Nội dung bài giảng Dấu của tam thức bậc hai môn Toán lớp 10 chương trình Chân trời sáng tạo được DapAnHay biên soạn và tổng hợp giới thiệu đến các em học sinh, giúp các em tìm hiểu về dấu của tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai,.... Để đi sâu vào tìm hiểu và nghiên cứu nội dung vài học, mời các em cùng tham khảo nội dung chi tiết trong bài giảng sau đây.
Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những số thực cho trước (với \(a \ne 0\)), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai. |
---|
Người ta thường viết f(x) = ax2 + bx + c. Các đa thức đã cho A = \(0,5x^{2}\), B = \(1-x^{2}\), C = \(x^{2}+x+1\), D = (1-x)(2x+1) là những tam thức bậc hai. Ở đa thức A, ta có ; a = 0,5; b = 0, c = 0.
Chú ý: Nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai ax2 + bx + c.
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2+ bx + c (\(a \ne 0\)). + Nếu \(\Delta < 0\) thì f(x) cùng dẫu với hệ số a với mọi \(x \in R\). + Nếu \(\Delta = 0\) thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \ne - \frac{b}{{2{\rm{a}}}}\) và \(f\left( { - \frac{b}{{2{\rm{a}}}}} \right) = 0\). + Nếu \(\Delta > 0\) thi tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\). Khi đó f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \in \left( { - \infty ;{x_1}} \right) \cup \left( {{x_2}; + \infty } \right)\); f(x) trái dấu với hệ số a với mọi \(x \in \left( {{x_1};{x_2}} \right)\). |
---|
Chú ý: Trong Định lí về dấu tam thức bậc hai có thể thay \(\Delta \) bởi \(\Delta '\).
Ví dụ: Xét dâu các tam thức bậc hai sau:
\(\begin{array}{l}
a){x^2} + x + 1\\
b) - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}\\
c)2{x^2} + 6x - 8
\end{array}\)
Giải
a) \(f(x) = {x^2} + x + 1\) có \(\Delta = -3 < 0\) và a = 1 > 0 nên f(x) > 0 với mọi x \(\in\) R.
b) \(g(x) = - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}\) có \(\Delta = 0\) và \(a = - \frac{3}{2} > 0\) nên g(x) có nghiệm kép x = 3 và g(x) < 0 với mọi \(x \ne 3\).
c) Dễ thấy \(h(x) = 2{x^2} + 6x - 8\) có \(\Delta ' = 25 > 0,a = 2 > 0\) và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 4;{x_2} = 1\).
Do đó ta có bẳng xét dấu h(x)
Suy ra h(x) > 0 với mọi \(x \in \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) và h(x) < 0 với mọi \(x \in \left( { - 4;1} \right)\).
+ Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình có dạng ax2+ bx + c > 0 (hoặc ax2+ bx + c > 0, ax2+ bx + c < 0, \(a{x^2} + bx + c \le 0\)), trong đó a, b, c là những số thực đã cho và \(a \ne 0\). + Số thực x0 gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc hai ax2+ bx + c > 0, nếu ax2+ bx + c > 0. Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai ax2+ bx + c > 0 gọi là tập nghiệm của bắt phương trình này. + Giải bất phương trình bậc hai f(x)= ax2+ bx + c > 0 là tìm tập nghiệm của nó, tức là tìm các khoảng mà trong đó f(x) cùng dấu với hệ số a (nếu a > 0) hay trái dầu với hệ số a (nếu a < 0). |
---|
Nhận xét: Để giải bất phương trình bậc hai ax2+ bx + c > 0 (hoặc \(a{x^2} + bx + c \ge 0\), ax2+ bx + c < 0, \(a{x^2} + bx + c \le 0\)) ta cần xét dấu tam thức ax2+ bx + c, từ đó suy ra tập nghiệm.
Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:
\(\begin{array}{l}
a)3{x^2} + x + 5 \le 0\\
b) - 3{x^2} + 2\sqrt 3 - 1 \ge 0\\
c) - {x^2} + 2x + 1 > 0
\end{array}\)
Giải
a) Tam thức \(f(x) = 3{x^2} + x + 5\) có \(\Delta = - 59 < 0\), hệ số a = 3 > 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x, tức là \(3{x^2} + x + 5 > 0\) với mọi \(x \in R\). Suy ra bất phường trình vô nghiệm.
b) Tam thức \(f(x) = - 3{x^2} + 2\sqrt 3 - 1\) có \(\Delta ' = 0\), hệ số a = -3 < 0 nên f(x) luôn âm (cùng dấu với a) với mọi \(x \ne \frac{{\sqrt 3 }}{3}\), tức là \(- 3{x^2} + 2\sqrt 3 - 1 < 0\) với mọi \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
c) Tam thức \(f(x) = - {x^2} + 2x + 1\) có \(\Delta ' = 2 > 0\) nên f(x) có hai nghiệm \({x_1} = 1 - \sqrt 2 \) và \({x_2} = 1 + \sqrt 2 \)
Mặt khác a = -1 < 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:
Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)\)
Câu 1: Cho hàm số bậc hai \(y=f(x)=x^{2}-4x+3\).
a) Xác định hệ số a. Tính f(0), f(1), f(2), f(3), f(4) và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số a.
b) Cho đồ thị hàm số y = f(x) (H.6.17). Xét trên từng khoảng \((-\infty ;1),(1;3);(3;+\infty )\), đồ thị nằm phía trên hay nằm phía dưới trục Ox?
c) Nhận xét về dấu của f(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.
Hướng dẫn giải
a) a = 1
\(f(0)=0^{2}-4.0+3=3\), cùng dấu với a
\(f(1)=1^{2}-4.1+3=0\), không mang dấu
\(f(2)=2^{2}-4.2+3=-1\), trái dấu với a
\(f(3)=3^{2}-4.3+3=0\), không mang dấu.
\(f(4)=4^{2}-4.4+3=3\), cùng dấu với a
b)
\((-\infty ;1)\): đồ thị nằm phía trên trục hoành.
(1; 3): đồ thị nằm phía dưới trục hoành.
\((3;+\infty )\): đồ thị nằm phía trên trục hoành.
c.
\((-\infty ;1)\): f(x) và hệ số a cùng dấu.
(1; 3): f(x) và hệ số a trái dấu.
\((3;+\infty )\): f(x) và hệ số a cùng dấu.
Câu 2: Giải các bất phương trình bậc hai sau:
a) \(-5x^{2}+x-1\leq 0\)
b) \(x^{2}-8x+16\leq 0 \)
c) \(x^{2}-x+6> 0 \)
Hướng dẫn giải
a) Tam thức f(x) = \(-5x^{2}+x-1\) có \( \Delta = -19<0\), a = -5 < 0 nên f(x) luôn âm. Suy ra bất phương trình luôn đúng.
Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = \(\mathbb{R}\)
b) Tam thức f(x) = \(x^{2}-8x+16\) có \(\Delta =0\) và a = 1 > 0 nên f(x) \(\geq >0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\).
Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 4.
c) Tam thức f(x) = \(x^{2}-x+6\) \(\Delta = -23<0\), a = 1 > 0 nên f(x) luôn dương. Suy ra bất phương trình luôn đúng.
Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = \(\mathbb{R}\).
Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:
- Hiểu được khái niệm tam thức bậc hai.
- Hiểu được định lý về dấu của tam thức bậc hai .
- Cách xét dấu của tam thức bậc hai.
- Khái niệm và cách giải bất phương trình bậc hai một ẩn.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 6 Bài 17để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Giá trị nào của m thì phương trình \(\left( {m - 3} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x - \left( {m + 1} \right) = 0\) (1) có hai nghiệm phân biệt?
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 2} \).
Các giá trị m để tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1\) đổi dấu 2 lần là
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 6 Bài 17để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 19 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 1 trang 19 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 2 trang 19 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 3 trang 20 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 4 trang 20 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 2 trang 22 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 5 trang 22 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 2 trang 23 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Vận dụng trang 23 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 6.15 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 6.16 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 6.17 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 6.18 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 6.19 trang 24 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Giá trị nào của m thì phương trình \(\left( {m - 3} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x - \left( {m + 1} \right) = 0\) (1) có hai nghiệm phân biệt?
Tìm tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 2} \).
Các giá trị m để tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1\) đổi dấu 2 lần là
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2{x^2} - 7x - 15} \) là
Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức \(f\left( x \right) = - {\rm{\;}}{x^2} - x + 6\)?
Nghiệm của hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2{x^2} - x - 6 \le 0}\\
{{x^3} + {x^2} - x - 1 \ge 0}
\end{array}} \right.\) là:
Bất phương trình: \(\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| \le {x^2} - 5\) có bao nhiêu nghiệm nghiệm nguyên?
Nghiệm của bất phương trình: \(\left( {{x^2} + x - 2} \right)\sqrt {2{x^2} - 1} < 0\) là:
Tập nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - 4x + 3 > 0}\\
{{x^2} - 6x + 8 > 0}
\end{array}} \right.\) là
Tìm a để bất phương trình \({x^2} + 4x \le a\left( {\left| {x + 2} \right| + 1} \right)\) có nghiệm?
Hãy chỉ ra một đặc điểm chung của các biểu thức dưới đây:
A = \(0,5x^{2}\)
B = \(1-x^{2}\)
C = \(x^{2}+x+1\)
D = (1-x)(2x+1).
Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai
A = \(3x+2\sqrt{x}+1\)
B = \(-5x^{4}+3x^{2}+4\)
C = \(-\frac{2}{3}x^{2}+7x-4\)
D = \(\left ( \frac{1}{x} \right )^{2}+2\frac{1}{x}+3\)
Cho hàm số bậc hai \(y=f(x)=x^{2}-4x+3\).
a) Xác định hệ số a. Tính f(0), f(1), f(2), f(3), f(4) và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số a.
b) Cho đồ thị hàm số y = f(x) (H.6.17). Xét trên từng khoảng $(-\infty ;1),(1;3);(3;+\infty )$, đồ thị nằm phía trên hay nằm phía dưới trục Ox?
c) Nhận xét về dấu của f(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.
Cho đồ thị hàm số \(y=g(x)=-2x^{2}+x+3\) như Hình 6.18.
a) Xét trên từng khoảng \((-\infty ;1);\left (-1;\frac{3}{2}\right );\left ( \frac{3}{2};+\infty \right )\), đồ thị nằm phía trên trục Ox hay nằm phía dưới trục Ox?
b) Nhận xét về dấu của g(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó.
Nêu nội dung thay vào ô có dấu ? trong bảng sau cho thích hợp:
Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) \(-3x^{2}+x-\sqrt{2}\)
b) \(x^{2}+8x+16\)
c) \(-2x^{2}+7x-3\)
Trở lại tình huống mở đầu. Với yêu cầu mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 m2, hãy viết bất đẳng thức thể hiện sự so sánh biểu thức tính diện tích S(x) = \( -2x^{2}+2-x\) với 48.
Giải các bất phương trình bậc hai sau:
a) \(-5x^{2}+x-1\leq 0\)
b) \(x^{2}-8x+16\leq 0 \)
c) \(x^{2}-x+6> 0 \)
Độ cao so với mặt đất của một quả bóng được ném lê theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm só bậc hai h(t) = \(-4,9t^{2}+20t+1\), ở độ cao h(t) tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Trong khoảng thời điểm nào trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất?
Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) \(3x^{2}-4x+1\)
b) \(x^{2}+2x+1\)
c) \(-x^{2}+3x-2\)
d) \(-x^{2}+x-1\)
Giải các bất phương trình bậc hai:
a) \(x^{2}-1\geq 0\)
b) \(x^{2}-2x-1<0\)
c) \(-3x^{2}+12x+10\leq 0\)
d) \(5x^{2}+x+1\geq 0\)
Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi \(x\in \mathbb{R}\).
\(x^{2}+(m+1)x+2m+3\)
Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu vQ = 20m/s. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.
Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM = x. Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *