Cho tanα = 2cotα và \(\frac{{3\pi }}{2}\) < α < 2π. Giá trị của biểu thức sinα + cosα là
A. \(\frac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3}\)
B. \(\frac{{\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{3}\)
C. \(\frac{{2 - \sqrt 3 }}{3}\)
D. \(\frac{{2 + \sqrt 3 }}{3}\)
Ta có \(\tan \alpha = 2\cot \alpha = \frac{2}{{\tan \alpha }} \Rightarrow {\tan ^2}\alpha = 2\)
Vì \(\frac{{3\pi }}{2}\) < α < 2π nên \(\tan \alpha < 0\). Vậy \(\tan \alpha = - \sqrt 2 \)
\(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha = 3 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{3}\)
Do đó \(\cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\left( {do\,\cos \alpha > 0} \right)\)
Suy ra \(\sin \alpha = \tan \alpha .\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
Vậy \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{3}\)
Đáp án B
-- Mod Toán 10