Mời các em học sinh tham khảo lý thuyết bài Các số đặc trưng đo độ phân tán đã được DapAnHay biên soạn dưới đây, cùng với phần tổng hợp kiến thức cơ bản cần nắm, đây sẽ tài liệu hữu ích cho các em học tốt môn Toán lớp 10.
Khoảng biến thiên, kí hiệu R, là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu. |
---|
Ý nghĩa: Khoảng biến thiê dùng để đo độ phân tán của mẫu số liệu: Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Nhận xét: Sử dụng khoảng biến thiên có ưu điểm là đơn giản, dễ tính toán song khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nahát và giá trị nhỏ nhất mà bỏ quá thông tin từ các giá trị khác. Do đó, khoảng biến thiên rất dễ bị bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.
Ví dụ: Điểm kiểm tra học kỉ môn Toán của các bạn Tổ 1, Tổ 2 lớp 10A được cho như sau:
Tổ 1: 7 8 8 9 8 8 8.
Tổ 2: 10 6 8 9 9 7 8 7 8.
a) Điểm kiểm tra trung bình của hai tổ có như nhau không?
b) Tính các khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu. Căn cứ trên chỉ số này, các bạn tổ nào học đồng đều hơn?
Giải
a) Điểm kiểm tra trung bình của hai tổ đều bằng 8.
b) Đối với Tổ 1: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao nhất tương ứng là 7; 9. Do đó khoảng biến thiên là: R1 = 9 - 7 = 2.
Đối với Tổ 2: Điểm kiểm tra thấp nhất, cao nhất tương ứng là 6; 10. Do đó khoảng biến thiên là: R2 = 10 - 6 = 4.
Do R2> R1 nên ta nói các bạn Tổ 1 học đều hơn các bạn Tổ 2.
Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là \({\Delta _Q}\), là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất, tức là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\) |
---|
Ý nghĩa: Khoảng tứ phân vị cũng là một sô đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Chú ý: Một số tài liệu gọi khoảng biến thiên là biên độ và khoảng tứ phân vị là độ trải giữa.
Ví dụ: Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống tại một rạp chiều phim trong 9 ngày:
7 8 22 20 15 18 19 13 11.
Tim khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.
Giải
Trước hết, ta sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:
7 8 11 13 15 18 19 20 22.
Mẫu số liệu gồm 9 giá trị nên trung vị là số ở vị trí chính giữa Q2 = 15.
Nửa số liệu bên trái là 7, 8, 11, 13 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 8, 11.
Do đó, Q1 = (8 + 11): 2= 9,5.
Nửa số liệu bên phải là 18, 19, 20, 22 gồm 4 giá trị, hai phản tử chính giữa là 19, 20.
Do đó, Q3 = (19 + 20) : 2= 19,5.
Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là \({\Delta _Q}\) = 19,5 - 9,5 = 10.
Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mẫu số liệu (bỏ qua thông tin của tắt cả các giá tị khác), còn khoảng tứ phân vị chỉ sử dụng thông tin của 50% số liệu chính giữa. Có một vài số đặc trưng khác đo độ phân tán sử dụng thông tin của tất cả các giá trị trong mẫu số liệu. Hai trong số đó là phương sai và độ lệch chuẩn.
Cụ thể là với mẫu số liệu \({x_1},{x_2},{x_3},...,{x_n}\) nếu gọi số trung bình là \(\overline x \) thì với mỗi giá trị x, độ lệch của nó so với giá trị trung binh là \({x_i} - \overline x \).
Phương sai là giá trị \({s^2} = \frac{{{{({x_1} - \overline x )}^2} + {{({x_2} - \overline x )}^2} + ... + {{({x_n} - \overline x )}^2}}}{n}\). Căn bậc hai của phương sai \(s = \sqrt {{s^2}} \), được gọi là độ lệch chuẩn. |
---|
Chú ý: Người ta còn sử dụng đại lượng để đo độ phân tán của mẫu số liệu: \({s^2} = \frac{{{{({x_1} - \bar x)}^2} + {{({x_2} - \bar x)}^2} + ... + {{({x_k} - \bar x)}^2}}}{{n - 1}}\)
Ý nghĩa: Nếu số liệu càng phân tán thì phương sai và độ lẹch chuẩn càng lớn.
Ví dụ: Mẫu số liệu sau đây cho biết sĩ số của 5 lớp khối 10 tại một trường Trung học:
43 45 46 41 40.
Tìm phương sai và độ lệch chuẳn cho mẫu số liệu này.
Giải
Số trung binh của mẫu số lệu là: \(\overline X = \frac{{43 + 45 + 46 + 41 + 40}}{5} = 43\)
Ta có bảng sau:
Mẫu số liệu gồm 5 giá trị nên n = 5. Do đó phương sai là: \({s^2} = \frac{{26}}{5} = 5,2\)
Độ lệch chuẩn là: \(s = \sqrt {5,2} \approx 2,28\)
Trong mẫu số liệu thống kê, có khi gặp những giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với đa số các giá trị khác. Những giá trị này được gọi là giá trị bất thường. Chúng xuất hiện trong mẫu số liệu có thể do nhằm lẫn hay sai sót nào đó. Ta có thể dùng biểu đồ hộp để phát hiện những giá tị bắt thường này.
Các giá trị lớn hơn \({Q_3} + 1,5.{\Delta _Q}\) hoặc bé hơn \({Q_3} - 1,5.{\Delta _Q}\) được xem là giá trị bất thường.
Ví dụ: Hàm lượng Natri (đơn vị mg) trong 100 g một số loại ngũ cốc được cho như sau:
0 340 70 140 200 180 210 150 100 130
140 180 190 160 290 50 220 180 200 210.
Tìm giá trị bất thường trong mẫu số liệu trên bằng cách sử dụng biểu đồ hộp.
Giải
Từ mẫu số liệu ta tính được Q1 = 135 và Q3= 205. Do đó, khoảng tứ phân vị là:
\({\Delta _Q} = 205 - 135 = 70\)
Biểu đồ hộp cho mẫu số liệu này là:
Ta có \({Q_1} - 1,5.{\Delta _Q}=30\) và \({Q_3} + 1,5.{\Delta _Q}=310\) nên trong mẫu số liệu có hai giá trị được xem là bắt thường là 340 mg (lớn hơn 310 mg) và 0 mg (bé hơn 30 mg).
Câu 1: Trong một tuần, nhiệt độ cao nhất trong ngày (đơn vị C) tại hai thành phố Hà Nội và Điện Biên được cho như sau:
Hà Nội: 23 25 28 28 32 33 35.
Điện Biên: 16 24 25 26 26 27 28.
a) Tính các khoảng biến thiên của mỗi mẫu số liệu và so sánh.
b) Em có nhận xét gì về sự ảnh hưởng của giá trị 16 đến khoảng biến thiên của mẫu số liệu về nhiệt độ cao nhất trong ngày tại Điện Biên?
c) Tính các tứ phân vị và hiệu \({Q_3} - {Q_1}\) cho mỗi mẫu số liệu. Có thể dùng hiệu này để đo độ phân tán của mẫu số liệu không?
Hướng dẫn giải
a)
Hà Nội:
Số lớn nhất là 35, số nhỏ nhất là 23
R=35-23=12
Điện Biên:
Số lớn nhất là 28, số nhỏ nhất là 16
R=28-16=12
Khoảng biến thiên về nhiệt độ của Hà Nội và Điện Biên bằng nhau.
b) Số 16 làm cho khoảng biến thiên về nhiệt độ tại Điện Biên lớn hơn.
c)
Hà Nội: 23 25 28 28 32 33 35.
\({Q_2} = 28\)
\({Q_1} = 25\)
\({Q_3} = 33\)
\({Q_3} - {Q_1} = 33 - 25 = 8\)
Điện Biên: 16 24 25 26 26 27 28.
\({Q_2} = 26\)
\({Q_1} = 24\)
\({Q_3} = 27\)
\({Q_3} - {Q_1} = 27 - 24 = 3\)
Có thể dùng hiệu này để đo độ phân tán.
Câu 2: Một mẫu số liệu có tử phân vị thứ nhất là 56 và tứ phân vị thứ ba là 84. Hãy kiểm tra xem trong hai giá trị 10 và 100 giá trị nào được xem là giá trị bất thường.
Hướng dẫn giải
Ta có \({Q_1} = 56;{Q_3} = 84\)
\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 84 - 56 = 28\)
\({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = 56 - 1,5.28 = 14\)
\({Q_3} + 1,5.{\Delta _Q} = 84 - 1,5.28 = 126\)
Ta thấy 10<14 nên 10 là giá trị bất thường
14<100<128 nên 100 không là giá trị bất thường.
Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:
- Tính được các số đặc trưng đo độ phân tán.
- Biết được ý nghĩa của các số đặc trưng đo độ phân tán.
- Phát hiện các giá tị bất thường sử dụng các công cụ toán học.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 5 Bài 14để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng số liệu sau:
Phương sai là:
Sản lượng vải thiều (tạ) thu hoạch được của 20 hộ gia đình trong một hợp tác xã được ghi ở bảng sau:
Tìm phương sai s2?
Có 100 học sinh tham dự kì thi HSG Toán (thang điểm 20 điểm) kết quả như sau:
Tính độ lệch chuẩn (kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân).
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 5 Bài 14để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Giải câu hỏi mở đầu trang 84 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 1 trang 84 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 1 trang 85 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 2 trang 85 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 2 trang 86 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 3 trang 87 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 4 trang 87 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 5.11 trang 88 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 5.12 trang 88 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 5.13 trang 88 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 5.14 trang 88 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 5.15 trang 88 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 5.16 trang 88 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng số liệu sau:
Phương sai là:
Sản lượng vải thiều (tạ) thu hoạch được của 20 hộ gia đình trong một hợp tác xã được ghi ở bảng sau:
Tìm phương sai s2?
Có 100 học sinh tham dự kì thi HSG Toán (thang điểm 20 điểm) kết quả như sau:
Tính độ lệch chuẩn (kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân).
Cho dãy số liệu thống kê: 5; 6; 7; 8; 9. Phương sai của dãy số liệu thống kê trên là bao nhiêu?
Tuổi các học viên của một lớp học Tiếng Anh tại một trung tâm được ghi lại ở bảng tần số ghép lớp như sau:
Tiền công nhật của 65 nhân viên trong xí nghiệp tư nhân được thông kê như sau(đv:ngàn đồng)
Phương sai là:
Sau một tháng gieo trồng một giống hoa, người ta thu được số liệu sau về chiều cao ( đv:mm) của các cây hoa được trồng:
Phương sai là:
Chọn phát biểu đúng:
Cho dãy số liệu thống kê ( đơn vị là kg)
1,2,3,4,5
Dãy (1) có số trung bình cộng \(\bar x\)=3 kg và độ lệch chuẩn S = \(\sqrt 2 \) kg
Cộng thêm 4 kg và mỗi số liệu thống kê của dãy (1), ta được dãy số liệu của thống kê ( đã hiệu chỉnh) sau đây (kg)
5,6,7,8,9
Khi đó ta có độ lệch chuẩn dãy (2) là
Bảng phân bố sau đây cho biết chiều cao (tính bằng cm) của 500 học sinh trong một trường THCS
Tính độ lệch chuẩn.
Dưới đây là điểm trung bình môn học kì I của hai bạn An và Bình
| Toán | Vật lí | Hóa học | Ngữ văn | Lịch sử | Địa lí | Tin học | Tiếng Anh |
An | 9,2 | 8,7 | 9,5 | 6,8 | 8,0 | 8,0 | 7,3 | 6,5 |
Bình | 8,2 | 8,1 | 8,0 | 7,8 | 8,3 | 7,9 | 7,6 | 8,1 |
Điểm trung bình môn học kì của An và Bình đều là 8,0 nhưng rõ ràng Bình “học đều” hơn An. Có thể dùng những số đặc trưng nào để đo mức độ “học đều”?
Một cổ động viên của câu lạc bộ Everton, Anh đã thống kê điểm số mà hai câu lạc bộ Leicester City và Everton đạt được trong năm mùa giải Ngoại hạng Anh gần đây, từ mùa giải 2014 – 2015 đến mùa giải 2018 - 2019 như sau:
Leicester City: 41 81 44 47 52
Everton: 47 47 61 49 54
Cổ động viên đó cho rằng, Everton thi đấu ổn định hơn Leicester City. Em có đồng ý với nhận định này không? Vì sao?
Mẫu số liệu sau cho biết chiều cao (đơn vị cm) của các bạn trong tổ:
163 159 172 167 165 168 170 161
Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu này.
Trong một tuần, nhiệt độ cao nhất trong ngày (đơn vị C) tại hai thành phố Hà Nội và Điện Biên được cho như sau:
Hà Nội: 23 25 28 28 32 33 35.
Điện Biên: 16 24 25 26 26 27 28.
a) Tính các khoảng biến thiên của mỗi mẫu số liệu và so sánh.
b) Em có nhận xét gì về sự ảnh hưởng của giá trị 16 đến khoảng biến thiên của mẫu số liệu về nhiệt độ cao nhất trong ngày tại Điện Biên?
c) Tính các tứ phân vị và hiệu \({Q_3} - {Q_1}\) cho mỗi mẫu số liệu. Có thể dùng hiệu này để đo độ phân tán của mẫu số liệu không?
Mẫu số liệu sau đây cho biết số bài hát ở mỗi album trong bộ sưu tập của An:
12 7 10 9 12 9 10 11 10 14.
Hãy tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.
Dùng đồng hồ đo thời gian có độ chia nhỏ nhất đến 0,001 giây để đo 7 lần thời gian rơi tự do của một vật bắt đầu từ điểm A \(\left( {{v_A} = 0} \right)\) đến điểm B. Kết quả đo như sau:
0,398 0,399 0,408 0,410 0,406 0,405 0,402.
(Theo Bài tập Vật lý 10, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2018)
Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này. Qua các đại lượng này, em có nhận xét gì về độ chính xác của phép đo trên?
Một mẫu số liệu có tử phân vị thứ nhất là 56 và tứ phân vị thứ ba là 84. Hãy kiểm tra xem trong hai giá trị 10 và 100 giá trị nào được xem là giá trị bất thường.
Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?
(1) Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch chuẩn càng lớn.
(2) Khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất, bỏ qua thông tin của các giá trị còn lại.
(3) Khoảng tứ phân vị có sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất.
(4) Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của nửa dưới mẫu số liệu đã sắp xếp.
(5) Các số đo độ phân tán đều không âm.
Cho hai biểu đồ chấm điểm biểu diễn hai mẫu số liệu A, B như sau:
Không tính toán, hãy cho biết:
a) Hai mẫu số liệu này có cùng khoảng biến thiên và số trung bình không?
b) Mẫu số liệu nào có phương sai lớn hơn?
Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán (khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, độ lệch chuẩn) sẽ thay đổi như thế nào nếu:
a) Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2.
Từ mẫu số liệu về thuế thuốc lá của 11 thành phố tại một quốc gia, người ta tính được:
Giá trị nhỏ nhất bằng 2,5;\({Q_1} = 36\), \({Q_2} = 60\),\({Q_3} = 100\); giá trị lớn nhất bằng 205.
a) Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là bao nhiêu?
b) Chỉ ra hai giá trị sao cho có 50% giá trị của mẫu số liệu nằm giữa hai giá trị này.
c) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.
Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 10 trẻ sơ sinh (đơn vị kg):
2,977 3,155 3,920 3,412 4,236
2,593 3,270 3,813 4,042 3,387
Hãy tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.
Tỉ lệ thất nghiệp ở một số quốc gia vào năm 2007 (đơn vị %) được cho như sau:
7,8 3,2 7,7 8,7 8,6 8,4 7,2 3,6
5,0 4,4 6,7 7,0 4,5 6,0 5,4
Hãy tìm các giá trị bất thường (nếu có) của mẫu số liệu trên.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *