Mời các em học sinh tham khảo lý thuyết bài Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã được DapAnHay biên soạn dưới đây, cùng với phần tổng hợp kiến thức cơ bản cần nắm, đây sẽ tài liệu hữu ích cho các em học tốt môn Toán lớp 10.
- Hệ bất phương trình bậc nhát hai ần là một hệ gồm hai hay nhiều bắt phương trình bậc nhất hai ẩn. - Cặp số (x0; y0) là nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi (x0; y0) đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ đó. |
---|
Ví dụ: Cho hệ bắt phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
y \ge 0\\
x + y \le 150
\end{array} \right.\)
a) Hệ trên có phải là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn không?
b) Kiểm tra xem cặp số (x; y) = (0; 0) có phải là một nghiệm của hệ bất phương trình trên không.
Giải
a) Hệ bắt phương trình đã cho là một hệ bắt phương trinh bậc nhất hai ẩn x và y.
b) Cặp số (x, y) = (0; 0) thoả mãn cả ba bắt phương trình của hệ nên nó là một nghiệm của hệ bắt phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho.
* Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẳn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó. * Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. |
---|
Ví dụ: Biểu diến miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ: \(\left\{ \begin{array}{l}
7x + 4y \le 2400\\
x + y \le 100\\
x \ge 0
\end{array} \right.\)
Giải
Bước 1: Xác định miền nghiệm D1, của bắt phương trình \(7x + 4y \le 2400\) và gạch bỏ miền còn lại.
+ Vẽ đường thẳng d: 7x + 4y =2 400.
+ Vị 7.0 + 4.0 = 0 < 2 400 nên toạ độ điểm O(0; 0) thoả mãn bắt phương trình \(7x + 4y \le 2400\)
Do đó, miền nghiệm D1, của bắt phương trình \(7x + 4y \le 2400\) là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc toạ độ O.
Bước 2: Tương tự, miền nghiệm D2, của bất phương trình \(x + y \le 100\) là nửa mặt phẳng bờ d' chứa gốc toạ độ O.
Bước 3: Tương tự, miền nghiệm D3, của bất phương trình \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0).
Khi đó, miền không bị gạch chính là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch trong sau
Cách xác định miền nghiệm của một hệ bắt phương trình bậc nhất hai ẩn: - Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại. - Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. |
---|
Nhận xét: Tổng quát, người ta chứng minh được rằng giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) của biểu thức F{x, y) = ax + by, với (x, y) là toạ độ các điểm thuộc miễn đa giác A1A2...An, tức là các điểm nằm bên trong hay nằm trên các cạnh của đa giác, đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.
Ví dụ:
Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hoà điều hoà hai chiều và điều hoà một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỷ đồng.
| Điều hòa hai chiều | Điều hòa một chiều |
Giá mua vào | 20 triệu đồng/1 máy | 10 triệu đồng/1 máy |
Lợi nhuận dự kiến | 3,5 triệu đồng/1 máy | 2 triệu đồng/1 máy |
Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại. Nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy đề lợi nhuận thu được là lớn nhất?
Giải
Giả sử cửa hàng cần nhập số máy điều hoà hai chiều là x và số máy điều hoà một chiều là y. Khi đó ta có \(x \ge 0,y \ge 0\).
Vì nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên \(x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} \le 100.\)
Số tiên để nhập hai loại máy điều hoà với số lượng như trên là: 20x + 10y (triệu đồng).
Số tiền tối đa để đầu tư cho hai loại máy là 1,2 tỉ đồng, nên ta có \(20x + 10y \le 1200\) hay \(2x + y \le 120\)
Từ đó ta thu được hệ bất phương trình bậc nhất hai ần sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 0\\
y \ge 0\\
x + y \le 100\\
2x + y \le 120
\end{array} \right.\)
Lợi nhuận thu được khi bán x máy điều hoà hai chiều và y máy điều hoà một chiều là F(x;y) = 3,5x + 2y.
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x, y) khi (x, y) thoả mãn hệ bắt phương trình trên.
Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với toạ độ các đỉnh O(0:0), A(0;100), B(20;80) và C(60;0)
Bước 2: Tính giá trị của biểu thức F tại các đỉnh của tứ giác này: F (0;0) = 0, F (0;100) = 200, F (20,80) = 230, F (60;0) = 210.
Bước 3: So sánh các giá trị thu được của F ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là F (20:80) = 230.
Vậy cửa hàng cần đầu tư kinh doanh 20 máy điều hoà hai chiều và 80 máy điều hoà một chiều để lợi nhuận thu được là lớn nhất.
Câu 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y > 0\\x + y \le 100\\2x + y < 120\end{array} \right.\)
Hướng dẫn giải
Bước 1: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x \ge 0\)
Miền nghiệm của bất phương trình \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).
Bước 2: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(y > 0\)
Miền nghiệm của bất phương trình \(y > 0\) là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) không kể trục Ox.
Bước 3: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 100\)
+ Vẽ đường thẳng d: x+y=100
+ Vì 0+0=0
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình \(x + y \le 100\) là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.
Bước 4: Xác định miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y < 120\)
Tương tự miền nghiệm của bất phương trình \(2x + y < 120\) là nửa mặt phẳng bờ d’ chúa gốc tọa độ O. (không kể đường thẳng d’).
Khi đó miền không bị gạch là giao của các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Vậy miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho (Không kể đoạn thẳng OC và CD).
Câu 2: Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B, giá mỗi chiếc lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng. Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy B mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng mỗi máy. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại A là x và số máy tính loại B là y.
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương
trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi F (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B. Hãy biểu diễn F theo x và y.
c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó đề lợi nhuận thu được là lớn nhất.
Hướng dẫn giải
a)
Bước 1: Ta có:
| Loại A | Loại B |
Giá mua vào | 10 triệu đồng/1 máy | 20 triệu đồng/1 máy |
Lợi nhuận | 2,5 triệu đồng/1 máy | 4 triệu đồng/1 máy |
Bước 2: Lập hệ bất phương trình
Vì số lượng máy là số tự nhiên nên ta có \(x \ge 0;y \ge 0\)
Vốn nhập vào x máy loại A và y máy loại B là \(10x + 20y\)(triệu đồng)
4 tỉ đồng=4000 (triệu đồng)
Vì số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng nên ta có bất phương trình
\(10x + 20y \le 4000\) \( \Leftrightarrow x + 2y \le 400\)
Vì tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy nên ta có \(x + y \le 250\).
Vậy ta có hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + 2y \le 400\\x + y \le 250\end{array} \right.\)
Bước 3: Xác định miền nghiệm
Miền nghiệm là tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh này là O(0;0), A(250;0), B(100;150), C(0;200)
b) Lợi nhuận hàng tháng là F(x;y)=2,5x+4y(triệu đồng)
c) Ta cần tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) khi (x;y) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + 2y \le 400\\x + y \le 250\end{array} \right.\)
Ta có F(0;0)=0, F(250;0)=2,5.250+4.0=625
F(100;150)=2,5.100+4.150=850
F(0;200)=2,5.0+4.200=800
Giá trị lớn nhất là F(100;150)=850.
Vậy cửa hàng cần đầu tư kinh doanh 100 máy A và 150 máy B.
Qua bài giảng Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn này giúp các em nắm được các nội dung như sau:
- Hiểu được khái niệm BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn; tập nghiệm của BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn.
- Biết xác định miền nghiệm của BPT, hệ BPT bậc nhất hai ẩn.
- Áp dụng được vào bài toán thực tế.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 2 Bài 4để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
2{\rm{x}} - \frac{3}{2}y \ge 1\\
4{\rm{x}} - 3y \le 2
\end{array} \right.\) có tập nghiệm S. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
Cho hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
2{\rm{x + 3y < 5(1)}}\\
{\rm{x + }}\frac{3}{2}y < 5(2)
\end{array} \right.\). Gọi S1 là tập nghiệm của bất phương trình (1), S2 là tập nghiệm của bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì
Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D ?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 2 Bài 4sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 10 tập 1
Hoạt động 1 trang 26 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 1 trang 27 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 2 trang 27 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 2 trang 28 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 3 trang 28 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Vận dụng trang 30 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 2.4 trang 30 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 2.5 trang 30 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 2.6 trang 30 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
2{\rm{x}} - \frac{3}{2}y \ge 1\\
4{\rm{x}} - 3y \le 2
\end{array} \right.\) có tập nghiệm S. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
Cho hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
2{\rm{x + 3y < 5(1)}}\\
{\rm{x + }}\frac{3}{2}y < 5(2)
\end{array} \right.\). Gọi S1 là tập nghiệm của bất phương trình (1), S2 là tập nghiệm của bất phương trình (2) và S là tập nghiệm của hệ thì
Phần không gạch chéo ở hình sau đây là biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ A, B, C, D ?
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x - 1 \le 0}\\
{ - 3x + 5 \le 0}
\end{array}} \right.\) chứa điểm nào sau đây?
Giá trị nhỏ nhất Fmin của biểu thức F(x;y) = 4x + 3y trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ \begin{array}{l} 0 \le x \le 10\\ 0 \le y \le 9\\ 2x + y \ge 14\\ 2x + 5y \ge 30 \end{array} \right.\)
Giá trị nhỏ nhất của biết thức F = y - x trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ \begin{array}{l} y - 2x \le 2\\ 2y - x \ge 4\\ x + y \le 5 \end{array} \right.\)
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y < - 3\\2y \ge - 4\end{array} \right.\). Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ đã cho?
Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây (không chứa biên), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{\begin{array}{l} x-2 y<0 \\ x+3 y>-2 \end{array}\right.\) không chứa điểm nào sau đây?
Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Tính số tiền vốn mà cửa hàng phải bỏ ra để nhập hai loại máy điều hoà theo x và y.
a) Do nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên x và y cần thoả mãn điều kiện gì?
b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên x và y phải
thoả mãn điều kiện gì?
c) Tính số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu được theo x và y.
Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hoà loại hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Từ HĐ1, viết hệ bất phương trình hai ẩn x, y và chỉ ra một nghiệm của hệ này.
Cho đường thẳng d: x+y=150 trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Đường thẳng này cắt hai trục tọa độ Ox và Oy tại hai điểm A và B.
a) Xác định miền nghiệm \({D_1},{D_2},{D_3}\) của các bất phương trình tương ứng \(x \ge 0;y \ge 0\) và \(x + y \le 150\).
b) Miền tam giác OAB (H.2.5) có phải là giao điểm của các miền \({D_1},{D_2}\) và \({D_3}\) hay không?
c) Lấy một điểm trong tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;2)) hoặc một điểm trên cạnh nào đó của tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;149)) và kiểm tra xem tọa độ của các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình sau hay không:
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 150\end{array} \right.\)
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y > 0\\x + y \le 100\\2x + y < 120\end{array} \right.\)
Xét biểu thức F(x, y) = 2x + 3y với (x; y) thuộc miền tam giác OAB ở HĐ2. Toạ độ ba đình là O(0, 0), A(150, 0) và B(0; 150) (H.2.5).
a) Tính giá trị của biểu thức F(x; y) tại mỗi đỉnh O, A và B.
b) Nêu nhận xét về dấu của hoành độ x và tung độ y của điểm (x; y) nằm trong miền tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền tam giác OAB.
c) Nêu nhận xét về tổng x + y của điểm (X; y) nằm trong miền tam giác OAB. Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của F(x, y) trên miền tam giác OAB.
Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B, giá mỗi chiếc lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng. Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy B mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng mỗi máy. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại A là x và số máy tính loại B là y.
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương
trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi F (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B. Hãy biểu diễn F theo x và y.
c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó đề lợi nhuận thu được là lớn nhất.
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
a) \(\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}x + {y^2} < 0\\y - x > 1\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z < 0\\y < 0\end{array} \right.\)
d) \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + y < {3^2}\\{4^2}x + 3y < 1\end{array} \right.\)
Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:
a) \(\left\{ \begin{array}{l}y - x < - 1\\x > 0\\y < 0\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + y \le 4\end{array} \right.\)
c) \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x + y > 5\\x - y > 0\end{array} \right.\)
Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilôgam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là 1,6kg thịt bò và 1,1kg thịt lợn; giá tiền 1kg thịt bò là 250 nghìn đồng; 1kg thịt lợn là 160 nghìn đồng. Giả sử gia đình đó mua x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn.
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi F (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho x kilôgam thịt bò và y kilôgam thịt lợn. Hãy biểu diễn F theo x và y.
c) Tìm số kilôgam thịt mỗi loại mà gia đình cần mua để chi phí là ít nhất.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *