Nội dung bài giảng Nhị thức Newton môn Toán lớp 10 chương trình Kết nối tri thức, được DapAnHay biên soạn và tổng hợp đầy đủ, chi tiết các kiến thức trọng tâm của bài, đồng thời các bài tập minh họa có hướng dẫn giải chi tiết giúp các em dễ nắm được nội dung bài. Mời các em cùng tham khảo nội dung chi tiết trong bài giảng sau đây.
Các tích nhận được từ sơ đồ hình cây của một tích các đa thức giống như cách lấy ra một đơn thức từ mỗi đa thức rồi nhân lại với nhau. Hơn nữa, tổng của chúng cho ta khai triển của tích các đa thức đã cho.
Chẳng hạn, trong sơ đỏ hình cây (H.8.8) của (a + b)(c + d) thì các tích nhận được là a.c, a.d, b.c, b.d cũng chính là các tích nhận được khi ta lấy một hạng tử của nhị thức thứ nhất (là a hoặc b) nhân với một hạng tử của nhị thức thứ hai (là c hoặc d). Ta có
\(\left( {a + b} \right).\left( {c + d} \right) = a.c + a.d + b.c + b.d\)
Ta có công thức sau:
\(\begin{array}{l} {\left( {a + b} \right)^4} = {C_4}^0{a^4} + {C_4}^1{a^3}b + {C_4}^2{a^2}{b^2} + {C_4}^3a{b^3} + {C_4}^4{b^4}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}. \end{array}\) |
---|
Ví dụ: Khai triển \({\left( {2x + 1} \right)^4}\).
Giải
Thay a = 2x và b = 1 trong công thức khai triển của \({\left( {a + b} \right)^4}\), ta được:
\(\begin{array}{l}
{\left( {2x + 1} \right)^4} = {\left( {2x} \right)^4} + 4.{\left( {2x} \right)^3}.1 + 6.{\left( {2x} \right)^2}{.1^2} + 4.\left( {2x} \right){.1^3} + {1^4}\\
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 16{x^4} + 32{x^3} + 24{x^2} + 8x + 1
\end{array}\)
Ta có công thức sau:
\(\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {a + b} \right)}^5} = {C_4}^0{a^5} + {C_5}^1{a^4}b + {C_5}^2{a^3}{b^2} + {C_5}^3{a^2}{b^3} + {C_5}^4a{b^4} + {C_5}^5{b^5}}\\ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}.} \end{array}\) |
---|
Ví dụ: Khai triển \({\left( {x + 3} \right)^5}\).
Giải
Thay a = x và b = 3 trong công thức khai triển của \({\left( {a + b} \right)^5}\), ta được:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\left( {x + 3} \right)}^5} = {x^5} + 5.{x^4}.3 + 10.{x^3}{{.3}^2} + 10.{x^2}{{.3}^3} + 5.x{{.3}^4} + {3^5}}\\
{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {x^5} + 15{x^4} + 90{x^3} + 270{x^2} + 405x + 243.}
\end{array}\)
Nhận xét: Các công thức khai triển \({\left( {a + b} \right)^n}\) với \(n \in \left\{ {4;5} \right\}\), là một công cụ hiệu quả để tính chính xác hoặc xấp xỉ một số đại lượng mà không cần dùng máy tính.
Câu 1: Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (...) trong sơ đồ hình cây (Hình bên dưới) của tích (a +b).(a +b).(a +b)
Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt bằng a3, a2b, ab2, b3?
Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi khai triển (a + b)3.
Hướng dẫn giải
Có 1 tích bằng a3, có 3 tích bằng a2b, có 3 tích bằng ab2, có 1 tích bằng b3.
Khai triển (a + b)3 = a3+ a2b + ab2 + b3
\(\Rightarrow\) Vậy hệ số của khai triển đúng bằng hệ số các tích nhận được.
Câu 2: Khai triển (3x - 2)5
Hướng dẫn giải
(3x - 2)5 = (3x)5 + 5(3x)4.(-2) + 10.(3x)3.(-2)2 + 10.(3x)2.(-2)3 + 5(3x).(-2)4 + (-2)5
= 243x5 - 810x4 + 1080x3 - 720x2 + 240x -32.
Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:
- Nắm vững công thức nhị thức Niu-tơn.
- Biết vận dụng công thức nhị thức Niu-tơn để tìm khai triển các đa thức dạng (ax+b)n; (ax-b)n.
- Biết thiết lập hàng thứ n+1 của tam giác Pa-xcan từ hàng thứ n.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 8 Bài 25để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Khai triển biểu thức \({\left( {x - {m^2}} \right)^4}\) thành tổng các đơn thức:
Tính tổng \(S\; = \;{3^{2015}}.C_{2015}^0 - {3^{2014}}C_{2015}^2 + {3^{2013}}C_{2015}^2 - \ldots + 3C_{2015}^{2014}\; - C_{2015}^{2015}\)
Số hạng chính giữa trong khai triển \({\left( {5x\; + \;2y} \right)^4}\) là
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 8 Bài 25để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 72 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 2 trang 72 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 3 trang 73 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 1 trang 73 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 4 trang 74 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 2 trang 74 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Vận dụng trang 74 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 8.12 trang 74 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 8.13 trang 74 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 8.14 trang 74 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 8.15 trang 75 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 8.16 trang 75 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Khai triển biểu thức \({\left( {x - {m^2}} \right)^4}\) thành tổng các đơn thức:
Tính tổng \(S\; = \;{3^{2015}}.C_{2015}^0 - {3^{2014}}C_{2015}^2 + {3^{2013}}C_{2015}^2 - \ldots + 3C_{2015}^{2014}\; - C_{2015}^{2015}\)
Số hạng chính giữa trong khai triển \({\left( {5x\; + \;2y} \right)^4}\) là
Tìm số hạng thứ năm trong khai triển của \({\left( {x - \frac{2}{x}} \right)^{11}}\) mà trong khai triển đó số mũ của x giảm dần:
Tìm hệ số của \({x^6}{y^{14}}\) trong khai triển \({\left( {x + 5y} \right)^{20}}\)
Tính tổng \(C_n^0 - 2C_n^1 + {2^2}\;C_n^2 - \ldots + \;{\left( { - 1} \right)^n}{2^n}C_n^n\)
Cho đa thức: \(P\left( x \right) = {\left( {1\; + \;x} \right)^8} + {\left( {1 + x} \right)^9} + {\left( {1 + x} \right)^{10}} + {\left( {1 + x} \right)^{11}} + {\left( {1 + x} \right)^{12}}\). Khai triển và rú gọn ta được đa thức: \(P(x) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{12}}{x^{12}}\). Tìm hệ số \({a_8}\)
Tìm số tự nhiên n, biết \({3^n}C_n^0 - {3^{n - 1}}C_n^1 + {3^{n - 2}}C_n^2 - {3^{n - 3}}C_n^3 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}.C_n^n = 2048\)
Tìm a trong khai triển \(\;\left( {1\; + \;ax} \right){\left( {1 - \;3x} \right)^6}\), biết hệ số của số hạng chứa \({x^3}\) là 405
Tìm hệ số của \({x^{12}}\) trong khai triển \({\left( {2x - {x^2}} \right)^{10}}\)
Hãy xây dựng sơ đồ hình cây của tích hai nhị thức (a+b).(c+d) như sau:
Hãy lấy tổng của các tích nhận được và so sánh kết quả với khai triển của tích (a+b).(c+d)
Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (...) trong sơ đồ hình cây (H.8.7) của tích (a +b).(a +b).(a +b)
Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt bằng a3, a2b, ab2, b3?
Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi khai triển (a + b)3.
Sơ đồ hình cây của khai triển (a + b)4 được mô tả như Hình 8.9. Sau khi khai triển, ta thu được một tổng gồm 24 (theo quy tắc nhân) đơn thức có dạng x.y.z.t, trong đó mỗi x, y, z, t là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, y, t là a, còn z là b thì ta có đơn thức a.a.b.a, thu gọn là a3b. Để có đơn thức này, thì trong 4 nhân tử x, y, z, t có 1 nhân tử là b, 3 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với 3b trong tổng là $C_{4}^{1}$.
Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hã̃y cho biết trong tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau:
+) a4 +) a3b +) a2b2 +) ab3 +) b4
Khai triển \({\left( {x - 2} \right)^4}\).
Tương tự như HĐ 3, sau khi khai triển (a + b)5, ta thu được một tổng gồm 25 đơn thức có dạng x.y.z.t.u, trong đó mỗi kí hiệu x, y, z, t, u là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, z là a, còn y, t, u là b thì ta có đơn thức a.b.a.b.b, thu gọn là a2b3. Để có đơn thức này, thì trong 5 nhân tử x, y, x, t, u có 3 nhân tử là b, 2 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với a2b3 trong tổng là \(C_{5}^{3}\).
Lập luận tương tự như trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết, trong tổng nhận được nêu trên có bao nhiêu đơn thứ c đồng dạng với mổi đơn thức thu gọn sau:
+) a5 +) a4b +) a3b +) a2b3 +) ab4 +) b5
Khai triển \({\left( {3x - 2} \right)^5}\)
a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,05)4 để tính giá trị gần đúng của 1,054.
b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1,054 và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.
Khai triển các đa thức:
a) (x -3)4
b) (3x - 2y)4
c) (x+5)4 + (x - 5)4
d) (x - 2y)5
Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển của \({\left( {3x - 1} \right)^5}\)
Biểu diễn \((3+\sqrt{2})^{5}-(3-\sqrt{2})^{5}\) dưới dạng \(a+b\sqrt{2}\) với a, b là các số nguyên.
a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,02)5 để tính giá trị gần đúng của 1,025
b) Dùng máy tinh cầm tay tính giá trị của 1,025và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.
Số dân của một tình ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là r%.
a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là \(P=800\left ( 1+\frac{r}{100} \right )^{5}\) (nghìn người).
b) Với r = 1,5%, dùng hai số hạng đầu trong khai triển của (1 + 0,015)5 hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *