Bài học sẽ giúp các em đi dâu tìm hiểu các vấn đề liên quan đến Bội chung, Bội chung nhỏ nhất, tính chất chia hết cùng các dạng toán liên quan và các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các em dễ dàng nắm được nội dung bài học.
Ví dụ 1: Nhận xét rằng, các số 0, 6, 12, 18,… vừa là bội của 3 vừa là bội của 6, khi đó ta nói “chúng là bội chung của 3 và 6”.
Từ đó, ta có định nghĩa:
Cho hai số a và b. Nếu có một số d thoả mãn:
\(d\,\, \vdots \,\,a\) và \(d\,\, \vdots \,\,b\)
thì d được gọi là bội chung của a và b.
Tập hợp các bội của hai số a và b được kí hiệu là BC(a, b)
Chú ý:
Ta cần chú ý tới:
* Nếu \(x \in BC(a,b,c,...)\) thì \(x\,\, \vdots \,\,a,\,x\,\, \vdots \,\,b,\,x\,\, \vdots \,\,c,...\)
* \(BC(a,b) = B(a)\,\, \cap \,\,B(b)\)
Ví dụ 2: Ta có
B(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30,…}
B(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 45,…}
\( \Rightarrow \) BC(6, 8) = {0, 24, 48,…}
khi đó, số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(6, 8) là 24. Ta nói 24 là bội chung nhỏ nhất của 6 và 8.
Từ đó, ta có định nghĩa:
Bội chung nhỏ nhất của a, b là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của a, b. Kí hiệu BCNN(a, b).
Nhận xét:
* BCNN(a, 1) = a.
* BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b).
* Mọi bội chung của a va b đều là BCNN(a, b).
Bài toán: Tìm BCNN(a, b, c,…)
Phương pháp giải
Ta thực hiện theo ba bước sau:
Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số chung và riêng.
Bước 3: Lập tính các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.
Chú ý:
Ta có thể tìm BCNN bằng cách tính sau:
ƯCLN(a, b) . BCNN(a,b) = a.b
Ví dụ 3: Hãy xác định:
a. BCNN(8,18,28)
b. BCNN(9, 26)
c. BCNN(150, 25, 75)
Giải
Ta lần lượt thực hiện:
* Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:
\(\begin{array}{l}8 = {2^3}\\18 = {2.3^2}\\28 = {2^2}.7\end{array}\)
Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng: 2, 3, 7.
Thừa số 2 có số mũ lớn nhất là 3, 3 có số mũ lớn nhất là 2 và 7 có số mũ lớn nhất là 1.
Khi đó:
\(BCNN\left( {8,{\rm{ }}18,{\rm{ }}28} \right) = {2^3}{.3^2}.7 = 504\)
b. Nhận xét rằng:
WCLN(8, 19) = 1
Do đó, suy ra:
BCNN(9, 26) = 9 . 26 = 243.
c. Nhận xét rằng:
\(\begin{array}{l}150\,\,\, \vdots \,\,\,25\\150\,\,\, \vdots \,\,\,75\end{array}\)
Do đó, suy ra:
BCNN(150, 25, 75) = 150
Chú ý:
Ta cần chú ý tới:
* Nếu (a, b) = 1 thì BCNN(a, b) = a.b
* Nếu \(a \vdots b\) và \(a \vdots c\) thì BCNN(a,b,c,…)=a.
* Muốn tìm bội chung của các số đã cho ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.
Bài 1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 3 thì dư 2, khi chia cho 7 thì dư 6, khi chia cho 25 thì dư 24.
Giải
Giả sử a là số phải tìm.
Vì a chia 3 dư 2, chia 7 dư 6 và chia 25 dư 24 nên a + 1 chia hết cho 2, 7, 25.
Do đó
a = BCNN(3, 7, 25)
Ta có:
BCNN(3,7,25) \({3.5^2} = 7 = 525\)
Vậy số cần tìm a = 254.
Bài 2: Có ba chiếc hộp hình vuông: Hộp màu đỏ cao 8cm, hộp màu xanh cao 7cm, hộp màu vàng cao 12cm. Người ta xếp thành ba chông bằng nhau, mỗi chồng một màu. Hỏi chiều cao nhỏ nhất của chồng hộp đó.
Giải
Giả sử chiều cao nhỏ nhất của mỗi chồng là a (cm)
Ta có:
a = BCNN(7, 8, 12) = \({2^3}.3.7 = 168\) (cm)
Vậy chiều cao nhỏ nhất của chồng hộp là 168cm.
Bài 3: Tìm số tự nhiên a. Biết số đó chia hết cho 7 và khi chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư 1 và a < 400.
Giải
Ta có:
a – 1 = BC(2, 3, 4, 5, 6)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow a - 1 \in {\rm{\{ }}60,120,180,240,300,360\} \\ \Rightarrow a \in {\rm{\{ }}61,121,181,241,301,361\} \end{array}\)
Do \(a \vdots 7\) nên a = 301
Vậy a = 301
Qua bài giảng Bội chung nhỏ nhất này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 6 Bài 18để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tìm BCNN (9; 10; 11)
Tìm bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 6 Bài 18 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 6 tập 1
Bài tập 190 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 18.5 trang 31 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 18.4 trang 31 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 18.3 trang 31 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 18.2 trang 31 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 18.1 trang 31 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 197 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 196 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 195 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 194 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 193 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 192 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 191 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 149 trang 59 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 189 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 188 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 158 trang 60 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 157 trang 60 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 156 trang 60 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 155 trang 60 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 154 trang 59 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 153 trang 59 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 152 trang 59 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 151 trang 59 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 150 trang 59 SGK Toán 6 Tập 1
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 6 DapAnHay
Tìm BCNN (9; 10; 11)
Tìm bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400
Chọn khẳng định sai:
Một số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 15 cuốn, 18 cuốn đề vừa đủ bó. Biết số sách trong khoảng từ 200 đến 500. Tính số sách.
Tìm các bội chung có ba chữ số của 63, 35 và 105
Học sinh lớp 6C khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều vừa đủ hàng. Biết số học sinh lớp đó trong khoảng từ 35 đến 60. Tính số học sinh lớp 6C.
Tìm các bội chung nhỏ hơn 500 của 30 và 45.
Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0, biết rằng a 15 và a 18.
Hãy tính nhẩm BCNN của các số sau bằng cách nhân số lớn nhất lần lượt với 1, 2, 3,... cho đến khi được kết quả là một số chia hết cho các số còn lại:
a) 30 và 150; b) 40, 28, 140; c) 100, 120, 200.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Nếu 491 - ( x - 83 ) = 72 thì x = ?
BCNN( 5, 10, 30) là
Một lớp học có 28 nam và 24 nữ. Hỏi có thể chia nhiều nhất bao nhiêu tổ sao cho số nam và số nữ được chia đều vào các tổ
Câu trả lời của bạn
Hãy tìm BCNN của số: \(13\) và \(15\).
Câu trả lời của bạn
Phân tích \(13\) và \(15\) ra thừa số nguyên tố:
\(13=13\)
\(15=3.5\)
\( BCNN (13, 15) = 3.5.13=195\).
Hãy tìm BCNN của số: \(84\) và \(108\);
Câu trả lời của bạn
Phân tích \(84\) và \(108\) ra thừa số nguyên tố:
\(84 = 2^2. 3 . 7\);
\(108 = 2^2. 3^3\)
\( BCNN (84, 108) = 2^2. 3^3. 7 = 756\).
Hãy tìm BCNN của số: \(60\) và \(280\);
Câu trả lời của bạn
Phân tích \(60\) và \(280\) ra thừa số nguyên tố:
\(60 = 2^2. 3 . 5\);
\(280 = 2^3. 5 .7\)
\( BCNN (60, 280) = 2^3. 3 . 5 . 7 = 840\).
Hãy điền vào chỗ trống (…): \(\begin{array}{l}(A)\,BCNN\left( {12,15} \right) = ...\\(B)\,BCNN(8,9) = ...\\(C)\,BCNN\left( {12,18,36} \right) = ...\\(D)\,BCNN\,\left( {12,306,378} \right) = ...\\(E)\,BCNN\left( {a,b,1} \right) = ...\end{array}\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l}(A)\,\,12 = {2^2}.3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,15 = 3.5\\ \Rightarrow BCNN\left( {12,15} \right) = {2^2}.3.5 = 60\\(B)\,8 = {2^3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,9 = {3^2}\\ \Rightarrow BCNN\left( {8,9} \right) = {2^3}{.3^2} = 72\\(C)\,12 = {2^2}.3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,18 = {2.3^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,36 = {2^2}{.3^2}\\ \Rightarrow BCNN\left( {12,18,36} \right) = {2^2}{.3^2} = 36\\(D)\,12 = {2^2}.3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,306 = {2.3^2}.17\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,378 = {2.3^3}.7\\ \Rightarrow BCNN\left( {12,306,378} \right) = {2^2}{.3^3}.7.17 = 12852\\(E)\,BCNN\left( {a,b,1} \right) = BCNN\left( {a,b} \right)\end{array}\)
Có một số sách khi xếp thành từng bó 8 cuốn, 10 cuốn, 14 cuốn và 20 cuốn thì vừa đủ. Biết số sách trong khoảng từ 250 đến 400 cuốn. Hãy tính số sách đó.
Câu trả lời của bạn
Số sách đã cho là bội chung của 8, 10, 14, 20 và thuộc khoảng từ 250 đến 400.
\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } 8=2^{3} ; \quad 10=2.5 ; \quad 14=2.7 ; \quad 20=2^{2} .5 . \\ &\Rightarrow B C N N(8,10,14,20)=2^{3} .5 .7=280\\ &\Rightarrow B C (8,10,14,20)=\{0;280;560;...\} \end{aligned}\)
Bội chung thuộc khoảng từ 250 đến 400 của 8, 10, 14 và 20 là 280.
Vậy số sách đã cho là 280 cuốn.
Hãy tìm các bội chung có ba chữ số của 72; 90 và 120.
Câu trả lời của bạn
\( \begin{array}{I} 72 =2^{3} \cdot 3^{2} \\ 90 =2.3^{2} .5 \\ 120 =2^{3} .3 .5 \\ \Rightarrow B C N N(72,90,120) =2^{3} \cdot 3^{2} .5=360\\ \Rightarrow B C (72,90,120)=\{0;360;720;1080;...\} \end{array}\)
Các bội chung có ba chữ số của 72; 90 và 120 là: 360 và 720.
Tìm các số tự nhiên x , khi biết rằng \(x\vdots14, x \vdots 21, x \vdots 36 \text { và } 200
Câu trả lời của bạn
\(x\vdots14, x \vdots 21, x \vdots 36 \text { và } 200
\(\begin{array} \text { Ta có: } 14=2.7 \\ \qquad \begin{array} 21 =3.7 \\ 36 =2^{2} .3^{2} \\ \Rightarrow B C N N (14,21,36)=2^{2} .3^{2} .7=252\\ \Rightarrow B C(14,21,36)=\{0;252;504;756;...\} \end{array} \end{array}\)
Các bội chung của 14, 21 và 36 trong khoảng từ 200 đến 600 là 252 và 504.
Vậy x = 252 hoặc x = 504 .
Hai bạn Nam và Nga thường đến thư viện đọc sách. Nam cứ 6 ngày đến thư viện một lần, Nga cứ 8 ngày đến thư viện một lần. Lần đầu cả hai bạn đến thư viện vào cùng một ngày. Cho biết sau ít nhất bao nhiêu ngày hai bạn lại cùng đến thư viện?
Câu trả lời của bạn
Gọi x là số ngày ít nhất hai bạn lại cùng đến thư viện
\(\begin{array}{l} x \vdots 6;x \vdots8 \text{và x nhỏ nhất } \Rightarrow x = BCNN\left( {6;8} \right)\\ 6 = 2.3\\ 8 = {2^3}\\ \Rightarrow BCNN\left( {6;8} \right) = {2^3}.3 = 24 \end{array}\)
Vậy sau ít nhất 24 ngày hai bạn lại cùng đến thư viện.
Thục hiện tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số mà chia hết cho tất cả các số 4; 5; 6 và 7
Câu trả lời của bạn
Gọi x là số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số mà \(\text{x chia hết cho tất cả các số 4; 5; 6 và 7} \,\,nên\,\, x \in BC (4;5;6;7)\)
Ta có \(4=2^{2} ; 6=2.3, \text { suy ra } B C N N(4,5,6,7)=2^{2} .3 .5 .7=420 \text { . }\)
Vậy BC(4;5;6;7)={0;420;840;1260;...}
Khi đó số lớn nhất có ba chữ số chia hết cho 4; 5; 6 và 7 là 840.
Có một đơn vị bộ đội khi xếp hàng 20 người; 25 người hoặc 30 người đều dư 15; nhưng xếp hàng 41 người thì vừa đủ. Tính số người của đơn vị đó biết rằng số người chưa đến 1000 người.
Câu trả lời của bạn
Gọi số người của đơn vị x (người) \(x\in\mathbb{N}\)
Theo đề bài, ta có:
\(\begin{aligned} \begin{aligned} \text { Ta có: }20 =2^{2} .5 \\ 25 =5^{2} \\ 30 =2.3 .5 \\ \Rightarrow B C N N &(20,25,30)=2^{2} .3 .5^{2}=300 \end{aligned} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Vì } x<1000 \text { nên } x-15<985, \text { suy ra }(x-15) \in\{0 ; 300 ; 600 ; 900\} \text { . }\\ &\text { Do đó } x \in\{15 ; 315 ; 615 ; 915\} \text { . } \end{aligned}\)
Lại có \(x \vdots 41 \text { nên } x=615\). Vậy đơn vị đó có 615 người
Số học sinh khối 6 của một trường trong khoảng từ 200 đến 400. Khi xếp hàng 12 người; 15 người hoặc 18 người đều thừa 5 học sinh. Hãy tính số học sinh khối 6.
Câu trả lời của bạn
Gọi số học sinh khối 6 là x (học sinh) \(x\in\mathbb{N}\)
\(\text { Theo đề bài ta có: }(x-5) \in B C(12,15,18) \text { và } 200
\(\begin{aligned} &\text { Ta có: } 12=2^{2} .3 \\ &\qquad \begin{array}{l} 15=3.5 \\ 18 =2.3^{2} \\ \Rightarrow B C N N(12,15,18)=2^{2} \cdot 3^{2} .5=180 \\ \text { Vì } 200
Lấy 180 lần lượt nhân với 0; 1; 2; 3; ... ta được x-5=360 hay x = 365 là giá trị cần tìm.
Vậy khối 6 của trường đó có 365 học sinh.
Có hai đội công nhân nhận trồng một số cây như nhau. Mỗi công nhân đội \(I\) phải trồng \(8\) cây, mỗi công nhân đội \(II\) phải trồng \(9\) cây. Hãy tính số cây mỗi đội phải trồng, biết rằng số cây đó trong khoảng từ \(100\) đến \(200\).
Câu trả lời của bạn
Gọi số cây mỗi đội phải trồng là \(a\) \((a\in \mathbb N^*)\). Vì \(a\, \vdots \,8\,,\,a\, \vdots \,9\) nên \(a\in BC(8,9)\). Mặt khác \(100 \le a \le 200\).
Phân tích \(8\) và \(9\) ra thừa số nguyên tố:
\(8=2^3\)
\(9=3^2\)
\(BCNN (8, 9) = 2^3.3^2=72\).
Số \(a\) là bội của \(72\) và \(100 \le a \le 200\) nên \(a=144\)
Vậy số cây mỗi đội phải trồng là \(144\) cây.
Chú ý: \(B(72)=\{0;72;144;216;...\}\).
Hai bạn An và Bách cùng học một trường nhưng ở hai lớp khác nhau. An cứ \(10\) ngày lại trực nhật, Bách cứ \(12\) ngày lại trực nhật. Lần đầu cả hai cùng trực nhật vào một ngày. Hãy cho biết sau ít nhất bao nhiêu ngày thì hai bạn lại cùng trực nhật ?
Câu trả lời của bạn
Gọi số ngày phải tìm là \(a\,(a\in \mathbb N^*)\). Vì \(a\) là số nhỏ nhất khác \(0\) chia hết cho \(10\) và \(12\) nên \(a\) là \(BCNN(10,12)\).
Phân tích \(10\) và \(12\) ra thừa số nguyên tố:
\(10 = 2 . 5\)
\(12 = 2^2. 3\)
\(BCNN (10, 12) = 2^2.3.5 = 60\).
Vậy sau ít nhất \(60\) ngày thì hai bạn lại cùng trực nhật.
Hãy tìm số tự nhiên \(x\), biết: \(x\) \(\vdots\) \(12\), \(x\) \(\vdots\) \(21\), \(x\) \(\vdots\) \(28\) và \(150 < x < 300\).
Câu trả lời của bạn
Theo đề bài, \(x\in BC(12, 21, 28)\) và \(150 < x < 300\).
Phân tích \(12,21,28\) ra thừa số nguyên tố:
\(12=2^2.3\)
\(21=3.7\)
\(28=2^2.7\)
\(BCNN (12, 21, 28) = 2^2.3.7=84\).
\(BC(12, 21, 28)=\{0;84;168;252;336;...\}\).
Do \(150 < x < 300\) nên \(x\in\{ 168;252\}.\)
Học sinh của lớp \(6C\) khi xếp hàng \(2\), hàng \(3\), hàng \(4\), hàng \(8\) đều vừa đủ hàng. Biết số học sinh lớp đó trong khoảng từ \(35\) đến \(60\). Hãy tính số học sinh lớp \(6C.\)
Câu trả lời của bạn
Gọi số học sinh của lớp \(6C\) là \(a\;(a\in\mathbb N^*)\).
Vì số học sinh đó khi xếp hàng \(2\), hàng \(3\), hàng \(4\), hàng \(8\) đều vừa đủ hàng nên \(a\, \vdots \,2\,,\,a\, \vdots \,3\,,\,a\, \vdots \,4\,,\,a\, \vdots \,8\), tức là \(a\in BC(2,3,4,8)\). Ngoài ra \(35\le a\le60\).
\(BCNN(2, 3, 4, 8) = 24\).
\(BC(2,3,4,8)=\{0;24;48;72;96;...\}\).
Do \(35\le a\le60\) nên \(a=48\).
Vậy số học sinh lớp \(6C\) là \(48\) học sinh.
Hãy tìm các bội chung nhỏ hơn \(500\) của \(30\) và \(45\).
Câu trả lời của bạn
Phân tích \(30\) và \(45\) ra thừa số nguyên tố:
\(30=2.3.5\)
\(45=3^2.5\)
\(BCNN (30, 45) =2.3^2.5=90\).
\(BC (30, 45) =\{0, 90, 180, 270, 360, 450; 540; ...\}\)
Các bội chung của \(30\) và \(45\) mà nhỏ hơn \(500\) là:
\(0, 90, 180, 270, 360, 450\).
Hãy tìm số tự nhiên \(a\) nhỏ nhất khác \(0\), biết rằng \(a\) \(\vdots\) \(15\) và \(a\) \(\vdots\) \(18\).
Câu trả lời của bạn
Vì \(a\) là số tự nhiên nhỏ nhất khác \(0\) chia hết cho cả \(15\) và \(18\) nên \(a\) là \(BCNN (15, 18)\).
Phân tích \(15\) và \(18\) ra thừa số nguyên tố:
\(15=3.5\)
\(18=2.3^2\)
\(BCNN(15,18)=2.3^2.5=90\)
Vậy \(a=90\).
Hãy tìm x biết rằng \(x \in BC\left( {6;8} \right),170 < x < 200\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l} 6 = 2.3\\ 8 = {2^3}\\ \Rightarrow BCNN\left( {6;8} \right) = {2^3}.3 = 24\\ \Rightarrow BC\left( {6;8} \right) = B\left( {24} \right) = \left\{ {0;24;48;72;96;120;144;168;192;216;...} \right\}\\ \text{mà}\,\,170 < x < 200 \Rightarrow x = 192 \end{array} \)
Thực hiện tìm \(BCNN\left( {6;8} \right)\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l} 6 = 2.3\\ 8 = {2^3}\\ \Rightarrow BCNN\left( {6;8} \right) = {2^3}.3 = 24 \end{array} \)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *