Dưới đây là lý thuyết và bài tập minh họa về Hệ thức lượng trong tam giác Toán 10 Kết nối tri thức đã được DapAnHay biên soạn ngắn gọn, đầy đủ, dễ hiểu giúp các em dễ dàng nắm được nội dung chính của bài.
Định lí côsin. Trong tam giác ABC: \(\begin{array}{l} |
---|
Ví dụ: Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {120^0}\) và AB = 5, AC = 8. Tính độ dài cạnh BC.
Giải
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:
\(\begin{array}{l}
B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.cos{120^0}\\
= {5^2} + {8^2} - 2.5.8.\left( { - \frac{1}{2} = 129} \right)
\end{array}\)
Vậy \(BC = \sqrt {129} \)
Định lí sin. Trong tam giác ABC: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\) |
---|
Ví dụ: Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {135^0},\widehat C = {15^0}\) và b = 12. Tính a, c, R và số đo góc B.
Giải
Ta có: \(\widehat B = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) = {180^0} - \left( {{{135}^0} + {{15}^0}} \right) = {30^0}\)
Áp dụng định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin {{135}^0}}} = \frac{{12}}{{\sin {{30}^0}}} = \frac{c}{{\sin {{15}^0}}} = 2R\)
Suy ra:
\(\begin{array}{l}
a = \frac{{12}}{{\sin {{30}^0}}}.\sin {135^0} = 12\sqrt {12} ;\\
c = \frac{{12}}{{\sin {{30}^0}}}.\sin {15^0} = 24\sin {15^0}\left( { \approx 6,21} \right);\\
R = \frac{{12}}{{2\sin {{30}^0}}} = 12
\end{array}\)
Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một sô yêu tô của tam giác đó được gọi là giải tam giác.
Ví dụ: Giải tam giác ABC, biết \(c = 14,\widehat A = {60^0},\widehat B = {40^0}\).
Giải
Ta có: \(\widehat C = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {80^0}\)
Áp dụng định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin {{60}^0}}} = \frac{b}{{\sin {{40}^0}}} = \frac{{14}}{{\sin {{80}^0}}}\)
Suy ra: \(a = \frac{{14\sin {{60}^0}}}{{\sin {{80}^0}}} \approx 12,31;b = \frac{{14\sin {{40}^0}}}{{\sin {{80}^0}}} \approx 9,14\)
Chú ý: Áp dụng các định li côsin, sin và sử dụng máy tính cằm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:
Công thức tính diện tích tam giác ABC: \(\begin{array}{l} |
---|
Ví dụ: Cho tam giác ABC có a = 13, b = 14, c = 15.
a) Tính sinA.
b) Tính diện tích S bằng hai cách khác nhau.
Giải
a) Áp dụng định lí côsin, ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{14}^2} + 15 - {{13}^2}}}{{420}} = 0,6\)
Do đó \(\sin A = \sqrt {1 - co{s^2}A} = 0,8\)
b) Ta có \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = 84\).
Áp dụng công thức Heron, ta cũng có thể tính S theo cách thứ hai như sau:
Tam giác ABC có nửa chu vi là: \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{13 + 14 + 15}}{2} = 21\)
Khi đó \({S_{ABC}} = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {21.(21 - 13).(21 - 14).(21 - 15)} = \sqrt {21.8.7.6} = 84\)
Câu 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và \(\widehat A = {45^o}\). Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC
\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - \,2b\,c.\cos A\quad (1)\\{b^2} = {a^2} + {c^2} - \,2a\,c.\cos B\quad (2)\end{array}\)
(trong đó: AB = c, BC = a và AC = b)
Ta được: \(B{C^2} = {a^2} = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.\cos {45^o} = 89 - 40\sqrt 2 \)\( \Rightarrow BC \approx 5,7\)
Từ (2) suy ra \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}\,}}{{2a\,c}}\);
Mà: a = BC =5,7; b =AC = 8; c =AB =5.
\( \Rightarrow \cos B \approx \frac{{ - 217}}{{1900}} \Rightarrow \widehat B \approx {97^o} \Rightarrow \widehat C \approx {38^o}\)
Vậy tam giác ABC có BC = 5,7, \(\widehat B = {97^o},\widehat C = {38^o}\)
Câu 2:
Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và \(\widehat B = {80^o}\). Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh còn lại của tam giác.
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
\(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin C = \frac{{c.\sin B}}{b} = \frac{{5.\sin {{80}^o}}}{8} \approx 0,6155\\ \Leftrightarrow \widehat C \approx {38^o}\end{array}\)
Lại có: \(\widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {80^o} - {38^o} = {62^o}\)
Theo định lí sin, ta suy ra \(a = \sin A.\dfrac{b}{{\sin B}} = \sin {62^o}\dfrac{8}{{\sin {{80}^o}}} \approx 7,17\)
Và \(2R = \dfrac{b}{{\sin B}} \Rightarrow R = \dfrac{b}{{2\sin B}} = \dfrac{8}{{2\sin {{80}^o}}} \approx 4,062.\)
Vậy tam giác ABC có \(\widehat A = {62^o}\); \(\widehat C \approx {38^o}\); \(a \approx 7,17\) và \(R \approx 4,062.\)
Câu 3: Tính diện tích tam giác ABC có \(b = 2,\;\widehat B = {30^o},\;\widehat C = {45^o}\).
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
\(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)
\( \Rightarrow c = \sin C.\frac{b}{{\sin B}} = \sin {45^o}.\frac{2}{{\sin {{30}^o}}} = 2\sqrt 2 \)
Lại có: \(\;\widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {30^o} - {45^o} = {105^o}\)
Do đó diện tích tích S của tam giác ABC là:
\(S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}.2.2\sqrt 2 .\sin {105^o} = 1 + \sqrt 3 .\)
Vậy diện tích tam giác ABC là \(1 + \sqrt 3 \).
Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:
- Định lý Côsin trong tam giác, cách chứng minh định lý côsin trong tam giác.
- Nắm được cách tìm số đo các góc của tam giác khi biết độ dài 3 cạnh, nắm công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 3 Bài 6để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tam giác ABC có \(A B=2, A C=1 \text { và }\hat A=60^{\circ}\) . Tính độ dài cạnh BC .
Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3 , cạnh AB = 9 và \(\widehat {ACB} = {60^0}\) . Tính độ dài cạnh cạnh BC .
Tam giác ABC có \(A B=\sqrt{2}, A C=\sqrt{3} \text { và } \hat{C}=45^{\circ}\). Tính độ dài cạnh BC .
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 3 Bài 6để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 38 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 2 trang 38 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Câu hỏi trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Khám phá trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 1 trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Trải nghiệm trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Vận dụng 1 trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 3 trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 2 trang 40 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 3 trang 40 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Vận dụng trang 40 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 4 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 5 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 4 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Thảo luận trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Vận dụng 3 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 3.5 trang 42 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 3.6 trang 42 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 3.7 trang 42 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 3.8 trang 42 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 3.9 trang 43 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 3.10 trang 43 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 3.11 trang 43 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Tam giác ABC có \(A B=2, A C=1 \text { và }\hat A=60^{\circ}\) . Tính độ dài cạnh BC .
Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3 , cạnh AB = 9 và \(\widehat {ACB} = {60^0}\) . Tính độ dài cạnh cạnh BC .
Tam giác ABC có \(A B=\sqrt{2}, A C=\sqrt{3} \text { và } \hat{C}=45^{\circ}\). Tính độ dài cạnh BC .
Tam giác ABC có \(A B C \text { со } A=60^{\circ}, A C=10, A B=6\). Tính cạnh BC
Cho tam giác ABC có \(A=(10 ; 5), B=(3 ; 2) \text { và } C=(6 ;-5)\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho góc \(\widehat {x O y}=30^{\circ}\) . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB =1. Khi OB có độ dài lớn nhất thì độ dài của đoạn OA bằng:
Tam giác MPQ vuông tại P . Trên cạnh MQ lấy hai điểm E F , sao cho các góc \(\begin{equation}\widehat{M P E}, \widehat{E P F}, \widehat{F P Q}\end{equation}\) bằng nhau. Đặt \(\begin{equation}M P=q, P Q=m, P E=x, P F=y\end{equation}\). Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?
Tam giác ABC có \(A B=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}, B C=\sqrt{3}, C A=\sqrt{2}\) . Gọi D là chân đường phân giác trong góc A . Khi đó góc ADB bằng bao nhiêu độ?
Tam giác ABC có \(A B=4, B C=6, A C=2 \sqrt{7}\) . Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC=2 MB . Tính độ dài cạnh AM.
Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1 cm và có \(\widehat {B A D}=60^{\circ}\) . Tính độ dài cạnh AC .
Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20km/h. Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc và đi tiếp.
a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1km trên thực tế ứng với 1 cm trên bản vẽ).
b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilomet (số đo gần đúng).
c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hướng đông nam) thì có thể dùng định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?
Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính a theo b,c và giá trị lượng giác của góc A
a) Tính \({a^2}\) theo \(B{D^2}\) và \(C{D^2}\)
b) Tính \({a^2}\) theo b, c và DA.
c) Tính DA theo c và \(\cos A\).
d) Chứng minh \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\;\cos A.\)
Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biệt của định lí cosin hay không?
Từ định lí cosin hãy viết các công thức tính cos A, cos B, cos C theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC.
Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và \(\widehat A = {45^o}\). Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.
Vẽ một tam giác ABC, sau đó đo độ dài các cạnh, số đo góc A và kiểm tra tính đúng đắn của Định lí cosin tại đỉnh A đối với tam giác đó.
Dùng định lí cosin, tính khoảng cách được đề cập trong HĐ 1b.
Trong mỗi hình dưới dây, hãy tính R theo a và sinA.
Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và \(\widehat B = {80^o}\). Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh còn lại của tam giác.
Giải tam giác ABC, biết b = 32, c =45, \(\widehat A = {87^o}\)
Từ một khu vực có thể quan sát được hai đỉnh núi, ta có thể ngắm và đo để xác định khoảng cách giữa hai đỉnh núi đó. Hãy thảo luận để đưa ra các bước cho một cách đo.
Cho tam giác ABC với I là tâm đường trong nội tiếp tam giác.
a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB.
b) Tính diện tích tam giác ABC theo r,a,b,c.
Cho tam giác ABC với đường cao BD.
a) Biểu thị BD theo AB và sinA.
b) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b,c, sin A.
Tính diện tích tam giác ABC có \(b = 2,\;\widehat B = {30^o},\;\widehat C = {45^o}\).
Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính theo độ dài các cạnh của tam giác ABC hay không?
Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE như hình 3.17. Dùng chế dộ tình khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên hòa bình.
Cho tam giác ABC có a = 6, b = 5, c =8. Tính cos A, S,r.
Cho tam giác ABC có \(a = 10,\widehat A = {45^o},\widehat B = {70^o}\). Tính R,b,c.
Giải tam giác ABC và tính diện tích của tam giác đó, biết \(\widehat A = {15^o},\;\widehat B = {130^o},\;c = 6\).
Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng \(S{70^o}E\) với vận tốc 70 km/h. Đi được 90 phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc 8 km/h. Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.
a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.
b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *