Sau đây mời các em học sinh lớp 10 cùng tham khảo bài Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm. Bài giảng đã được soạn khái quát lý thuyết cần nhớ, đồng thời có các bài tập minh họa có lời giải chi tiết giúp các em dễ dàng nắm được kiến thức trọng tâm của bài.
a. Số trung bình
Số trung bình (số trung bình cộng) của mẫu số liệu \({x_1},{x_2},{x_3},...,{x_n}\), kí hiệu là \(\overline x \) được tính bằng công thức: \(\overline x = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + ... + {x_n}}}{n}\) |
---|
Chú ý: Trong trường hợp số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì số trung bình được tính theo công thức: \(\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + {m_2}{x_2} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\)
Trong đó \({m_k}\) là tần số của giá trị \({x_k}\) và \(n = {m_1} + {m_2} + ... + {m_k}\)
Ý nghĩa: Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu.
Ví dụ: Thống kê số cuốn sách mỗi bạn trong lớp đã đọc trong năm 2021, An thu được kết quả như bảng bên. Hỏi trong năm 2021, trung bình mỗi bạn trong lớp đọc bao nhiêu cuốn sách?
Giải
Số bạn trong lớp là n = 3 + 5 + 15 + 10 + 7 = 40 (bạn).
Trong năm 2021, trung bình mỗi bạn trong lớp đọc số cuốn sách là:
\(\frac{{3.1 + 5.2 + 15.3 + 10.4 + 7.5}}{{40}} = 3,325\) (cuốn).
b. Trung vị
Để tìm trung vị của một mẫu số liệu, ta thực hiện như sau: + Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm. + Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chinh giữa của mẫu là trung vị. Nếu là số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu. |
---|
Ý nghĩa: Trung vị là giá trị chia đôi mẫu só liệu, nghĩa là trong mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm thì giá trị trung vị ở vị trí chính giữa. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường trong khi số trung bình bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường.
Ví dụ: Một công ty nhỏ gồm 1 giám đốc và 5 nhân viên, thu nhập mỗi tháng của giám đốc là 20 triệu đồng, của nhân viên là 4 triệu đồng. Hãy tìm trung vị cho mẫu số liệu vẻ lương của giám đóc và nhân viên công ty.
Giải
Đề tim trung vị của mẫu số liệu trên, ta làm như sau:
+ Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm
+ Dãy trên có hai giá trị chính giữa cùng bằng 4. Vậy trung vị của mẫu số liệu cũng bằng 4. Trong mẫu số liệu được sắp xếp trên, số phần tử ở bên trái trung vị và số phần tử ở bên phải trung vị bằng nhau và bằng 3. Lương của giám đốc cao hơn hẳn số trung bình, đây chính là
giá trị bất thường. Nễu ta thay lương của giám đốc là 30; 40; 50... (triệu đồng) thì trung vị vẫn không thay đổi trong khi số trung bình sẽ thay đổi.
Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có n giá trị, ta làm như sau: + Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm. + Tìm trung vị. Giá trị này là Q2. + Tìm trung vị của nừa số liệu bên trái Q2, (không bao gồm Q2, nếu n lẻ). Giá trị nảy là Q1. + Tim trung vị của nửa số liệu bên phải Q2, (không bao gồm Q2, nếu n lẻ). Giá trị này là Q3. Q1, Q2, Q3 được gợi là các tử phân vị của mẫu số liệu. |
---|
Chú ý: Q1 được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới, Q3 được gọi là tứ phân vị thứ ba hay tứ phân vị trên.
Ý nghĩa: Các điểm Q1, Q2, Q3 chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành bốn phần, mỗi phần đều chứa 25% giá trị.
Ví dụ: Hàm lượng Natri (đơn vị miligam, 1 mg = 0,001 g) trong 100 g một số loại ngũ cóc được cho như sau:
Hãy tìm các tứ phân vị. Các tứ phân vị này cho ta thông tin gi?
Giải
+ Sắp xếp các giá trị này theo thứ tự không giảm:
+ Vì n= 20 là số chẵn nên Q2 là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa:
Q2 = (180 + 180) : 2 = 180.
+ Ta tìm Q1 là trung vị của nủa số liệu bên trái Q2:
Và tìm được Q1 = (130 + 140) : 2 = 135.
+ Ta tìm Q3 là trung vị của nửa số liệu bên phải Q2:
và tìm được Q3 = (200 + 210) : 2 = 205
Hình ảnh về sự phân bố của mẫu số liệu
Các tứ phân vị cho ta hình ảnh phân bỗ của mẫu số liệu. Khoảng cách từ Q1 đến Q2 là 45 trong khi khoảng cách từ Q2 đền Q3 là 25. Điều này cho thấy mẫu số liệu tập trung với mật độ cao ở bên phải của Q2 và mật độ thấp ở bên trái của Q2.
Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất. |
---|
Ý nghĩa: Dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu có nhiều giá trị trùng nhau.
Ví dụ: Thời gian truy cập Internet (đơn vị giờ) trong một ngày của một số học sinh lớp 10 được cho như sau:
Tìm mốt cho mẫu số liệu này.
Giải
Vì số học sinh truy cập Intemet 1 giờ mỗi ngày là lớn nhất (có 3 học sinh) nên mốt là 1.
Nhận xét
+ Mốt có thẻ không là duy nhất. Chẳng hạn, với mẫu số liệu
các số 7; 8 đều xuất hiện với số lần lớn nhất (3 lần) nên mẫu số liệu này có hai mốt là 7 và 8.
+ Khi các giá tị trong mấu số liệu xuất hiện với tần số như nhau thì mẫu số liệu không có mốt.
+ Mốt còn được định nghĩa cho mẫu dữ liệu định tính (dữ liệu không phải là số). Ví dụ báo Tuổi trẻ đã thực hiện thăm dò ý kiến của bạn đọc với câu hỏi "Theo bạn, VFF nên chọn huấn luyện viên ngoại hay nội dẫn dắt đội tuyển bóng đá nam Việt Nam?".
Tại thời điểm 21 giờ ngày 27-4-2021 kết quả bình chọn như sau:
Trong mẫu dữ liệu này, lựa chọn "huấn luyện viên ngoại" có nhiều người bình chọn nhất, được gọi là mốt.
Câu 1: Chiều dài (đơn vị feet) của 7 con cá voi trưởng thành được cho như sau:
48 53 51 31 53 112 52
Tìm số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên. Trong hai số đó, số nào phù hợp hơn để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành này?
Hướng dẫn giải
Số trung bình: \(\bar X = \frac{{48 + 53 + 51 + 31 + 53 + 112 + 52}}{7}\)\( = \frac{{400}}{7} \approx 57,14\)
Số trung vị:
Ta sắp xếp lại số liệu theo thứ tự không giảm:
31 48 51 52 53 53 112
Số giá trị là 7, là số lẻ nên giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Mà giá trị chính giữa là 52.
Vậy số trung vị là 52.
Ta thấy trong mẫu số liệu bài cho thì 112 cao hơn hẳn giá trị trung bình nên không thể dùng số trung bình để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành này.
Vậy ta dùng số trung vị để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành này.
Câu 2: Bảng sau đây cho biết số lần học tiếng Anh trên internet trong một tuần của một số học sinh lớp 10:
Số lần | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Số học sinh | 2 | 4 | 6 | 12 | 8 | 3 |
Hãy tìm các tứ phân vị cho mẫu số liệu này.
Hướng dãn giải
Ta thấy n=2+4+6+12+8+3=35.
Trung vị là học sinh thứ 18
Ta thấy 2+4+6<18<2+4+6+12
=> \({Q_2} = 3\)
Ta tìm \({Q_1}\) là trung vị của nửa số liệu bên trái \({Q_2}\)(không bao gồm \({Q_2}\))
Nửa số liệu bên trái \({Q_2}\) có 17 học sinh nên trung vị là học sinh thứ 9:
Ta thấy 2+4<9<2+4+6
=>\({Q_1} = 2\)
Ta tìm \({Q_3}\) là trung vị của nửa số liệu bên phải \({Q_2}\)(không bao gồm \({Q_2}\))
Nửa số liệu bên phải \({Q_2}\) có 17 học sinh nên trung vị là học sinh thứ 9 trong 17 học sinh và là học sinh thứ 9+18=27 trong 35 học sinh.
Ta thấy 2+4+6+12<27<2+4+6+12+8
=>\({Q_3} = 4\)
Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:
- Khái niệm trung bình cộng của một dãy số liệu thống kê.
- Số trung vị, mốt và ý nghĩa của nó.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 5 Bài 13để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Thống kê một điểm kiểm tra 45 phút của 40 học sinh của một lớp 10 năm học 2017 - 2018 cho ta kết quả như sau:
Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:
Cho bảng phân bố tần số sau:
Trong các giá trị sau đây, giá trị nào gần nhất với số trung bình của bảng số liệu trên?
Một nhà thực vật học đo chiều dài của 74 chiếc lá cây và thu được số liệu sau ( đơn vị mm)
Khi đó chiều dài trung bình của 74 chiếc là này là:
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 5 Bài 13để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 78 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 2 trang 78 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 1 trang 79 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 3 trang 79 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 2 trang 79 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 4 trang 80 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 3 trang 81 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 5 trang 81 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Vận dụng trang 82 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 5.7 trang 82 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 5.8 trang 82 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 5.9 trang 83 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 5.10 trang 83 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Thống kê một điểm kiểm tra 45 phút của 40 học sinh của một lớp 10 năm học 2017 - 2018 cho ta kết quả như sau:
Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:
Cho bảng phân bố tần số sau:
Trong các giá trị sau đây, giá trị nào gần nhất với số trung bình của bảng số liệu trên?
Một nhà thực vật học đo chiều dài của 74 chiếc lá cây và thu được số liệu sau ( đơn vị mm)
Khi đó chiều dài trung bình của 74 chiếc là này là:
Điểm thi HKI môn toán của tổ học sinh lớp 10C ( quy ước làm tròn đến 0,5 điểm) liệt kê như sau: 2; 5; 7,5; 8; 5; 7; 6,5; 9; 4,5; 10. Tính điểm trung bình của 10 học sinh đó ( quy tròn đến chữ thập phân thứ nhất)
Thu nhập gia đình/năm của hai nhóm dân cư ở hai xã của một huyện được cho trong bảng sau: (đv: triệu đồng)
Tìm số trung bình của thu nhập gia đình/năm của nhóm 1
Cho các số liệu thống kê về sản lượng chè thu được trong 1năm (kg/sào) của 20 hộ gia đình
Điểm điều tra về chất lượng sản phẩm mới (thang điểm 100) như sau:
80 65 51 48 45
61 30 35 84 83
60 58 75 72 68
39 41 54 61 72
75 72 61 50 65
Tìm mốt của bảng số liệu trên.
Cho các số liệu thống kê về sản lượng chè thu được trong 1năm ( kg/sào) của 20 hộ gia đình
Tính số trung vị
Một nhà thực vật học đo chiều dài của 74 chiếc lá cây và trình bày mẫu số liệu dưới dạng bảng phân bố tần số sau (đơn vị xen-ti-mét).
Trong các giá trị sau đây, giá trị nào gần nhất với số trung bình của bảng số liệu trên?
Một xạ thủ bắn 30 viên đạn vào bia kết quả được ghi lại trong bảng phân bổ tần số sau:
Khi đó điểm số trung bình cộng là (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm):
Tính trung bình cộng điểm khảo sát tiếng Anh của mỗi lớp A và B.
Dựa trên điểm trung bình, hãy cho biết phương pháp học tập nào hiệu quả hơn.
Bảng sau cho biết thời gian chạy cự li 100 m của các bạn trong lớp (đơn vị giây):
Thời gian | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
Số bạn | 5 | 7 | 10 | 8 | 6 |
Hãy tính thời gian chạy trung bình cự li 100 m của các bạn trong lớp.
Một công ty nhỏ gồm 1 giám đốc và 5 nhân viên, thu nhập mỗi tháng của giám đốc là 20 triệu đồng, của nhân viên là 4 triệu đồng.
a) Tính thu nhập trung bình của các thành viên trong công ty.
b) Thu nhập trung bình có phản ánh đúng thu nhập của nhân viên công ty không?
Chiều dài (đơn vị feet) của 7 con cá voi trưởng thành được cho như sau:
48 53 51 31 53 112 52
Tìm số trung bình và trung vị của mẫu số liệu trên. Trong hai số đó, số nào phù hợp hơn để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành này?
Điểm (thang điểm 100) của 12 thí sinh cao điểm nhất trong một cuộc thi như sau:
58 74 92 81 97 88 75 69 87 69 75 77.
Ban tổ chức muốn trao các giải Nhất, Nhi, Ba, Tư cho các thí sinh này, mỗi giải trao cho 25% số thí sinh (3 thí sinh).
Em hãy giúp ban tổ chức xác định các ngưỡng điểm để phân loại thí sinh.
Bảng sau đây cho biết số lần học tiếng Anh trên internet trong một tuần của một số học sinh lớp 10:
Số lần | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Số học sinh | 2 | 4 | 6 | 12 | 8 | 3 |
Hãy tìm các tứ phân vị cho mẫu số liệu này.
Một cửa hàng giày thể thao đã thống kê cỡ giày của một số khách hàng nam được chọn ngẫu nhiên cho kết quả như sau:
38 39 39 38 40 41 39 39 38 39 39 39 40 39 39.
a) Tính cỡ giày trung bình. Số trung bình này có ý nghĩa gì với cửa hàng không?
b) Cửa hàng nên nhập cỡ giày nào với số lượng nhiều nhất?
Hai phương pháp học tiếng Anh khác nhau được áp dụng cho hai lớp A và B có trình độ tiếng Anh tương đương nhau. Sau hai tháng, điềm khảo sát tiếng Anh (thang điểm 10) của hai lớp được cho như hình bên.
2 | 7 | 6 | 3 | 9 |
8 | 6 | 7 | 9 | 2 |
5 | 7 | 5 | 9 | 8 |
8 | 7 | 4 | 3 | 5 |
5 | 4 | 5 | 7 | 7 |
Lớp A
6 | 7 | 6 | 4 | 7 |
9 | 3 | 8 | 7 | 5 |
5 | 6 | 8 | 7 | 4 |
5 | 3 | 10 | 7 | 9 |
6 | 7 | 6 | 7 | 5 |
Lớp B
Quan sát hai mẫu số liệu trên, có thể đánh giá được phương pháp học tập nào hiệu quả hơn không? Để làm được điều đó, người ta thường tính toán các số đặc trưng cho mỗi mẫu số liệu rồi so sánh.
Bài học này sẽ giới thiệu về các số đặc trưng đo xu thế trung tâm, tức là các số cho ta biết thông tin về vị trí trung tâm của mẫu số liệu và được dùng làm đại diện cho mẫu số liệu.
Hãy tính các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu về điềm khảo sát của lớp A và lớp B ở đầu bài học để phân tích và so sánh hiệu quả học tập của hai phương pháp này.
Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau đây:
a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu:
9 8 15 8 20
b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):
350 300 650 300 450 500 300 250
c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp:
36 38 33 34 32 30 34 35
Hãy chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mỗi mẫu số liệu sau. Giải thích và tinh giá trị của số đặc trưng đó.
a) Số mặt trăng đã biết của các hành tinh:
b) Số đường chuyền thành công trong một trận đấu của một số cầu thủ bóng đá:
32 24 20 14 23.
c) Chỉ số IQ của một nhóm học sinh: 60 72 63 83 68 74 90 86 74 80.
d) Các sai số trong một phép đo: 10 15 16 15 14 13 42 15 12 14 42.
Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2016-2017 của 10 trường Trung học phổ thông được cho như sau:
0 0 4 0 0 0 10 0 6 0.
a) Tìm số trung bình, mốt, các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
b) Giải thích tại sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau.
Bảng sau đây cho biết số chỗ ngồi của một số sân vận động được sử dụng trong
Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam năm 2018 (số liệu gần đúng).
Các giá trị số trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng thế nào nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *