Sau đây mời các em học sinh lớp 10 cùng tham khảo bài Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ. Bài giảng đã được soạn khái quát lý thuyết cần nhớ, đồng thời có các bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp các em dễ dàng nắm được kiến thức trọng tâm của bài.
Điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc đường tròn (C), tâm ((a; b), bán kính R khi và chỉ khi \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\). (1) Ta gọi (1) là phương trình của đường tròn (C). |
---|
Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16\). Viết phương trình đường tròn (C') có tâm J(2; - 1) và có bán kinh gấp đôi bán kính đường tròn (C).
Giải
Ta viết phương trình của (C) ở dạng \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - \left( { - 3} \right)} \right)^2} = {4^2}\)
Vậy (C) có tâm I = (2;- 3) và bán kinh R= 4.
Đường tròn (C') có tâm J(2; - 1) và có bán kinh R'= 2R= 8, nên có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 64\).
Nhận xét: Phương trình (1) tương đương với \({x^2} + {y^2} - 2{\rm{a}}x - 2by + \left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} - {R^2}} \right) = 0\).
Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2{\rm{a}}x - 2by + c = 0\) là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} - c > 0\). Khi đó, (C) có tâm I(a; b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \) |
---|
Ví dụ: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(2; 0), B(0; 4), C(-7: 3).
Giải
Các đoạn thẳng AB, AC tương ứng có trung điểm là M(1 2), \(N\left( { - \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\). Đường thẳng trung trực \({\Delta _1}\) của đoạn thằng AB đi qua M(1, 2) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2;{\rm{ }}4} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2;{\rm{ }}4} \right)\) cùng phương với \(\overrightarrow n \left( {1; - 2} \right)\) nên \({\Delta _1}\) cũng nhận \(\overrightarrow n \left( {1; - 2} \right)\) là vectơ pháp tuyến.
Do đó, phương trình của \({\Delta _1}\) là
1(x - 1) - 2(y - 2)= 0 hay x - 2y + 3 = 0.
Đường thẳng trung trực \({\Delta _2}\) của đoạn thẳng AC đi qua \(N\left( { - \frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {AC} \left( { - 9,{\rm{ }}3} \right)\).
Vi A€(-9; 3) cùng phương với n; (3 - 1) nên Az cũng nhận n; (3 - 1) là vectơ pháp tuyến.
Do đó, phương trinh của \({\Delta _2}\) là
\(3\left( {x + \frac{5}{2}} \right) - 1\left( {y - \frac{3}{2}} \right) = 0\) hay \(3x - y + 9 = 0\)
Tâm I của đường tròn (C) cách đều ba điểm A, B, C nên I là giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).
Vậy toạ độ của I là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2y + 3 = 0\\
3x - y + 9 = 0
\end{array} \right.\)
Suy ra I(-3; 0). Đường tròn (C) có bán kính là IA = 5. Vậy phương trình của (C) là \({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} = 25\).
Cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đường tròn \((C):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\) (tâm I(a; b), bán kính R). Khi đó, tiếp tuyến \(\Delta \) của (C) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MI} = \left( {a - {x_0};b - {y_0}} \right)\) và phương trình \(\left( {a - {x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {b - {y_0}} \right)\left( {y - {y_0}} \right) = 0\) |
---|
Ví dụ: Cho đường tròn (C) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\). Điểm M(0; 1) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M của (C).
Giải
Do \({\left( {0 + 1} \right)^2} + {\left( {1 - 3} \right)^2} = 5\), nên điểm M thuộc (C).
Đường tròn (C) có tâm là I(-1; 3). Tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MI} = \left( { - 1;2} \right)\), nên có phương trình
\( - 1\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0\).
Câu 1: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.
a. x2 + y2 - 2x + 4y - 2 = 0
b. x2 + y2 - 2x + 4y + 6 = 0
c. x2 + y2 + 6x + 4y + 2 = 0
Hướng dẫn giải
a. Ta có: a = 1; b = -2; c = -2
Xét a2 + b2 - c = 7 > 0.
Phương trình đã cho là phương trình đường tròn.
Tâm I(1; -2). Bán kính R = \(\sqrt{7}\)
b. Ta có: a = 1; b = -2; c = 6
Xét a2 + b2 - c = -1 < 0.
Phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.
c. Ta có: a = -3; b = 2; c = 2
Xét a2 + b2 - c = 11 > 0.
Phương trình đã cho là phương trình đường tròn.
Tâm I(-3; 2). Bán kính R = \(\sqrt{11}\)
Câu 2: Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của (C) tại điểm N(1; 0).
Hướng dẫn giải
Do 12 + 02 - 2.1 + 4.0 + 1 = 0, nên điểm N thuộc (C).
Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) . Tiếp tuyến của (C) tại N có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{IN}(0;2)\)
Phương trình tiếp tuyến là: 0.(x - 1) + 2(y - 0) = 0 hay y = 0
Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:
- Lập phương trình đường tròn khi biết toa độ tâm và bán kính hoặc biết toạ độ ba điểm thuộc đường tròn.
- Xác định tâm và bán kính của đường tròn khi biết phương trình của nó.
- Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết toạ độ của tiếp điểm.
- Vận dụng kiến thức về phương trình đường tròn để giải một số bài toán liên quan đền thực tiến.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 21để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Đường tròn tâm I (a; b) và bán kính R có dạng:
Đường tròn \({\left( {x + a} \right)^2} + {\left( {y + b} \right)^2} = {R^2}\) có tọa độ tâm I và bán kính lần lượt là:
Cho đường tròn (C) có phương trình \({x^2}\; + \;{y^2}\; + \;2x\;--\;8y\; + \;8\; = \;0\). Khi đó đường tròn có tâm I và bán kính R với
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 21để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 43 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 1 trang 44 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 2 trang 44 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 3 trang 45 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Vận dụng trang 45 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 2 trang 46 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 4 trang 46 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.13 trang 46 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.14 trang 46 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.15 trang 47 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.16 trang 47 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.17 trang 47 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 7.18 trang 47 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Đường tròn tâm I (a; b) và bán kính R có dạng:
Đường tròn \({\left( {x + a} \right)^2} + {\left( {y + b} \right)^2} = {R^2}\) có tọa độ tâm I và bán kính lần lượt là:
Cho đường tròn (C) có phương trình \({x^2}\; + \;{y^2}\; + \;2x\;--\;8y\; + \;8\; = \;0\). Khi đó đường tròn có tâm I và bán kính R với
Điều kiện của m để phương trình \({x^2} + {y^2} - 2\left( {m - 3} \right)x - 2\left( {2m + 1} \right)y + 3m + 10 = 0\). Là phương trình của một đường tròn là:
Phương trình đường tròn đường kính AB với A(1; 6), B(-3; 2) là
Cho đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 6x + 4y - 12 = 0\). Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A(-1; 1) là:
Cho đường tròn (C) có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4\). Khi đó đường tròn có tâm I và bán kính R với
Cho đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} + 4x - 6y - 3 = 0\) . Khi đó đường tròn có tâm I và bán kính R với
Cho đường tròn (C) có phương trình \(2{x^2} + 2{y^2} - 3x + 7y + 1 = 0\). Khi đó đường tròn có tâm I và bán kính R với
Cho đường tròn (C) có tâm I(-1; 2) đi qua điểm A(3; 4). Khi đó phương trình của (C) là
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C), tâm I(a; b), bán kính R. Khi đó, một điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn điều kiện đại số nào?
Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C): (x + 2)2 +(y - 4)2 = 7.
Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.
a) x2 + y2 - 2x + 4y - 2 = 0
b) x2 + y2 - 2x + 4y + 6 = 0
c) x2 + y2 + 6x + 4y + 2 = 0
Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm M(4; -5), N(2; -1), P(3; -8).
Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bể sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục để tổng chu vi của ba bể là 32 m mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy \(\pi =3,14\), độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.
Cho đường tròn (C): (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25 và điểm M(4; -2).
a) Chứng minh điểm M(4; -2) thuộc đường tròn (C).
b) Xác định tâm và bán kính của (C).
c) Gọi $\Delta $ là tiêp tuyến của (C) tại M. Hãy chỉ ra một vecto pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta\). Từ đó, viết phương trình đường thẳng $\Delta $.
Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y + 1 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của (C) tại điểm N(1; 0).
Tìm tâm và tính bán kính của đường tròn: (x + 3)2 + (y - 3)2 = 36
Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.
a) x2 + y2 + xy + 4x - 2 = 0
b) x2 + y2 - 2y - 4x + 5 = 0
c) x2 + y2 + 6x - 8y + 1 =0
Viết phương trình của đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm I(-2; 5) và bán kính R = 7.
b) Có tâm I(1; -2) và đi qua điểm A(-2; 2)
c) Có đường kính AB, với A(-1; -3), B(-3; 5)
d) Có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng x + 2y + 3 = 0.
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC với A(6; -2), B(4; 2), C(5; -5). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 4y + 4 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2).
Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ. Theo đó, tại thời điểm t ($0\leq t\leq 180$) vật thể ở vị trí có tọa độ (2 + sin to; 4 + costo).
a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.
b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *