Nội dung bài giảng Vectơ trong mặt phẳng tọa độ môn Toán lớp 10 chương trình Chân trời sáng tạo được DapAnHay biên soạn và tổng hợp giới thiệu đến các em học sinh, giúp các em tìm hiểu về tọa độ của vectơ, biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ. Để đi sâu vào tìm hiểu và nghiên cứu nội dung vài học, mời các em cùng tham khảo nội dung chi tiết trong bài giảng sau đây.
Trên mặt phẳng, xét hai trục Ox, Oy có chung gốc O và vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị của trục Ox là \(\overrightarrow i \), vectơ đơn vị của trục Oy là \(\overrightarrow j \). Hệ gồm hai trục Ox, Oy như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Oxy. Điểm O gọi là gốc toa độ, trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung. Mặt phẳng chứa hệ trục toạ độ Oxy gọi là mặt phẳng toạ độ Oxy hay mặt phẳng Oxy (Hình sau).
Với mỗi vectơ ứ trên mặt phẳng Oxy, có duy nhất cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) sao cho \(\overrightarrow u = {x_0}\overrightarrow i + {y_0}\overrightarrow j \). Ta nói vectơ \(\overrightarrow u \) có toạ độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và viết \(\overrightarrow u = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\) hay \(\overrightarrow u \left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Các số \({{x_0},{y_0}}\) tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của \(\overrightarrow u \). |
---|
Nhận xét: Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng toạ độ.
\(\vec u\left( {x,y} \right) = \vec v\left( {x',y'} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = x'}\\ {y = y'} \end{array}} \right.\) |
---|
Ví dụ: Tìm toạ độ của các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j \) tương ứng của các trục Ox, Oy.
Giải
Vì \(\overrightarrow i = 1\overrightarrow i + 0\overrightarrow j \) nên \(\overrightarrow i\) có toạ độ là (1; 0)
Vì \(\overrightarrow j = 0\overrightarrow i + 1\overrightarrow j \) nên \(\overrightarrow j\) có toa độ là (0; 1).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \left( {x;y} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {x;y} \right)\). Khi đó: \(\begin{array}{*{20}{l}} |
---|
Nhận xét: Vectơ \(\overrightarrow v \left( {x';y'} \right)\) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \left( {x;y} \right) \ne \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho x' = kx, y' = ky (hay \(\frac{{x'}}{x} = \frac{{y'}}{y}\) nếu \(x,y \ne 0\)
- Nếu điểm M có toạ độ (x; y) thì vecto \(\overrightarrow {OM} \) có toạ độ (x; y) và độ dài \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \) |
---|
Nhận xét: Với vectơ \(\overrightarrow u \left( {x;y} \right)\) ta lấy điểm M(x; y) thì \(\overrightarrow u = \overrightarrow {OM} \). Do đó, \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
Chẳng hạn, vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1} \right)\) có độ dài là \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2}} = \sqrt 5 \)
- Với hai điểm M(x; y) và N(x'; y') thì \(\overrightarrow {MN} = \left( {x' - x;y' - y} \right)\) và khoảng cách giữa hai điểm M, N là \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( {x' - x} \right)}^2} + {{\left( {y' - y} \right)}^2}} \) |
---|
Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(1;~2), B(3; 2), C(7: 4).
a) Tìm toạ độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \). So sánh các khoảng cách từ B tới A và C.
b) Ba điểm A, B, C có thẳng hàng hay không?
c) Tìm điểm D(x; y) đề ABCD là một hinh thoi.
Giải
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 1;2 - ( - 2)} \right) = \left( {2;4} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {7 - 3;4 - 2} \right) = \left( {4;2} \right)\)
Các khoảng cách từ B tới A và C lần lượt là:
\(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 ;BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5 \)
Do đó các khoảng cách này bằng nhau.
b) Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;{\rm{ }}4} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {4;{\rm{ }}2} \right)\) không cùng phương (vì \(\frac{2}{4} \ne \frac{4}{2}\)). Do đó các điềm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.
c) Các điểm A, B, C không thằng hàng và BA = BC nên ABCD là một hình thoi khi và chỉ khi \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} = \overrightarrow {BC} \).
Do \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} = \left( {x - 1;y + 2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {4;2} \right)\) nên \(\overrightarrow {A{\rm{D}}} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 1 = 4\\
y + 2 = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5\\
y = 0
\end{array} \right.\)
Vậy điểm cần tìm là D(5; 0).
Chú ý:
+ Trung điểm M của đoạn thẳng AB có toạ độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)\)
+ Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right)\)
Câu 1: Trên trục số Ox, gọi A là điểm biểu diễn số 1 và đặt \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i \) (Hình cho bên dưới). Gọi M là điểm biểu diễn số 4, N là điểm biểu diễn số \( - \frac{3}{2}\). Hãy biểu thị mỗi vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\;\overrightarrow {ON} \) theo vectơ \(\overrightarrow i \).
Hướng dẫn giải
Dễ thấy:
vectơ \(\overrightarrow {OM} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = 4 = 4\left| {\overrightarrow i } \right|\)
Do đó: \(\overrightarrow {OM} = 4\,.\,\overrightarrow i \)
Tương tự, vectơ \(\overrightarrow {ON} \) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\left| {\overrightarrow {ON} } \right| = \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\left| {\overrightarrow i } \right|\)
Do đó: \(\overrightarrow {ON} = - \frac{3}{2}\,.\,\overrightarrow i \)
Câu 2:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow u = (2; - 3),\;\overrightarrow v = (4;1),\;\overrightarrow a = (8; - 12)\)
a) Hãy biểu thị mỗi vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v ,\;\overrightarrow a \) theo các vectơ \(\overrightarrow i ,\;\overrightarrow j \)
b) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow u + \;\overrightarrow v ,\;4.\;\overrightarrow u \)
c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow a \)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\overrightarrow u = (2; - 3)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow u = 2.\;\overrightarrow i + \left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j \)
Tương tự ta có: \(\overrightarrow v = (4;1),\;\overrightarrow a = (8; - 12)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow v = 4.\;\overrightarrow i + 1.\;\overrightarrow j ;\;\;\overrightarrow a = 8.\;\overrightarrow i + \left( { - 12} \right).\;\overrightarrow j \)
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u = 2.\;\overrightarrow i + \left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j \\\overrightarrow v = 4.\;\overrightarrow i + 1.\;\overrightarrow j \end{array} \right.\)(theo câu a)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u + \;\overrightarrow v = \left( {2.\;\overrightarrow i + \left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j } \right) + \left( {4.\;\overrightarrow i + 1.\;\overrightarrow j } \right)\\4.\;\overrightarrow u = 4\left( {2.\;\overrightarrow i + \left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j } \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u + \;\overrightarrow v = \left( {2.\;\overrightarrow i + 4.\;\overrightarrow i } \right) + \left( {\left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j + 1.\;\overrightarrow j } \right)\\4.\;\overrightarrow u = 4.2.\;\overrightarrow i + 4.\left( { - 3} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u + \;\overrightarrow v = 6.\;\overrightarrow i + \left( { - 2} \right).\;\overrightarrow j \\4.\;\overrightarrow u = 8.\;\overrightarrow i + \left( { - 12} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.\end{array}\)
c) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}4.\;\overrightarrow u = 8.\;\overrightarrow i + \left( { - 12} \right).\;\overrightarrow j \\\overrightarrow a = 8.\;\overrightarrow i + \left( { - 12} \right).\;\overrightarrow j \end{array} \right.\) nên ta suy ra \(4.\;\overrightarrow u = \overrightarrow a \)
Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:
- Nhận biết toạ độ của vectơ và thể hiện các phép toán vectơ theo toạ độ.
- Thể hiện mối quan hệ giữa các vectơ thông qua toa độ của chúng.
- Ứng dụng của toạ độ vectơ trong bài toán xác định vị trí của vật trên mặt phăng toạ độ.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 4 Bài 10để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hai điểm A (1 ; 0) và B (0 ; − 2). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:
Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O, hai đỉnh A và B có tọa độ là A (−2; 2); B (3; 5). Tọa độ của đỉnh C là:
Trong mặt phẳng Oxy, cho B (5; −4), C (3; 7). Tọa độ của điểm E đối xứng với C qua B là:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 4 Bài 10để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 60 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 2 trang 61 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 1 trang 61 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 3 trang 61 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 4 trang 62 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 5 trang 62 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 2 trang 63 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Vận dụng trang 64 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 4.16 trang 65 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 4.17 trang 65 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 4.18 trang 65 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 4.19 trang 65 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 4.19 trang 65 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Cho hai điểm A (1 ; 0) và B (0 ; − 2). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:
Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O, hai đỉnh A và B có tọa độ là A (−2; 2); B (3; 5). Tọa độ của đỉnh C là:
Trong mặt phẳng Oxy, cho B (5; −4), C (3; 7). Tọa độ của điểm E đối xứng với C qua B là:
Cho A (0; 3), B (4; 2). Điểm D thỏa \(\overrightarrow {O{\rm{D}}} + 2\overrightarrow {{\rm{DA}}} - 2\overrightarrow {{\rm{DB}}} = \overrightarrow 0 \), tọa độ D là:
Cho \(\vec a = 3\vec i - 4\vec j\) và \(\overrightarrow b = \overrightarrow i - \overrightarrow j \). Tìm phát biểu sai:
Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm \(A\left( { - 3;3} \right),B\left( {1;4} \right),C\left( {2; - 5} \right)\). Tọa độ điểm M thỏa mãn \(2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {BC} = 4\overrightarrow {CM} \) là:
Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A (2; 1), B (2; −1), C (−2; −3),D (−2; −1). Xét hai mệnh đề:
(I) ABCD là hình bình hành.
(II) AC cắt BD tại M (0; −1).
Khẳng định nào sau đây đúng?
Trong mặt phẳng Oxy, cho A (−2; 0), B (5; −4), C (−5; 1). Tọa độ điểm D để tứ giác BCAD là hình bình hành là:
Cho M (2; 0), N (2; 2), P (−1; 3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của ΔABC. Tọa độ B là:
Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A (6; 1), B (−3; 5) và trọng tâm G (−1; 1). Tìm tọa độ đỉnh C?
Trên trục số Ox, gọi A là điểm biểu diễn số 1 và đặt \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow i \) (H.4.32a). Gọi M là điểm biểu diễn số 4, N là điểm biểu diễn số \( - \frac{3}{2}\). Hãy biểu thị mỗi vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\;\overrightarrow {ON} \) theo vectơ \(\overrightarrow i \).
Trong Hình 4.33:
a) Hãy biểu thị mỗi vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\;\overrightarrow {ON} \) theo các vectơ \(\overrightarrow i ,\;\overrightarrow j \).
b) Hãy biểu thị vectơ \(\overrightarrow {MN} \) theo các vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\;\overrightarrow {ON} \) từ đó biểu thị vectơ \(\overrightarrow {MN} \) theo các vectơ \(\overrightarrow i ,\;\overrightarrow j \).
Tìm tọa độ của \(\overrightarrow 0 \)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow u = (2; - 3),\;\overrightarrow v = (4;1),\;\overrightarrow a = (8; - 12)\)
a) Hãy biểu thị mỗi vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v ,\;\overrightarrow a \) theo các vectơ \(\overrightarrow i ,\;\overrightarrow j \)
b) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow u + \;\overrightarrow v ,\;4.\;\overrightarrow u \)
c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow a \)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm \(M({x_o};{y_o})\). Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy (H.4.35)
a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị \(\overrightarrow {OP} \) theo \(\overrightarrow i \) và tính độ dài của \(\overrightarrow {OP} \) theo \({x_o}\).
b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị \(\overrightarrow {OQ} \) theo \(\overrightarrow j \) và tính độ dài của \(\overrightarrow {OQ} \) theo \({y_o}\).
c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của \(\overrightarrow {OM} \) theo \({x_o},{y_o}.\)
d) Biểu thị \(\overrightarrow {OM} \) theo các vectơ \(\overrightarrow i ,\;\overrightarrow j \).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(x;y) và N(x’; y’)
a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\;\overrightarrow {ON} \).
b) Biểu thị vectơ \(\overrightarrow {MN} \) theo các vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\;\overrightarrow {ON} \) và tọa độ của \(\overrightarrow {MN} \).
c) Tìm độ dài của vectơ \(\overrightarrow {MN} \)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1), B(3; 3).
a) Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay không?
b) Tìm điểm M(x; y) để OABM là một hình hành.
Từ thông tin dự báo được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1; 3), N(4; 2)
a) Tính độ dài các đoạn thẳng OM, ON, MN.
b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ \(\overrightarrow a = 3.\overrightarrow i - 2.\overrightarrow j ,\)\(\overrightarrow b = \left( {4; - 1} \right)\) và các điểm M (-3; 6), N(3; -3).
a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(2\;\overrightarrow a - \overrightarrow b \).
b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?
c) Tìm điểm P(x; y) để OMNP là một hình bình hành.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 3), B(2; 4), C(-3; 2).
a) Hãy giải thích vì sao các điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tìm điểm D(x; y) để O(0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD.
Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau:
Tàu khởi hành từ vị trí A(1; 2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ \(\overrightarrow v = \left( {3;4} \right)\). Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *