Để học tốt bài Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, DapAnHay xin mời các em học sinh cùng tham khảo bài giảng dưới đây bao gồm các kiến thức được trình bày cụ thể và chi tiết, cùng với các dạng bài tập minh họa giúp các em dễ dàng nắm vững được trọng tâm bài học.
Tổng quát ta có
Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phân tử đó (với n là một số tự nhiên, n > 1). Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu là \({P_n}\) được tính bằng công thức \({P_n} = n.\left( {n - 1} \right).\left( {n - 2} \right)...2.1.\) |
---|
Chú ý: Kí hiệu \(n.\left( {n - 1} \right).\left( {n - 2} \right)...2.1\) là n! (đọc là n giai thừa), ta có: \({P_n} = n!\). Chẳng hạn \({P_3} = 3! = 3.2.1 = 6\).
Quy ước 0!= 1.
Ví dụ 1: Từ các chữ số 6, 7, 8 và 9 có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau?
Giải
Mỗi cách sắp xếp bốn chữ số đã cho để lập thảnh một số có bốn chữ số khác nhau là một hoán vị của bốn chữ số đó.
Vậy số các số có bốn chữ số khác nhau có thể lập được là \({P_4} = 4! = 24.\)
Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, \(1 \le k \le n\)). Số các chỉnh hợp chập k của n, kí hiệu là \({A_n}^k\), được tính bằng công thức \({A_n}^k = n.\left( {n - 1} \right)...\left( {n - k + 1} \right)\) hay \({A_n}^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\left( {1 \le k \le n} \right)\) |
---|
Ví dụ: Một lớp có 30 học sinh, giáo viên cần chọn lằn lượt 4 học sinh trồng bốn cây khác nhau để tham gia lễ phát động Tết trồng cây của trường. Hỏi giáo viên có bao nhiều cách chọn?
Giải
Mỗi cách chọn lần lượt 4 trong 30 học sinh để trồng bồn cây khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 30.
Vậy số cách chọn là \({A_{30}}^4 = 657720\).
Chú ý
+ Hoán vị sắp xếp tất cả các phần từ của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.
+ Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần từ đó. Vì vậy \({P_n} = {A_n}^n\).
Tổng quát ta có:
Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, \(0 \le k \le n\)). Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là \({C_n}^k\), được tinh bằng công thức \({C_n}^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!k!}}\left( {0 \le k \le n} \right)\) |
---|
Chú ý
+ \({C_n}^k = \frac{{{A_n}^k}}{{k!}}\)
+ Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.
Ví dụ: Có 7 bạn học sinh muốn chơi cờ cá ngựa, nhưng mỗi ván chỉ có 4 người chơi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 bạn chơi cờ cá ngựa?
Giải
Mỗi cách chọn 4 bạn trong 7 bạn học sinh là một tổ hợp chập 4 của 7.
Vậy số cách chọn 4 bạn chơi cờ cá ngựa là \({C_7}^4 = \frac{{7!}}{{4!3!}} = 35\).
Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán đếm liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính \({P_n},{A_n}^k,{C_n}^k\) sẽ được dùng rất nhiều.
Dưới đây ta xét một số vĩ dụ về các bài toán đếm.
Ví dụ: Một lần anh Hưng đến Hà Nội và dự định từ Hà Nội tham quan Đền Hùng, Ninh Bình, Hạ Long, Đường Lâm và Bát Tràng, mỗi ngày đi tham quan một địa điểm rồi lại về Hà Nội
a) Hỏi anh Hưng có thể xếp được bao nhiêu lịch trình đi tham quan tất cả các địa điểm (ở đây lịch trình tính cả thứ tự tham quan).
b) Anh Hưng có việc đột xuất phải vẻ sớm, nên anh chỉ có 3 ngày để đi tham quan 3 địa điểm. Hỏi anh Hưng có bao nhiêu cách xếp lịch trình đi tham quan?
Giải
a) Anh Hưng đi tham quan 5 địa điểm, mối cách xếp lịch trình là một cách chọn có thứ tự của 5 địa điểm trên. Vậy số cách xép lịch trình chính bằng số các hoán vị của 5 địa điểm, và bằng
\({P_5} = 5! = 5.4.3.2.1 = 120\) (cách)
b) Nếu anh Hưng chỉ có 3 ngày để đi tham quan 3 nơi, thì mối cách xếp lịch trình của anh chính là một cách chọn có thứ tự 3 địa điểm từ 5 địa điểm, tức là một chỉnh hợp chập 3 của 5.
Vây số cách xếp lịch trình đi tham quan trong trường hợp này là
\({A_5}^3 = \frac{{5!}}{{\left( {5 - 2} \right)!}} = \frac{{5!}}{{2!}} = 60\) (cách)
Ta có thể dùng máy tính cằm tay để tính số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
Hoán vị
Để tính n!, ta ấn phim theo trình tự sau:
Án số n, ấn phím sau đó ấn phím . Khi đó, két quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.
Ví dụ. Tính 9!.
Ta ấn liên tiếp các phim như sau:
Dòng kết quả hiện ra 362 880.
Chỉnh hợp
Để tinh \({A_n}^k\) ta ấn phim theo trình tự sau:
Án số n, ấn phim ấn số k, sau đó ấn phím . Khi đó, kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.
Ví dụ. Tính \({A_{15}}^2\)
Ta ấn các phim theo trình tự sau:
Dòng kết quả hiện ra 210.
Tổ hợp
Để tính \({C_n}^k\) ta án phím theo trình tự sau:
Ấn số n, ấn phim ấn số k sau đó ấn phim . Khi đó, kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.
Ví dụ. Tỉnh \({C_{20}}^5\)
Ta ấn các phím theo trình tự sau:
Dòng kết quả hiện ra 15 504.
Câu 1: Trong một cuộc thi điền kinh gồm 6 vận động viên chạy trên 6 đường chạy. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các vận động viên vào các đường chạy đó?
Hướng dẫn giải
Số cách sắp xếp các vận động viện vào các đường chạy là hoán vị của 6 phần tử.
Vậy số cách sắp xếp là: 6! = 720 cách.
Câu 2: Trong lớp 10T có bốn bạn Tuấn, Hương, Việt, Dung đủ tiêu chuẩn tham gia cuộc thi hùng biện của trường.
a. Giáo viên cần chọn ra hai bạn phụ trách nhóm trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai bạn từ bốn bạn nêu trên?
b. Có bao nhiêu cách chọn hai bạn, trong đó một bạn làm nhóm trường, một bạn làm nhóm phó?
Hướng dẫn giải
a. Vì hai bạn có vai trò như nhau nên số cách chọn là: 4.3 : 2 = 6 cách.
b. Chọn 2 bạn trong 4 bạn thì theo a số cách chọn là 6 cách.
Sau khi chọn 2 bạn, ta xếp vai trò 1 bạn làm nhóm trưởng, 1 bạn làm nhóm phó thì có 2 cách lựa chọn.
Vậy số cách chọn 2 bạn, trong đó một bạn nhóm trưởng, một bạn nhóm phó là 6.2 = 12 cách.
Câu 3: Một câu lạc bộ có 20 học sinh.
a. Có bao nhiêu cách chọn 6 thành viên vào Ban quản lí?
b. Có bao nhiêu cách chọn Trưởng ban, 1 phó ban, 4 thành viên khác vào ban quản lí?
Hướng dẫn giải
a. Chọn 6 thành viên từ 20 học sinh là tổ hợp chập 6 của 20 phần tử, số cách chọn là: \(C_{20}^{6}\) = 38760 cách.
b. Theo a, chọn 6 thành viên trong 20 học sinh, số cách là: \(C_{20}^{6}\) = 38760 cách.
Chọn 1 trường ban từ 6 thành viên có: 6 cách.
Chọn 1 phó ban từ 6 thành viên, trừ bỏ thành viên trưởng ban có: 5 cách.
Vậy số cách chọn 1 trường ban, 1 phó ban, 4 thành viên là: 38760.6.5 = 1 162 800 cách.
Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:
- Nắm được các khái niệm về hoán vị, số các hoán vị, chỉnh hợp và số các chỉnh hợp.
- Vận dụng tốt hoán vị, chỉnh hợp vào giải bài tập
- Biết sử dụng máy tính cầm tay để giải toán.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 8 Bài 24để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Một tổ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp học sinh trong tổ thành một hàng dọc?
4!.5!
Trong mặt phẳng có 18 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Số tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập hợp các điểm đã cho là:
A183
Có 5 bì thư khác nhau và có 8 con tem khác nhau. Chọn từ đó ra 3 bì thư và 3 con tem sau đó dán 3 con tem lên 3 bì thư đã chọn. Biết rằng một bì thư chỉ dán 1 con tem. Hỏi có bao nhiêu cách dán?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 8 Bài 24để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 66 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 1 trang 67 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 2 trang 67 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 2 trang 68 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 3 trang 68 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 3 trang 69 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Vận dụng trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 8.6 trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 8.7 trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 8.8 trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 8.9 trang 70 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 8.10 trang 71 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 8.11 trang 71 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Một tổ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp học sinh trong tổ thành một hàng dọc?
4!.5!
Trong mặt phẳng có 18 điểm phân biệt trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Số tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập hợp các điểm đã cho là:
A183
Có 5 bì thư khác nhau và có 8 con tem khác nhau. Chọn từ đó ra 3 bì thư và 3 con tem sau đó dán 3 con tem lên 3 bì thư đã chọn. Biết rằng một bì thư chỉ dán 1 con tem. Hỏi có bao nhiêu cách dán?
Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp sao cho bạn Chi luôn ngồi chính giữa là
Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 4 người ngồi vào 6 chỗ trên một bàn dài?
Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn ra 3 người vào ban thường vụ. Nếu cần chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ bí thư, phó bí thư, ủy viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn?
Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên?
Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa giống nhau vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông)?
Trong mặt phẳng, cho 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?
Một nhóm gồm bốn bạn Hà, Mai, Nam, Đạt xếp thành một hàng, từ trái sang phải, để tham gia một cuộc phỏng vấn.
a) Hãy liệt kê ba cách sắp xếp bốn bạn trên theo thứ tự.
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự bốn bạn trên để tham gia phỏng vấn?
Trong một cuộc thi điền kinh gồm 6 vận động viên chạy trên 6 đường chạy. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các vận động viên vào các đường chạy đó?
Trong lớp 10T có bốn bạn Tuấn, Hương, Việt, Dung đủ tiêu chuẩn tham gia cuộc thi hùng biện của trường.
a) Giáo viên cần chọn ra hai bạn phụ trách nhóm trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn hai bạn từ bốn bạn nêu trên?
b) Có bao nhiêu cách chọn hai bạn, trong đó một bạn làm nhóm trường, một bạn làm nhóm phó?
Trong một giải đua ngựa gồm 12 con ngựa, người ta chỉ quan tâm đến 3 con ngựa: con nhanh nhất, nhanh nhì và nhanh thứ ba. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?
Trở lại HĐ2
a) Hãy cho biết sự khác biệt khi chọn ra hai bạn ở câu HĐ2a và HĐ2b
b) Từ kết quả tính được ở câu HĐ2b (áp dụng chỉnh hợp), hãy chỉ ra cách tính kết quả ở câu HĐ2a.
Trong ngân hàng để kiểm tra cuối học kì II môn Vật lí có 20 câu lí thuyết và 40 câu bài tập. Người ta chọn ra 2 câu lí thuyết và 3 câu bài tập trong ngân hàng đề để tạo thành một đề thi. Hỏi có bao nhiêu cách lập đề thi gồm 5 câu hỏi theo cách chọn như trên?
Một câu lạc bộ có 20 học sinh.
a) có bao nhiêu cách chọn 6 thành viên vào Ban quản lí?
b) Có bao nhiêu cách chọn Trưởng ban, 1 phó ban, 4 thành viên khác vào ban quản lí?
Một hoạ sĩ cần trưng bày 10 bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách để hoạ sĩ sắp xếp các bức tranh?
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?
Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn 100? Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn 100?
Bạn Hà có 5 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Có bao nhiêu cách để Hà chọn ra đúng 2 viên bi khác màu?
Một câu lạc bộ cờ vua có 10 bạn nam và 7 bạn nữ. Huấn luyện viên muốn chọn 4 bạn đi thi đấu cờ vua.
a) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn nam?
b) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn không phân biệt nam, nữ?
c) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn, trong đó có 2 bạn nam và 2 bạn nữ?
Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *