\\
\Leftrightarrow {x^2} - 7x - 30 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 10(n)\\
x = - 3(l)
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 10
b)
\(\begin{array}{l}
\left| {{x^2} - 4x - 5} \right| = 4x - 17\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 4x - 5 = 4x - 17,{x^2} - 4x - 5 \ge 0\\
- {x^2} + 4x + 5 = 4x - 17,{x^2} - 4x - 5 < 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 8x + 12 = 0,{x^2} - 4x - 5 \ge 0\\
- {x^2} + 22 = 0,{x^2} - 4x - 5 < 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 2(l)\\
x = 6(n)
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x = \sqrt {22} (n)\\
x = - \sqrt {22} (l)
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 6 và \(x = \sqrt {22} \)
Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình
\(a) \left\{ \begin{array}{l}
2x + y = 11\\
5x - 4y = 8
\end{array} \right.\)
\(b)\left\{ \begin{array}{l}
3x + y - z = 1\\
2x - y + 2z = 5\\
x - 2y - 3z = 0
\end{array} \right.\)
Hướng dẫn:
\(\begin{array}{l}
a)\left\{ \begin{array}{l}
2x + y = 11\\
5x - 4y = 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8x + 4y = 44\\
5x - 4y = 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
13x = 52\\
5x - 4y = 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
20 - 4y = 8
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
y = 3
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy hệ có nghiệm (4;3)
\(\begin{array}{l}
b)\left\{ \begin{array}{l}
3x + y - z = 1\\
2x - y + 2z = 5\\
x - 2y - 3z = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - 3x + z + 1\\
2x - \left( { - 3x + z + 1} \right) + 2z = 5\\
x - 2\left( { - 3x + z + 1} \right) - 3z = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - 3x + z + 1\\
5x + z = 6\\
7x - 5z = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - 3x + z + 1\\
25x + 5z = 30\\
7x - 5z = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = - 3x + z + 1\\
32x = 32\\
7x - 5z = 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = - 1\\
z = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;-1;1)
Bài ôn tập chương 3 sẽ giúp các em có cái nhìn khái quát về nội dung phần Phương trình - hệ phương trình đã được học. Đây là những kiến thức mang tính chất hỗ trợ trong suốt chương trình Toán THPT các khối lớp. Vì vậy yêu cầu đặt ra các em cần ghi nhớ được các định nghĩa, các cách giải phương trình và hệ phương trình để vận dụng sau này.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Ôn tập chương IIIđể kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Điều kiện của phương trình \(x + 2 - \frac{1}{{\sqrt {x + 2} }} = \frac{{\sqrt {4 - 3x} }}{{x + 1}}\) là:
Tập nghiệm của phương trình \(\frac{{\left( {{m^2} + 2} \right)x + 2m}}{x} = 2\) trong trường hợp \(m \ne 0\) là:
Nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
3x - 5y = 2\\
4x + 2y = 7
\end{array} \right.\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Ôn tập chương III sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 70 SGK Đại số 10
Bài tập 2 trang 70 SGK Đại số 10
Bài tập 3 trang 70 SGK Đại số 10
Bài tập 4 trang 70 SGK Đại số 10
Bài tập 5 trang 70 SGK Đại số 10
Bài tập 6 trang 70 SGK Đại số 10
Bài tập 7 trang 70 SGK Đại số 10
Bài tập 8 trang 71 SGK Đại số 10
Bài tập 9 trang 71 SGK Đại số 10
Bài tập 10 trang 71 SGK Đại số 10
Bài tập 11 trang 71 SGK Đại số 10
Bài tập 12 trang 71 SGK Đại số 10
Bài tập 13 trang 71 SGK Đại số 10
Bài tập 3.39 trang 76 SBT Toán 10
Bài tập 3.40 trang 76 SBT Toán 10
Bài tập 3.41 trang 76 SBT Toán 10
Bài tập 3.42 trang 76 SBT Toán 10
Bài tập 3.43 trang 76 SBT Toán 10
Bài tập 3.44 trang 77 SBT Toán 10
Bài tập 3.45 trang 77 SBT Toán 10
Bài tập 3.46 trang 77 SBT Toán 10
Bài tập 3.47 trang 77 SBT Hình 10
Bài tập 3.48 trang 77 SBT Toán 10
Bài tập 3.49 trang 77 SBT Toán 10
Bài tập 3.50 trang 77 SBT Toán 10
Bài tập 3.51 trang 77 SBT Toán 10
Bài tập 3.52 trang 77 SBT Toán 10
Bài tập 3.53 trang 78 SBT Toán 10
Bài tập 50 trang 101 SGK Toán 10 NC
Bài tập 51 trang 101 SGK Toán 10 NC
Bài tập 52 trang 101 SGK Toán 10 NC
Bài tập 53 trang 101 SGK Toán 10 NC
Bài tập 54 trang 101 SGK Toán 10 NC
Bài tập 55 trang 101 SGK Toán 10 NC
Bài tập 56 trang 101 SGK Toán 10 NC
Bài tập 57 trang 101 SGK Toán 10 NC
Bài tập 58 trang 102 SGK Toán 10 NC
Bài tập 59 trang 102 SGK Toán 10 NC
Bài tập 60 trang 102 SGK Toán 10 NC
Bài tập 61 trang 102 SGK Toán 10 NC
Bài tập 62 trang 102 SGK Toán 10 NC
Bài tập 63 trang 102 SGK Toán 10 NC
Bài tập 64 trang 102 SGK Toán 10 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Điều kiện của phương trình \(x + 2 - \frac{1}{{\sqrt {x + 2} }} = \frac{{\sqrt {4 - 3x} }}{{x + 1}}\) là:
Tập nghiệm của phương trình \(\frac{{\left( {{m^2} + 2} \right)x + 2m}}{x} = 2\) trong trường hợp \(m \ne 0\) là:
Nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
3x - 5y = 2\\
4x + 2y = 7
\end{array} \right.\)
Nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x - 2y - z = 7{\rm{ (1)}}}\\
{ - 4x + 3y + 3z = - 5{\rm{ (2)}}}\\
{ - x - 2y + 3z = - 5{\rm{ (3)}}}
\end{array}} \right.\)
Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm?
Phương trình \(9x - 14 = \sqrt {13 - 9x} \) có tập nghiệm là:
Trong các phương trình sau phương trình nào có nghiệm x = 1
Phương trình \(\sqrt {4{x^2} + 12x + 9} = 0\) có tập nghiệm là:
Cho phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} + xy - {x^2} = 0\\
{x^2} - xy - {y^2} + 3x + 7y + 3 = 0
\end{array} \right.\)
Các cặp nghiệm (x ; y) sao cho x, y đều là các số nguyên là:
Cho phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} + {y^2} + 3xy = 12\\
2{(x + y)^2} - {y^2} = 14
\end{array} \right.\)
Các cặp nghiệm dương của hệ phương trình là:
Khi nào hai phương trình được gọi là tương đương? Cho ví dụ.
Thế nào là phương trình hệ quả? Cho ví dụ.
Giải các phương trình
a) \(\sqrt {x - 5} + x = \sqrt {x - 5} + 6\) b) \(\sqrt {1 - x} + x = \sqrt {x - 1} + 2\)
c) \(\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {x - 2} }} = \frac{8}{{\sqrt {x - 2} }}\) d) \(3 + \sqrt {2 - x} = 4{x^2} - x + \sqrt {x - 3} \)
Giải các phương trình
a) \(\frac{{3x + 4}}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}} = \frac{4}{{{x^2} - 4}} + 3\)
b) \(\frac{{3{x^2} - 2x + 3}}{{2x - 1}} = \frac{{3x - 5}}{2}\)
c) \(\sqrt {{x^2} - 4} = x - 1\)
Giải các hệ phương trình:
a) \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 5y = 9\\4x + 2y = 11\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 12\\5x - 2y = 7\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 5\\3x + 2y = 8\end{array} \right.\)
d) \(\left\{ \begin{array}{l}5x + 3y = 15\\4x - 5y = 6\end{array} \right.\)
Hai công nhân được giao việc sơn một bức tường. Sau khi người thứ nhất làm được 7 giờ và người thứ hai làm được 4 giờ thì họ sơn được \(\frac{5}{9}\) bức tường. Sau đó họ cùng làm việc với nhau trong 4 giờ thì chỉ còn lại \(\frac{1}{{18}}\) bức tường chưa sơn. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sau bao nhiêu giờ mỗi người mới sơn xong bức tường?
Giải các hệ phương trình
a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + z = - 7\\ - 4x + 5y + 3z = 6\\x + 2y - 2z = 5\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4y - 2z = 1\\ - 2x + 3y + z = - 6\\3x + 8y - z = 12\end{array} \right.\)
Ba phân số đều có tử số là 1 và tổng của ba phân số đó bằng 1. Hiệu của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng phân số thứ ba, còn tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng 5 lần phân số thứ ba. Tìm các phân số đó.
Một phân xưởng được giao sản xuất 360 sản phẩm trong một số ngày nhất định. Vì phân xưởng tăng năng suất, mỗi ngày làm thêm được 9 sản phẩm so với định mức, nên trước khi hết hạn một ngày thì phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm được giao là 5%. Hỏi nếu vẫn tiếp tục làm việc với năng suất đó thì khi hết hạn phân xưởng đó làm được tất cả bao nhiêu sản phẩm.
Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi
a) \(5{x^2} - 3x - 7 = 0\) b) \(3{x^2} + 4x + 1 = 0\)
c) \(0,2{x^2} + 1,2x - 1 = 0\) d) \(\sqrt 2 {x^2} + 5x + \sqrt 8 = 0\)
Giải các phương trình:
a) \(|4x - 9|\,\, = \,\,3 - 2x\) b) \(|2x + 1|\,\, = \,\,|3x + 5|\)
Tìm hai cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật trong hai trường hợp.
a) Chu vi là 94,4m và diện tích là \(494,55{m^2}\)
b) Hiệu của hai cạnh là 12,1m và diện tích là 1089 \({m^2}\)
Hai người quét sân. Cả hai người cùng quét sân hết 1 giờ 20 phút, trong khi nếu chỉ quét một mình thì người thứ nhất quét hết nhiều hơn 2 giờ so với người thứ hai. Hỏi mỗi người quét sân một mình thì hết mấy giờ?
Tìm điều kiện của mỗi phương trình sau:
a) \(\sqrt { - 3x + 2} = \frac{2}{{x + 1}}\)
b) \(\sqrt {x - 2} + x = 3{x^2} + 1 - \sqrt { - x - 4} \)
c) \(\frac{{x+4}}{{\sqrt {3{x^2} + 6x + 11} }} = \sqrt {2x + 1} \)
d) \(\frac{{\sqrt { - 3x + 2} }}{{{x^2} - 9}} = x + 2\)
Xác định m để mỗi cặp phương trình sau tương đương:
a) 3x - 1 = 0 và \(\frac{{3mx + 1}}{{x - 2}} + 2m - 1 = 0\)
b) \({x^2} + 3x - 4 = 0\) và \(m{x^2} - 4x - m + 4 = 0\)
Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a) \(2m\left( {x - 2} \right) + 4 = \left( {3 - {m^2}} \right)x\)
b) \(\frac{{\left( {m + 3} \right)x}}{{2x - 1}} = 3m + 2\)
c) \(\frac{{8mx}}{{x + 3}} = \left( {4m + 1} \right)x + 1\)
d) \(\frac{{\left( {2 - m} \right)x}}{{x - 2}} = \left( {m - 1} \right)x - 1\)
Cho phương trình
3x2 + 2(3m - 1)x + 3m2 - m + 1 = 0
a) Với giá trị nào của m thì phương trình vô nghiệm?
b) Giải phương trình khi m = - 1.
Cho phương trình
(m + 1)x2 + (3m - 1)x + 2m - 2 = 0.
Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 mà x1 + x2 = 3. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.
Giải các phương trình:
a) \(\frac{{\sqrt {4{x^2} + 7x - 2} }}{{x + 2}} = \sqrt 2 \)
b) \(\sqrt {2{x^2} + 3x - 4} = \sqrt {7x + 2} \)
Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a) \(\left| {2x - 5m} \right| = 2x - 3m\)
b) \(\left| {3x + 4m} \right| = \left| {4x - 7m} \right|\)
c) \(\left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {2m - 3} \right)x + m + 2 = 0\)
d) \(\frac{{{x^2} - \left( {m + 1} \right)x - \frac{{21}}{4}}}{{x - 3}} = 2x + m\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *