Bất phương trình là một khái niệm mà các em đã được tiếp cận từ những lớp nhỏ. Thông qua bài học này các em sẽ được ôn tập và tìm hiểu thêm một số phương pháp giải bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn.
Giải bất phương trình dạng \(ax + b < 0\) (1)
- Với \(b < 0\) thì tập nghiệm BPT là S = Æ
- Với \(b \ge 0\) thì tập nghiệm BPT là \({\rm{S}} = \mathbb{R}\)
Các bất phương trình dạng \(ax + b > 0,\,\,ax + b \le 0,\,\,ax + b \ge 0\) được giải hoàn toán tương tự
Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình. Khi đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các tập nghiệm từng bất phương trình.
Biện luận nghiệm của bất phương trình theo m:
a) \(mx + 6 \le 2x + 3m\)
b) \(\left( {x + m} \right)m + x > 3x + 4\)
c) \(\left( {{m^2} + 9} \right)x + 3 \ge m\left( {1 - 6x} \right)\)
a) Bất phương trình tương đương với \(\left( {m - 2} \right)x < 3m - 6\)
Với \(m = 2\) bất phương trình trở thành \(0x \le 0\)suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).
Với \(m > 2\) bât phương trình tương đương với \(x < \frac{{3m - 6}}{{m - 2}} = 3\)
Với \(m < 2\) bât phương trình tương đương với \(x > \frac{{3m - 6}}{{m - 2}} = 3\)
Kết luận
\(m = 2\) bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\)(có tập nghiệm là \(S = \mathbb{R}\)).
\(m > 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x < 3\)(có tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ;3} \right)\))
\(m < 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x > 3\)(có tập nghiệm là \(S = \left( {3; + \infty } \right)\))
b) Bất phương trình tương đương với \(\left( {m - 2} \right)x > 4 - {m^2}\)
Với \(m = 2\) bất phương trình trở thành \(0x > 0\)suy ra bất phương trình vô nghiệm.
Với \(m > 2\) bât phương trình tương đương với \(x > \frac{{4 - {m^2}}}{{m - 2}} = - m - 2\)
Với \(m < 2\) bât phương trình tương đương với \(x < \frac{{4 - {m^2}}}{{m - 2}} = - m - 2\)
Kết luận
\(m = 2\) bất phương trình vô nghiệm
\(m > 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x > - m - 2\)
\(m < 2\) bât phương trình có nghiệm là \(x < - m - 2\)
c) Bất phương trình tương đương với \({\left( {m + 3} \right)^2}x \ge m - 3\)
Với \(m = - 3\) bất phương trình trở thành \(0x \ge - 6\)suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).
Với \(m \ne - 3\) bât phương trình tương đương với \(x \ge \frac{{m - 3}}{{{{\left( {m + 3} \right)}^2}}}\)
Kết luận
\(m = - 3\) bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).
\(m \ne - 3\) bât phương trình có nghiệm là \(x \ge \frac{{m - 3}}{{{{\left( {m + 3} \right)}^2}}}\).
Giải các hệ bất phương trình sau:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2 > 4x + 5\\5x - 4 < x + 2\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}6x + \frac{5}{7} < 4x + 7\\\frac{{8x + 3}}{2} < 2x + 5\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \le 2x - 3\\3x < x + 5\\\frac{{5 - 3x}}{2} \le x - 3\end{array} \right.\)
a) Hệ bất phương trình tương đương với
\(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2 > 4x + 5\\5x - 4 < x + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 7\\x < \frac{3}{2}\end{array} \right.\)
Suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm.
b) Hệ bất phương trình tương đương với
\(\left\{ \begin{array}{l}6x + \frac{5}{7} < 4x + 7\\\frac{{8x + 3}}{2} < 2x + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < \frac{{22}}{7}\\x < \frac{7}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow x < \frac{7}{4}\)
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là \(x < \frac{7}{4}\)
d) Hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x < \frac{5}{2}\\x \ge \frac{{11}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{11}}{5} \le x \le \frac{5}{2}\)
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là \(\frac{{11}}{5} \le x \le \frac{5}{2}\).
Tìm \(m\) để hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m\left( {mx - 1} \right) < 2}\\{m\left( {mx - 2} \right) \ge 2m + 1}\end{array}} \right.\) có nghiệm.
Hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2}x < m + 2}\\{{m^2}x \ge 4m + 1}\end{array}} \right.\)
Với \(m = 0\) ta có hệ bất phương trình trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0x < 2}\\{0x \ge 1}\end{array}} \right.\) suy ra hệ bất phương trình vô nghiệm
Với \(m \ne 0\) ta có hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < \frac{{m + 2}}{{{m^2}}}}\\{x \ge \frac{{4m + 1}}{{{m^2}}}}\end{array}} \right.\)
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\frac{{m + 2}}{{{m^2}}} > \frac{{4m + 1}}{{{m^2}}} \Leftrightarrow m < \frac{1}{3}\)
Vậy \(m < \frac{1}{3}\) là giá trị cần tìm.
Cho bất phương trình \(\sqrt {x - 1} (x - 2m + 2) \ge 0\)
a) Giải bất phương trình khi \(m = 2\)
b) Tìm \(m\) để mọi \(x \in \left[ {2;3} \right]\) đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.
a) Khi \(m = 2\) bất phương trình trở thành \(\sqrt {x - 1} (x - 2) \ge 0\)
Bất phương trình tương đương với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x - 1} = 0}\\{\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 2 \ge 0\end{array} \right.}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 1}\\{x \ge 2}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 2}\end{array}} \right.\)
Vậy tập nghiệm bất phương trình là \({\rm{S}} = \left\{ 1 \right\} \cup {\rm{[}}2; + \infty )\).
b) Bất phương trình tương đương với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x - 1} = 0}\\{\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 2m + 2 \ge 0\end{array} \right.}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ge 2m - 2\end{array} \right.}\end{array}} \right.\)
+ TH1: \(2m - 2 > 1 \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}\): Ta có bất phương trình\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 2m - 2}\end{array}} \right.\)
Suy ra tập nghiệm bất phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\} \cup [2m - 2; + \infty )\).
Do đó mọi \(x \in \left[ {2;3} \right]\) đều là nghiệm của bất phương trình (*)
\( \Leftrightarrow \left[ {2;3} \right] \subset S \Leftrightarrow 2m - 2 \le 2 \Leftrightarrow m \le 2\)
Suy ra \(\frac{3}{2} < m \le 2\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ TH2: \(2m - 2 = 1 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}\): Ta có bất phương trình\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow x \ge 1} \right.\)
Suy ra \(m = \frac{3}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ TH3: \(2m - 2 < 1 \Leftrightarrow m < \frac{3}{2}\): Ta có bất phương trình\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow x \ge 1} \right.\)
Suy ra \(m < \frac{3}{2}\)thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy giá trị cần tìm là \(m \le 2\).
Trong phạm vi bài học DapAnHay giới thiệu đến các em khái niệm cơ bản về bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn và phương pháp giải bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chương 4 Bài 2để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 8x + 7 \ge 0\). Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của S?
Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức \(f\left( x \right) = - {\rm{ }}{x^2} - x + 6\)?
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - bx + 3\). Với giá trị nào của b thì tam thức f(x)có hai nghiệm?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chương 4 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 87 SGK Đại số 10
Bài tập 2 trang 88 SGK Đại số 10
Bài tập 3 trang 88 SGK Đại số 10
Bài tập 4 trang 88 SGK Đại số 10
Bài tập 5 trang 88 SGK Đại số 10
Bài tập 4.19 trang 107 SBT Toán 10
Bài tập 4.20 trang 107 SBT Toán 10
Bài tập 4.21 trang 108 SBT Toán 10
Bài tập 4.22 trang 108 SBT Toán 10
Bài tập 4.23 trang 108 SBT Toán 10
Bài tập 4.24 trang 108 SBT Toán 10
Bài tập 4.25 trang 108 SBT Toán 10
Bài tập 4.26 trang 108 SBT Toán 10
Bài tập 4.27 trang 109 SBT Toán 10
Bài tập 4.28 trang 109 SBT Toán 10
Bài tập 4.29 trang 109 SBT Toán 10
Bài tập 4.30 trang 109 SBT Toán 10
Bài tập 4.31 trang 109 SBT Toán 10
Bài tập 4.32 trang 109 SBT Toán 10
Bài tập 4.33 trang 110 SBT Toán 10
Bài tập 21 trang 116 SGK Toán 10 NC
Bài tập 22 trang 116 SGK Toán 10 NC
Bài tập 23 trang 116 SGK Toán 10 NC
Bài tập 24 trang 116 SGK Toán 10 NC
Bài tập 25 trang 121 SGK Toán 10 NC
Bài tập 26 trang 121 SGK Toán 10 NC
Bài tập 27 trang 121 SGK Toán 10 NC
Bài tập 28 trang 121 SGK Toán 10 NC
Bài tập 29 trang 121 SGK Toán 10 NC
Bài tập 30 trang 121 SGK Toán 10 NC
Bài tập 31 trang 121 SGK Toán 10 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 8x + 7 \ge 0\). Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của S?
Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức \(f\left( x \right) = - {\rm{ }}{x^2} - x + 6\)?
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - bx + 3\). Với giá trị nào của b thì tam thức f(x)có hai nghiệm?
Giá trị nào của m thì phương trình \(\left( {m - 3} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x - \left( {m + 1} \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt?
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 2} \).
Các giá trị m để tam thức \(f(x) = {x^2} - (m + 2)x + 8m + 1\) đổi dấu 2 lần là
Tập xác định của hàm số \(f(x) = \sqrt {2{x^2} - 7x - 15} \) là
Dấu của tam thức bậc 2:\(f(x) = - {x^2} + 5x - 6\) được xác định như sau
Tập nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4x + 3 > 0\\ {x^2} - 6x + 8 > 0 \end{array} \right.\) là
Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 4x + 3 \ge 0\\ 2{x^2} - x - 10 \le 0\\ 2{x^2} - 5x + 3 > 0 \end{array} \right.\) có nghiệm là
Tìm các giá trị x thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:
a) \(\frac{1}{x}< 1-\frac{1}{x+1};\)
b) \(\frac{1}{x^{2}-4}< \frac{2x}{x^{2}-4x+3};\)
c) \(2|x| - 1 +\sqrt[3]{x-1}<\frac{2x}{x+1};\)
d) \(2\sqrt{1-x}> 3x + \frac{1}{x+4}.\)
Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm.
a) \(x^2 +\sqrt{x+8}\leq 3;\)
b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2};\)
c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1.\)
Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?
a) \(- 4x + 1 > 0\) và \(4x - 1 <0;\)
b) \(2x^2 +5 \leq 2x - 1\) và \(2x^2 - 2x + 6 \leq 0\);
c) \(x + 1 > 0\) và \(x + 1 +\frac{1}{x^{2}+1}>\frac{-1}{x^{2}+1};\)
d) \(\sqrt{x-1} \geq x\) và \((2x +1)\sqrt{x-1} \geq x(2x + 1).\)
Giải các phương trình sau
a) \(\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}< \frac{1-2x}{4};\)
b) \((2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 \leq (x - 1)(x + 3) + x^2 - 5.\)
Giải các hệ bất phương trình
a) \(\left\{\begin{matrix} 6x+\frac{5}{7}<4x+7\\ \frac{8x+3}{2}< 2x+5; \end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x - 2 > 2x + \frac{1}{3}}\\{2(x - 4) < \frac{{3x - 14}}{2}.}\end{array}} \right.\)
Viết điều kiện của mỗi bất phương trình sau:
a) \(2x - 3 - \frac{1}{{x - 5}} < {x^2} - x\)
b) \({x^3} \le 1\)
c) \(\sqrt {{x^2} - x - 2} < \frac{1}{2}\)
d) \(\sqrt[3]{{{x^4} + x - 1}} + {x^2} - 1 \ge 0\)
Chứng tỏ rằng x = -7 không phải là nghiệm của bất phương trình \(x + 3 - \frac{1}{{x + 7}} < 2 - \frac{1}{{x + 7}}\)nhưng lại là nghiệm của bất phương trình x + 3 < 2.
Xét xem x = -3 là nghiệm của bất phương trình nào trong hai bất phương trình sau 3x + 1 < x + 3 (1) và (3x + 1)2 < (x + 3)2 (2)
Từ đó suy ra rằng phép bình phương hai vế một bất phương trình không phải là phép biến đổi tương đương.
Tìm điều kiện của mỗi bất phương trình đã cho sau đây rồi cho biết các bất phương trình này có tương đương đương với nhau hay không:
\(\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \ge x\,\,\left( 1 \right)\) và \(\sqrt {x - 1} .\sqrt {x - 2} \ge x\,\,\left( 2 \right)\)
Nếu nhân hai vế bất phương trình \(\frac{1}{x} \le 1\) với x ta được bất phương trình nào? Bất phương trình nhận được có tương đương với bất phương trình đã cho hay không? Vì sao?
Nếu bình phương hai vế (khử căn thức chứa ẩn) của bất phương trình \(\sqrt {1 - x} \le x\) ta nhận được bất phương trình nào? Bất phương trình nhận được có tương đương với bất phương trình đã cho hay không? Vì sao?
Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm:
a) \({x^2} + \frac{1}{{{x^2} + 1}} < 1\)
b) \(\sqrt {{x^2} - x + 1} + \frac{1}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }} < 2\)
c) \(\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} < 2\sqrt[4]{{{x^6} + 1}}\)
Giải các bất phương trình sau:
a) \(\left( {x + 1} \right)\left( {2x - 1} \right) + x \le 3 + 2{x^2}\)
b) \(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) - x > {x^3} + 6{x^2} - 5\)
c) \(x + \sqrt x > \left( {2\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)\)
Giải các bất phương trình sau:
a) \(\sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)} > 0\)
b) \(\sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x - 3} \right)} > 0\)
Giải hệ bất phương trình sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{3x + 1}}{2} - \frac{{3 - x}}{3} \le \frac{{x + 1}}{4} - \frac{{2x - 1}}{3}\\
3 - \frac{{2x + 1}}{5} > x + \frac{4}{3}
\end{array} \right.\)
Giải và biện luận bất phương trình theo tham số m.
mx - m2 > 2x - 4
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
A. Nếu cộng hai vế của một bất phương trình với cùng một số thì ta được một bất phương trình tương đương với bất phương trình đã cho.
B. Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với cùng một số thì ta được một bất phương trình tương đương với bất phương trình đã cho.
C. Nếu chia hai vế của một bất phương trình với cùng một số thì ta được một bất phương trình tương đương với bất phương trình đã cho.
D. Nếu bình phương hai vế của một bất phương trình với cùng một số thì ta được một bất phương trình mới tương đương với bất phương trình đã cho.
Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào có nghiệm?
A. \(\sqrt {2 - x} + \sqrt {x - 4} \)
B. \(\sqrt {4 - x} \left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt {x - 9} < x - 1\)
C. \(\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} \ge 2\sqrt {{x^6} + 1} \)
D. \(\sqrt {{x^2} + 1} + \sqrt {{x^4} - {x^2} + 1} < 2\sqrt {{x^6} + 1} \)
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
A. \(x + 3 - \frac{1}{{x + 7}} < 2 - \frac{1}{{x + 7}} \Leftrightarrow x + 3 < 2\)
B. \(3x + 1 < x + 3 \Leftrightarrow {\left( {3x + 1} \right)^2} < {\left( {x + 3} \right)^2}\)
C. \(\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \ge x \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} .\sqrt {x - 2} \ge x\)
D. \(7{x^3} + 12{x^2} + 6x + 1 > 0 \Leftrightarrow 2x + 1 > x\)
Tập nghiệm của bất phương trình sau là:
\(\sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)} > 0\)
A. S = (-1; 4) ∪ (4; +∞) B. S = [4; +∞)
C. S = [-1; +∞) D. S = (-1; +∞)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *