Để giúp các em học tập hiệu quả môn Toán 10, đội ngũ DapAnHay đã biên soạn và tổng hợp nội dung bài Phương trình đường thẳng. Bài giảng gồm kiến thức cần nhớ về phương trình tổng quát của đường thẳng, phương trình tham số của đường thẳng,... Bên cạnh đó còn có các bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết, giúp các em học tập và củng cố thật tốt kiến thức. Mời các em cùng tham khảo.
Vectơ \(\overrightarrow n \) khác \(\overrightarrow 0 \)được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) nếu giá của nó vuông góc với \(\Delta \). |
---|
Nhận xét
+ Nếu \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) thi k\(\overrightarrow n \) (\(k \ne 0\)) cũng là vectơ pháp tuyến của \(\Delta \).
+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.
Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác có ba đỉnh là A(3, 1), B(4; 0), C(5; 3). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn thẳng AB và một vectơ pháp tuyến của đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.
Giải
Đường trung trực của đoạn thẳng AB vuông góc với AB nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} (1; - 1)\)
Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC vuông góc với BC nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {BC} (1; 3)\)
Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng ax + by + c =0, với a và b không đồng thời bằng 0. Ngược lại, mỗi phương trình dạng ax + by + c =0, với a và b không đồng thời bằng 0, đều là phương trình của một đường thẳng, nhận \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) là một vectơ pháp tuyến. |
---|
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng toạ độ, lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(2: 1) và nhận \(\overrightarrow n \left( {3;4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.
Giải
Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là 3(x - 2)+ 4(y - 1) = 0 hay 3x + 4y - 10 = 0
Nhận xét: Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng \(\Delta \): ax + by + c = 0
+ Nếu b = 0 thì phương trình \(\Delta \) có thể đưa về dạng x = m (với \(m = - \frac{c}{a}\)) và \(\Delta \) vuông góc với Ox.
+ Nếu \(b \ne 0\) thì phương trình \(\Delta \) có thể đưa về dạng y = nx + p (với \(n = - \frac{a}{b},p = - \frac{c}{b}\))
Vectơ \(\overrightarrow u \) khác \(\overrightarrow 0 \) được goi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) nếu giá của nó song song hoặc trùng với \(\Delta \). |
---|
Nhận xét
+ Nếu \(\overrightarrow u \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) thì k\(\overrightarrow u \) (\(k \ne 0\)) cũng là vectơ chỉ phương của \(\Delta \).
+ Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.
+ Hai vectơ \(\overrightarrow n \left( {a;b} \right)\) và \(\overrightarrow u \left( {-b;a} \right)\) vuông góc với nhau nên nêu \(\overrightarrow n \) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \) thì \(\overrightarrow u \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.
Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ, cho A(3; 2), B(1; -4). Hãy chỉ ra hai vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.
Giải
Đường thẳng AB nhận \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2; - 6} \right)\) là một vectơ chỉ phương.
Lấy \(\overrightarrow u = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {1;3} \right)\), khi đó \(\overrightarrow u\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB
Cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {a;b} \right)\). Khi đó điểm M(x: y) thuộc đường thẳng \(\Delta \) khi và chỉ khi tổn tại số thực t sao cho \(\overrightarrow {AM} = t\overrightarrow u \), hay \(\left\{ \begin{array}{l} Hệ (2) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số). |
---|
Ví dụ: Lập phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A(2; -3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {4; - 1} \right)\).
Giải
Phương trinh tham số của đường thẳng \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 4t\\
y = - 3 - t
\end{array} \right.\)
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có ba đỉnh A(-1; 5), B(2; 3), C(6; 1). Lập phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC nhận vecto \(\overrightarrow{BC}\) làm vecto pháp tuyến.
\(\overrightarrow{BC}(4; -2)\)
Đường cao kẻ từ A của tam giác ABC có phương trình là:
4(x +1) - 2(y-5) = 0 hay 4x -2y +14 = 0.
Câu 2: Hãy chỉ ra một vecto chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \): 2x - y +1 = 0
Hướng dẫn giải
\(\Delta \) có một vecto pháp tuyến là: \(\overrightarrow{n}(2; -1)\)
\(\Rightarrow\) một vecto chỉ phương là: \(\overrightarrow{u}(1; 2)\)
Câu 3: Lập phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm M(-1; 2) và song song với đường thẳng d: 3x - 4y -1 = 0.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng \(\Delta\) song song với d: 3x - 4y -1 = 0.
\(\Rightarrow\) \(\Delta\) có vecto pháp tuyển: \(\overrightarrow{n}(3; -4)\)
\(\Rightarrow\) \(\Delta \) có vecto chỉ phương: \(\overrightarrow{u}(4; 3)\)
Phương trình tham số của \(\Delta\) là:
\(\left\{\begin{matrix}x=-1+4t\\ y=2+3t\end{matrix}\right.\)
Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:
- Nắm được khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng, nắm cách viết phương trình tham số của đường thẳng khi biết 1 vectơ chỉ phương và đi qua 1 điểm.
- Nắm mối liên hệ giữa vectơ chỉ phương và hệ số góc của đường thẳng .
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 19để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là \(\vec u\left( { - 3;5} \right)\). Vectơ nào dưới đây không phải là VTCP của ∆?
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2; 3) và có hệ số góc k = 4 là:
Cho hai đường thẳng d1: y = 3x – 1 và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - t}\\
{y = 5 + 2t}
\end{array}} \right.\). Góc giữa hai đường thẳng là:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 19để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 31 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 2 trang 31 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 1 trang 32 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 2 trang 32 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 3 trang 32 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 3 trang 33 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 4 trang 33 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 4 trang 33 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 5 trang 33 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Vận dụng trang 34 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.1 trang 34 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.2 trang 34 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.3 trang 34 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.4 trang 34 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.5 trang 34 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.6 trang 34 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Cho đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là \(\vec u\left( { - 3;5} \right)\). Vectơ nào dưới đây không phải là VTCP của ∆?
Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2; 3) và có hệ số góc k = 4 là:
Cho hai đường thẳng d1: y = 3x – 1 và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - t}\\
{y = 5 + 2t}
\end{array}} \right.\). Góc giữa hai đường thẳng là:
Cho điểm A(-2; 1) và hai đường thẳng d1: 3x – 4y + 2 = 0 và d2: mx + 3y – 3 = 0. Giá trị của m để khoảng cách từ A đến hai đường thẳng bằng nhau là:
Cho tam giác ABC với A(-2; 3), B(1; 4), C(5; -2). Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác là:
Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: 3x – y + 4 = 0, AC: x + 2y – 4 = 0, BC: 2x + 3y – 2 = 0. Khi đó diện tích của tam giác ABC là:
Cho biết có bao nhiêu vectơ pháp tuyến của một đường thẳng?
Cho đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = \left( {2; - 3} \right)\). Vectơ nào sau đây không phải là vectơ chỉ phương của \(\Delta \)?
Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \; - 2 + 5t}\\
{y = 3 - 2t}
\end{array}} \right.\). Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của \(\Delta \)?
Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = - 2 + 5t}\\
{y = 3 - 2t}
\end{array}} \right.\). Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng \(\Delta \)?
Cho vecto \(\overrightarrow{n}\neq \overrightarrow{0}\) và điểm A. Tìm tập hợp những điểm M sao cho \(\overrightarrow{AM}\) vuông góc với \(\overrightarrow{n}\).
Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm A\((x_{o};y_{o})\) và có vecto pháp tuyển \(\overrightarrow{n}(a;b)\). Chứng minh rằng điểm M(x; y) thuộc \(\Delta\) khi và chỉ khi \(a(x-x_{o})+b(y-y_{o})=0\).
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có ba đỉnh A(-1; 5), B(2; 3), C(6; 1). Lập phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.
Hãy chỉ ra một vecto pháp tuyển của đường thẳng \(\Delta\): y = 3x + 4.
Trong Hình 7.2a, nếu một vật thể chuyển động với vecto vận tốc bằng \(\overrightarrow{v}\) và đi qua A thì nó di chuyển trên đường nào?
Hãy chỉ ra một vecto chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\): 2x - y +1 = 0
Chuyển động của một vật thể được thể hiện trên mặt phẳng Oxy. Vật thể khởi hành từ A(2; 1) và chuyển động thẳng đều với vecto vận tốc \(\overrightarrow{v}(3; 4)\).
a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi qua và vecto chỉ phương của đường thẳng đó)?
b) Chứng minh rằng, tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là (2+3t; 1 +4t).
Lập phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm M(-1; 2) và song song với đường thẳng d: 3x - 4y -1 = 0.
Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt \(A(x_{1}; y_{1}), B(x_{2}; y_{2})\) cho trước.
Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C và đơn vị độ F được xác định bởi hai mốc sau:
Nước đóng băng ở 0oC, 32oF;
Nước sôi ở 100oC, 212oF.
Trong quy đổi đó, nếu aoC tương ứng với boF thì trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và B(100; 212).
Hỏi 0oF, 100oF tương ứng với bao nhiêu độ C?
Trong mặt phẳng tọa độ cho \(\overrightarrow{n}(2;1), \overrightarrow{v}(3; 2), A(1; 3), B(-2; 1)\)
a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta _{1}\) đi qua A và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\).
b) Lập phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta _{2}\) đi qua B và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow{v}\).
c) Lập phương trình tham số của đường thẳng AB.
Lập phương trình tổng quát của các trục tọa độ
Cho hai đường thẳng \(\Delta _{1}:\left\{\begin{matrix}x=1+2t\\ y=3+5t\end{matrix}\right.\) và 2x + 3y - 5 = 0.
a) Lập phương trình tổng quát của \(\Delta _{1}\)
b) Lập phương trình tham số của \(\Delta _{2}\)
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(-2; -1).
a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A.
b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B.
(Phương trình đoạn chắn của đường thẳng)
Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) với ab \(\neq \) 0 có phương trình là \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ 21,2o Bắc, kinh độ 105,8o Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ 16,1o Bắc, kinh độ 108,2o Đông. Một máy bay, bay từ Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm t giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí có vĩ độ xo Bắc, kinh độ yo Đông được tính theo công thức
\(\left\{\begin{matrix}x=21,2-\frac{153}{40}t\\ y=105,8+\frac{9}{5}t\end{matrix}\right.\)
a) Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?
b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17o Bắc) chưa?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *