Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm cơ bản về Công thức lượng giác kèm theo các bài tập minh họa có lời giải chi tiết nhằm giúp các em có thêm tài liệu học tập thật tốt.
cos( a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos( a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
\(\tan (a - b) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}\)
\(\tan (a + b) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}\)
Cách ghi nhớ:
Sin thì sin cos cos sin
Cos thì cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ).
Tang tổng thì lấy tổng tang
Chia một trừ với tích tang, dễ òm.
* Công thức nhân đôi
sin2a = 2sina.cosa
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1= 1 – 2sin2a
\(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}\)
Cách ghi nhớ:
Sin gấp đôi = 2 sin cos
Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin
= trừ 1 cộng hai lần bình cos
= cộng 1 trừ hai lần bình sin
Tang gấp đôi
Tang đôi ta lấy đôi tang (2 tang)
Chia 1 trừ lại bình tang, ra liền.
* Công thức hạ bậc
\(\begin{array}{l}
c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = \frac{{1 + c{\rm{os}}2a}}{2}\\
{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}a = \frac{{1 - c{\rm{os}}2a}}{2}\\
{\tan ^2}a = \frac{{1 - c{\rm{os}}2a}}{{1 + c{\rm{os}}2a}}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\cos a.\cos b = \frac{1}{2}{\rm{[}}c{\rm{os}}(a - b) + c{\rm{os}}(a + b){\rm{]}}\\
\sin a.\sin b = \frac{1}{2}{\rm{[}}c{\rm{os}}(a - b) - c{\rm{os}}(a + b){\rm{]}}\\
\sin a.\cos b = \frac{1}{2}{\rm{[}}\sin (a - b) + \sin (a + b){\rm{]}}
\end{array}\)
Cách ghi nhớ:
Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ
Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng
Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ
\(\begin{array}{l}
\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\
\cos u + \cos v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\
\sin u + \sin v = 2\sin \frac{{u + v}}{2}\cos \frac{{u - v}}{2}\\
\sin u - \sin v = 2\cos \frac{{u + v}}{2}\sin \frac{{u - v}}{2}
\end{array}\)
Cách ghi nhớ:
Cos cộng cos bằng hai cos cos
cos trừ cos bằng trừ hai sin sin
Sin cộng sin bằng hai sin cos
sin trừ sin bằng hai cos sin.
Ví dụ 1: Tính \(\sin \frac{{5\pi }}{{12}};c{\rm{os}}\frac{{7\pi }}{{12}}\)
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức cộng đối với sin và cos
* Ta có \(\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \sin \frac{{2\pi + 3\pi }}{{12}} = \sin (\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{4})\)
\(\begin{array}{l}
= \sin \frac{\pi }{6}.c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} + c{\rm{os}}\frac{\pi }{6}.\sin \frac{\pi }{4}\\
= \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}
\end{array}\)
* Ta có \(c{\rm{os}}\frac{{7\pi }}{{12}} = c{\rm{os}}\frac{{3\pi + 4\pi }}{{12}} = \cos (\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3})\)
\(\begin{array}{l}
= c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}.c{\rm{os}}\frac{\pi }{3} - \sin \frac{\pi }{4}.\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\
= \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}
\end{array}\)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng
\(\begin{array}{l}
a){\rm{ }}\tan (\frac{\pi }{4} - a) = \frac{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}\\
b){\rm{ }}\tan (\frac{\pi }{4} + a) = \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}
\end{array}\)
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức cộng đối với tan
\(\begin{array}{l}
a)\tan (\frac{\pi }{4} - a) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{\tan \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} = \frac{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}\\
b)\tan (\frac{\pi }{4} + a) = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{\tan \frac{\pi }{4} - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} = \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}
\end{array}\)
Ví dụ 3: Tính sin2a, cos2a, tan2a biết \(\sin a = - \frac{3}{5}{\rm{, }}\pi {\rm{ < a < }}\frac{{3\pi }}{2}\)
Hướng dẫn:
+ Tính cos a bằng công thức lượng giác cơ bản thích hợp
+ Áp dụng công thức nhân đôi
\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}a + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 - {\sin ^2}a\\
\Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 - {( - \frac{3}{5})^2} = \frac{{16}}{{25}} \Leftrightarrow \cos a = \pm \frac{4}{5}
\end{array}\)
Vì \(\pi {\rm{ < a < }}\frac{{3\pi }}{2}\) nên \(\cos a = - \frac{4}{5}\)
Vậy \(\sin 2a = 2\sin a.\cos a = 2.( - \frac{3}{5})( - \frac{4}{5}) = \frac{{24}}{{25}}\)
\(\begin{array}{l}
\cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2{( - \frac{4}{5})^2} - 1 = \frac{{32}}{{25}} - 1 = \frac{7}{{25}}\\
\tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{c{\rm{os}}2a}} = \frac{{24}}{{25}}.\frac{{25}}{7} = \frac{{24}}{7}
\end{array}\)
Ví dụ 4: Tính \({\rm{sin}}\frac{\pi }{8};\tan \frac{\pi }{8}\)
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức hạ bậc
Ta có \({\sin ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\)
Vì \(\sin \frac{\pi }{8} > 0\) nên suy ra \(\sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\)
\({\tan ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}}{{1 + c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}\)
Vì \(\tan \frac{\pi }{8} > 0\) nên suy ra \(\tan \frac{\pi }{8} = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}} = \sqrt {\frac{{{{(2 - \sqrt 2 )}^2}}}{2}} = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } = \sqrt 2 - 1\)
Ví dụ 5: Tính giá trị của các biểu thức
\(A = \sin \frac{{15\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}};B = \cos {75^ \circ }.\cos {15^ \circ }\)
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
\(\begin{array}{l}
A = \sin \frac{{15\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\frac{{15\pi }}{{12}} - \frac{{5\pi }}{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{{15\pi }}{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}}} \right)} \right]\\
= \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{10\pi }}{{12}} + \sin \frac{{20\pi }}{{12}}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{5\pi }}{6} + \sin \frac{{5\pi }}{3}} \right]\\
= \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{\pi }{6} + \sin \left( { - \frac{{2\pi }}{3}} \right)} \right] = \frac{1}{2}(\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}) = \frac{1}{4}\left( {1 - \sqrt 3 } \right)
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
B = \cos {75^ \circ }.\cos {15^ \circ }\\
= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {{{75}^0} - {{15}^0}} \right) + \cos \left( {{{75}^0} + {{15}^0}} \right)} \right]\\
= \frac{1}{2}\left[ {\cos {{60}^0} + \cos {{90}^0}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2} + 0} \right] = \frac{1}{4}
\end{array}\)
Ví dụ 6: Chứng minh đẳng thức
\({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x = \sqrt 2 .\sin (x + \frac{\pi }{4})\)
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để biến đổi vế trái thành vế phải của đẳng thức (có thể áp dụng công thức cộng, biến đổi VP thành VT của đẳng thức)
\(\begin{array}{l}
VT{\rm{ = sinx}} + \cos x = \sin x + \sin (\frac{\pi }{2} - x)\\
= 2\sin \frac{\pi }{4}.\cos (x - \frac{\pi }{4}) = 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos (\frac{\pi }{4} - x)\\
= \sqrt 2 .\sin [\frac{\pi }{2} - (\frac{\pi }{4} - x){\rm{]}} = \sqrt 2 .\sin (x + \frac{\pi }{4}) = VP
\end{array}\)
Trong phạm vi bài học DapAnHay chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Công thức lượng giác và phương pháp giải một số dạng toán cơ bản liên quan đến công thức lượng giác.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Bài 3để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Giả sử \(A = {\rm{tan }}x.{\rm{tan}}(\;\frac{\pi }{3} - {\rm{ }}x){\rm{tan}}(\;\frac{\pi }{3}\; + {\rm{ }}x)\) được rút gọn thành \(A = {\rm{ tan }}nx\). Khi đó n bằng:
Nếu sinx = 3cosx thì sinx.cosx bằng:
Cho \(\sin a = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) . Tính \(\cos 2a\sin a\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 153 SGK Đại số 10
Bài tập 2 trang 153 SGK Đại số 10
Bài tập 3 trang 154 SGK Đại số 10
Bài tập 4 trang 154 SGK Đại số 10
Bài tập 5 trang 154 SGK Đại số 10
Bài tập 6 trang 154 SGK Đại số 10
Bài tập 7 trang 155 SGK Đại số 10
Bài tập 8 trang 155 SGK Đại số 10
Bài tập 6.30 trang 189 SBT Toán 10
Bài tập 6.31 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.32 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.33 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.34 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.35 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.36 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.37 trang 190 SBT Toán 10
Bài tập 6.38 trang 191 SBT Toán 10
Bài tập 6.39 trang 191 SBT Toán 10
Bài tập 6.40 trang 191 SBT Toán 10
Bài tập 6.41 trang 191 SBT Toán 10
Bài tập 38 trang 213 SGK Toán 10 NC
Bài tập 39 trang 213 SGK Toán 10 NC
Bài tập 40 trang 213 SGK Toán 10 NC
Bài tập 41 trang 214 SGK Toán 10 NC
Bài tập 42 trang 214 SGK Toán 10 NC
Bài tập 43 trang 214 SGK Toán 10 NC
Bài tập 44 trang 214 SGK Toán 10 NC
Bài tập 45 trang 214 SGK Toán 10 NC
Bài tập 46 trang 215 SGK Toán 10 NC
Bài tập 47 trang 215 SGK Toán 10 NC
Bài tập 48 trang 215 SGK Toán 10 NC
Bài tập 49 trang 215 SGK Toán 10 NC
Bài tập 50 trang 215 SGK Toán 10 NC
Bài tập 51 trang 216 SGK Toán 10 NC
Bài tập 52 trang 216 SGK Toán 10 NC
Bài tập 53 trang 216 SGK Toán 10 NC
Bài tập 54 trang 216 SGK Toán 10 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Giả sử \(A = {\rm{tan }}x.{\rm{tan}}(\;\frac{\pi }{3} - {\rm{ }}x){\rm{tan}}(\;\frac{\pi }{3}\; + {\rm{ }}x)\) được rút gọn thành \(A = {\rm{ tan }}nx\). Khi đó n bằng:
Nếu sinx = 3cosx thì sinx.cosx bằng:
Cho \(\sin a = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) . Tính \(\cos 2a\sin a\)
Nếu \(\cos \alpha + \sin \alpha = \sqrt 2 \,\,\,\left( {0 < \alpha < \frac{\pi }{2}} \right)\) thì \(\alpha \) bằng:
Cho \(\cos 2a = \frac{1}{4}\). Tính \(\sin 2a\cos a\)
Tính \(C = \frac{{3{{\tan }^2}\alpha - \tan \alpha }}{{2 - 3{{\tan }^2}\alpha }}\), biết \(\tan \frac{\alpha }{2} = 2\)
Biểu thức nào sau đây có giá trị phụ thuộc vào biến x?
Tính giá trị của biểu thức \(P = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha \) biết \(\sin 2\alpha = \frac{2}{3}\)
Tính giá trị của \(A = \cos {75^0} + \sin {105^0}\)
Cho \(\sin a = - \frac{{12}}{{13}};\,\,\frac{{3\pi }}{2} < a < 2\pi \). Tính \(\cos \left( {\frac{\pi }{3} - a} \right)\)
Hỏi mỗi khẳng định sau đây có đúng không? ∀α,∀β ta có:
\(\begin{array}{l}
a)\,2\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha + \cos \beta \\
b)\,\sin \left( {\alpha - \beta } \right) = \sin \alpha - \sin \beta \\
c)\,\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha .\cos \beta + \cos \alpha .\sin \beta \\
d)\,\cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha .\cos \beta - \sin \alpha .\sin \beta \\
e)\,\frac{{\sin 4\alpha }}{{\cos 2\alpha }} = \tan 2\alpha \\
f)\,{\sin ^2}\alpha = \sin 2\alpha
\end{array}\)
Sử dụng 750 = 450 + 300, hãy tính giá trị lượng giác của góc 750
Sử dụng 150 = 450 - 300, hãy tính giá trị lượng giác của góc 150. (đối chiếu với kết quả bài tập 29)
Chứng minh rằng:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right)}\\
{b){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt 2 \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)}\\
\begin{array}{l}
c){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \tan \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \frac{{1 - \tan \alpha }}{{1 + \tan \alpha }}\\
\left( {\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;\alpha \ne \frac{{3\pi }}{4} + k\pi } \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
d){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \tan \left( {\frac{\pi }{4} + \alpha } \right) = \frac{{1 + \tan \alpha }}{{1 - \tan \alpha }}\\
\left( {\alpha \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ;\alpha \ne \frac{\pi }{4} + k\pi } \right)
\end{array}
\end{array}\)
a) Biết \(\sin \alpha = \frac{1}{3};\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\). Hãy tính giá trị lượng của góc \(2\alpha \) và góc \(\frac{\alpha }{2}\)
b) Sử dụng \({15^0} = \frac{{{{30}^0}}}{2}\), hãy kiểm nghiệm lại kết quả của bài tập 39.
Chứng minh rằng:
a) \(\sin \frac{{11\pi }}{{12}}{\rm{cos}}\frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{4}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\)
b) \({\rm{cos}}\frac{\pi }{7}{\rm{cos}}\frac{{3\pi }}{7}{\rm{cos}}\frac{{5\pi }}{7} = - \frac{1}{8}\)
c) \(\sin {6^0}\sin {42^0}\sin {66^2}\sin {78^0} = \frac{1}{16}\)
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a)\cos {{75}^0}\cos {{15}^0} = \sin {{75}^0}\sin {{15}^0} = \frac{1}{4}}\\
{b)\cos {{75}^0}\sin {{15}^0} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{4}}\\
{c)\sin {{75}^0}\cos {{15}^0} = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{4}}\\
\begin{array}{l}
d)\cos \alpha \sin \left( {\beta - \gamma } \right) + \cos \beta \sin \left( {\gamma - \alpha } \right)\\
+ \cos \gamma \sin \left( {\alpha - \beta } \right) = 0,\forall \alpha ,\beta ,\gamma
\end{array}
\end{array}\)
Đơn giản các biểu thức sau:
a) \(\sin \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right)\)
b) \({\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} + \alpha } \right) - {\cos ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)\)
Chứng minh rằng:
a) \(\frac{{\sin \alpha - \sin \beta }}{{\cos \alpha - \cos \beta }} = - \sqrt 3\)
nếu \(\left\{ \begin{array}{l}
\alpha + \beta = \frac{\pi }{3}\\
\cos \alpha \ne \cos \beta
\end{array} \right.\)
b) \(\frac{{\cos \alpha - \cos 7\alpha }}{{\sin 7\alpha - \sin \alpha }} = \tan 4\alpha \)
(khi các biểu thức có nghĩa)
Chứng minh rằng:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
a)\sin 3\alpha = 3\sin \alpha - 4{\sin ^3}\alpha ;\\
\cos 3\alpha = 4{\cos ^3}\alpha - 3\cos \alpha
\end{array}\\
\begin{array}{l}
b)\sin \alpha \sin \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right)\sin \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right)\\
= \frac{1}{4}\sin 3\alpha
\end{array}\\
\begin{array}{l}
{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \cos \alpha \cos \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right)\\
= \frac{1}{4}\cos 3\alpha
\end{array}
\end{array}\)
Ứng dụng: Tính sin 200 sin 400 sin 800 và tan 200 tan 400 tan 800
Chứng minh rồi dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số để kiểm nghiệm lại gần đúng kết quả.
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
a)\cos {10^0}\cos {50^0}\cos {70^0}\\
= \sin {20^0}\sin {40^0}\sin {80^0} = \frac{{\sqrt 3 }}{8}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
b)\sin {10^0}\sin {50^0}\sin {70^0}\\
= \cos {20^0}\cos {40^0}\cos {80^0} = \frac{1}{8}
\end{array}
\end{array}\)
Chứng minh rằng: \(\cos \frac{\pi }{7} + \cos \frac{{4\pi }}{7} + \cos \frac{{6\pi }}{7} = - \frac{1}{2}\)
Hướng dẫn: Nhân vế trái với \(\frac{\pi }{7}\) (hoặc \(\frac{2\pi }{7}\)) rồi sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.
Chứng minh rằng giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào x
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
a){\cos ^2}\left( {\alpha + x} \right) + {\cos ^2}x\\
- 2\cos \alpha \cos x.\cos \left( {\alpha + x} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
b)\sin 4x.\sin 10x - \sin 11x.\sin 3x\\
- \sin 7x.{\rm{sinx}}
\end{array}
\end{array}\)
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có 3 góc thỏa:
a) sin A = cos B + cos C thì tam giác ABC vuông
b) sin A = 2sin B.cos C thì tam giác ABC cân
Chứng minh rằng nếu \(\alpha + \beta + \gamma = \pi \) thì:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
a)\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma \\
= 4\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
b)\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \\
= 1 + 4\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
c)\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma \\
= 4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma
\end{array}\\
\begin{array}{l}
d){\cos ^2}\alpha + {\cos ^2}\beta + {\cos ^2}\gamma \\
= 1 - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma
\end{array}
\end{array}\)
a) Chứng minh rằng nếu ∝ và β khác \(\frac{\pi }{2} + k\pi \) (k ∈ Z) thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}
\tan \alpha + \tan \beta = \frac{{\sin \left( {\alpha + \beta } \right)}}{{\cos \alpha \cos \beta }}\\
\tan \alpha - \tan \beta = \frac{{\sin \left( {\alpha - \beta } \right)}}{{\cos \alpha \cos \beta }}
\end{array} \right.\)
b) Chứng minh rằng với mọi ∝ mà cos k∝ ≠ 0 (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) và sin ∝ ≠ 0 thì:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{\cos \alpha \cos 2\alpha }} + \frac{1}{{\cos 2\alpha \cos 3\alpha }} + ... + \\
\frac{1}{{\cos 7\alpha \cos 8\alpha }} = \frac{{\tan 8\alpha - \tan \alpha }}{{\sin \alpha }}
\end{array}\)
Biết cosα +cosβ = a; sinα+sinβ = b (a,b là hằng số và a2 + b2 ≠ 0)
Hãy tính sin(α + β) theo a và b
Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc O, với vận tốc ban đầu là v(m/s) theo phương hợp với trục hoành (nằm ngang) Ox một góc α ,\(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) là parabol có phương trình :
\(y = - \frac{g}{{2{v^2}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}{x^2} + \left( {\tan \alpha } \right)x\)
Trong đó g là gia tốc trọng trường (g ≈ 9,8m/s2) (giả sử lực cản của không khí là không đáng kể).
Gọi tầm xa của quỹ đạo là khoảng cách từ O đến giao điểm khác O của quỹ đạo với Ox.
a) Tính tầm xa theo α (và v)
b) Khi v không đổi, α thay đổi trong khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\), hỏi giá trị α nào thì tầm xa của quỹ đạo đạt được giá trị lớn nhất? Tính giá trị đó theo v. Khi v = 80m/s. Hãy tính giá trị lớn nhất đó (chính xác đến hàng đơn vị).
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *