Để học tốt bài Tích của một vectơ với một số, DapAnHay xin mời các em học sinh cùng tham khảo bài giảng dưới đây bao gồm các kiến thức được trình bày cụ thể và chi tiết, cùng với các dạng bài tập minh họa giúp các em dễ dàng nắm vững được trọng tâm bài học.
Tích của một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) với một số thực k > 0 là một vectơ, ki hiệu là \(k\overrightarrow a \), cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a\) và có độ dài bằng \(k\left| {\overrightarrow a } \right|\). |
---|
Tích của một vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) với một số thực k <0 là một vectơ, ki hiệu là \(k\overrightarrow a \), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a\) và có độ dài bằng \(-k\left| {\overrightarrow a } \right|\). |
---|
Chú ý: Ta quy ước \(k\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \) nếu \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 \) hoặc k = 0.
Trong hình cho sau, hai trung tuyến AM và BN của tam giác ABC cắt nhau tại G.
Ta có \(\overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GM} ,\overrightarrow {MN} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \)
Nhận xét: Vectơ \(k\overrightarrow a \) có độ dài bằng \(\left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\) và cùng hướng với \(\overrightarrow a \) nếu \(k \ge 0\), ngược hướng với \(\overrightarrow a \) nếu \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \) và k < 0.
Ví dụ: Chứng minh rằng hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) (\(\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \)) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k để \(\overrightarrow a = k\overrightarrow b \).
Giải
Thật vậy, nếu \(\overrightarrow a = k\overrightarrow b \) thi \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương. Ngược lại, giả sử \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương.
Ta lấy \(k = \frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}\) nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng và lấy \(k = \frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}\) nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng.
Khi đó \(\overrightarrow a = k\overrightarrow b \).
Với hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b\) và hai số thực k, t, ta luôn có: \(\begin{array}{l} |
---|
Nhận xét:
- Điểm I là trung của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)
- Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
Chú ý: Cho hai vectơ không cùng phương \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) (Hình bên dưới). Khi đó, mọi vectơ \(\overrightarrow u \) đều biểu thị (phân tích) được một cách duy nhất theo hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) nghĩa là có duy nhất cặp số (x;y) sao cho \(\overrightarrow u = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b \).
Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OI} \)
Giải
Vì I là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)
Do đó \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IB} } \right) = 2\overrightarrow {OI} + \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) = 2\overrightarrow {OI} \)
Câu 1: Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số \(0;\;1;\;\sqrt 2 ;\; - \sqrt 2 \). Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vecto \(\overrightarrow {OM} ,\;\overrightarrow {ON} \) với vecto \(\overrightarrow a = \overrightarrow {OA} \). Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \).
Hướng dẫn giải
Dễ thấy:
Vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \)có cùng giá nên chúng cùng phương.
Mà vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \)cùng nằm trên tia OM nên chúng cùng chiều
Vậy vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \)cùng hướng.
Ngoài ra, \(\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = OM = \sqrt 2 \) và \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = OA = 1\)
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt 2 .\left| {\overrightarrow {OA} } \right|\)
Ta kết luận \(\overrightarrow {OM} = \sqrt 2 .\overrightarrow {OA} \).
Câu 2: Hãy chỉ ra hai vecto \(3\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)\) và \(3\overrightarrow u + 3\overrightarrow v \). Từ đó, nêu mối quan hệ giữa \(3\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)\) và \(3\overrightarrow u + 3\overrightarrow v \)
Hướng dẫn giải
Kí hiệu O, E, F là các điểm như trên hình vẽ.
Dễ thấy: tứ giác OEMF là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OF} = \overrightarrow {OM} \) hay \(\overrightarrow v + \overrightarrow u = \overrightarrow {OM} \)
Và \(\overrightarrow {OC} = 3.\overrightarrow {OM} \Rightarrow 3\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow u } \right) = 3.\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {OC} \)
Mặt khác: \(\overrightarrow {OA} = 3.\overrightarrow {OF} = 3\;\overrightarrow u ;\;\overrightarrow {OB} = 3.\overrightarrow {OE} = 3\;\overrightarrow v \)
Và \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} \) hay \(3\;\overrightarrow v + 3\;\overrightarrow u = \overrightarrow {OC} \)
\( \Rightarrow 3\left( {\overrightarrow v + \overrightarrow u } \right) = 3\;\overrightarrow v + 3\;\overrightarrow u \)
Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:
- Nêu được định nghĩa và tính chất của tích vectơ với một số.
- Nêu được tính chất trung điểm của đoạn thẳng và tính chất trọng tâm của tam giác.
- Xác định được vectơ khi cho trước số thực k và vectơ .
- Vận dụng được tính chất trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác để giải bài toán đơn giản.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 4 Bài 9để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Chọn phát biểu sai?
Cho vectơ \(\vec b \ne \vec 0,\vec a = - 2\vec b,\vec c = \vec a + \vec b\). Khẳng định nào sau đây sai?
Cho tam giác ABC với trung tuyến AM và trọng tâm G. Khi đó \(\overrightarrow {GA} = \)?
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 4 Bài 9để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 55 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Câu hỏi trang 55 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 2 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Câu hỏi trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 1 trang 56 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 3 trang 57 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 4 trang 57 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 2 trang 57 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 3 trang 57 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 4.11 trang 50 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 4.12 trang 50 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 4.13 trang 50 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 4.14 trang 50 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 4.15 trang 59 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Chọn phát biểu sai?
Cho vectơ \(\vec b \ne \vec 0,\vec a = - 2\vec b,\vec c = \vec a + \vec b\). Khẳng định nào sau đây sai?
Cho tam giác ABC với trung tuyến AM và trọng tâm G. Khi đó \(\overrightarrow {GA} = \)?
Cho tam giác ABC có trọng tâm G và trung tuyến AM. Khẳng định nào sau đây là sai?
Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ bên:
Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây đúng?
Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm G và G’. Đẳng thức nào sau đây là sai?
Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng?
Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì đẳng thức nào sau đây đúng?
Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác. Khẳng định nào sau đây đúng?
Cho vecto \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a \). Hãy xác định điểm C sao cho \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow a \)
a) Tìm mối quan hệ giữa \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow a + \overrightarrow a \)
b) Vecto \(\overrightarrow a + \overrightarrow a \) có mối quan hệ như thế nào về hướng và độ dài đối với vecto \(\overrightarrow a \)
\(1\;\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) có bằng nhau hay không?
Trên một trục số, gọi O, A, M, N tương ứng biểu thị các số \(0;\;1;\;\sqrt 2 ;\; - \sqrt 2 \). Hãy nêu mối quan hệ về hướng và độ dài của mỗi vecto \(\overrightarrow {OM} ,\;\overrightarrow {ON} \) với vecto \(\overrightarrow a = \overrightarrow {OA} \). Viết đẳng thức thể hiện mối quan hệ giữa hai vecto \(\overrightarrow {OM} \) và \(\overrightarrow {OA} \).
\( - \;\overrightarrow a \) và \( - 1\;\overrightarrow a \) có mối quan hệ gì?
Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B. Những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để \(\overrightarrow {AM} = t.\overrightarrow {AB} \)
b) Với điểm M bất kì, ta luôn có \(\overrightarrow {AM} = \frac{{AM}}{{AB}}.\overrightarrow {AB} \)
c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số \(t \le 0\) để \(\overrightarrow {AM} = t.\overrightarrow {AB} \)
Với \(\overrightarrow u \ne \overrightarrow 0 \) và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Hai vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\) và \(\left( {kt} \right)\overrightarrow u \) có cùng độ dài bằng \(\left| {kt} \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|\)
b) Nếu \(kt \ge 0\) thì cả hai vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\), \(\left( {kt} \right)\overrightarrow u \) cùng hướng với \(\overrightarrow u \)
c) Nếu \(kt < 0\) thì cả hai vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\), \(\left( {kt} \right)\overrightarrow u \) ngược hướng với \(\overrightarrow u \)
d) Hai vecto \(k\left( {t\overrightarrow u } \right)\) và \(\left( {kt} \right)\overrightarrow u \) bằng nhau.
Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vecto \(3\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)\) và \(3\overrightarrow u + 3\overrightarrow v \). Từ đó, nêu mối quan hệ giữa \(3\left( {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \right)\) và \(3\overrightarrow u + 3\overrightarrow v \)
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm O tùy ý, ta có
\(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \).
Trong hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) theo hai vecto \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \), tức là tìm các số \(x,y,z,t\) để \(\overrightarrow u = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b ,\;\overrightarrow v = t\overrightarrow a + z\overrightarrow b .\).
Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hãy biểu thị \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \).
Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {MN} = \;\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} .\)
Cho hai điểm phân biệt A và B.
a) Hãy xác định điểm K sao cho \(\overrightarrow {KA} + 2\overrightarrow {KB} = \overrightarrow 0 \).
b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OK} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow {OB} .\)
Cho tam giác ABC
a) Hãy xác định điểm M để \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)
b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} = 4\overrightarrow {OM} \)
Chất điểm A chịu tác động của ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\;\overrightarrow {{F_2}} ,\;\overrightarrow {{F_3}} \) như hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là \(\overrightarrow {{F_1}} + \;\overrightarrow {{F_2}} + \;\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \)). Tính độ lớn của các lực \(\overrightarrow {{F_2}} ,\;\overrightarrow {{F_3}} \) biết \(\overrightarrow {{F_1}} \) có độ lớn là 20N.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *