Bài ôn tập chương Bất đẳng thức - Bất phương trình sẽ giúp các em hệ thống lại toàn bộ kiến thức đã học ở chương 4. Thông qua sơ đồ tư duy, các em sẽ có được cách ghi nhớ bài một cách dễ dàng, hiệu quả.
Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức \(a + \frac{4}{{\left( {a - b} \right){{\left( {b + 1} \right)}^2}}} \ge 3\)
Hướng dẫn:
Điều kiện: \(a>b\geq 0\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
\(a+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}=a-b+b+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\)
\(=(a-b)+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}+\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}-1\)
\(\geq 4\sqrt[4]{(a-b).\frac{b+1}{2}.\frac{b+1}{2}.\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}}-1\)
\(=4-1=3\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a-b=\frac{b+1}{2}=\frac{4}{(a-b)(b+1)^2}\Leftrightarrow a=2; b=1\)
Ví dụ 2: Cho a+b\(\ge\)0, chứng minh \(\dfrac{a+b}{2}\)\(\le\)\(\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\)
Hướng dẫn:
Theo bđt cosi ta có:
\(a^2+b^2\ge2ab\)\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\dfrac{a+b}{2}\)
Suy ra đpcm
Ví dụ 3: Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn
\(\left\{ \begin{array}{l}
3x + y \le 6\\
x + y \le 4\\
2x - y \ge 3\\
- 10x + 5y < 8
\end{array} \right.\)
Hướng dẫn:
Vẽ các đường thẳng
\(\begin{array}{l}
(a):3x + y = 6\\
(b):x + y = 4\\
(c):2x - y = 3\\
(d): - 10x + 5y = 8
\end{array}\)
Vì điểm M(0;-3) có tọa độ thỏa mãn các bất phương trình trong hệ nên ta tô đậm các mặt phẳng bờ (a), (b), (c), (d) không chứa điểm M. Miền không bị tô đậm là miền nghiệm của hệ đã cho.
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình \( - {x^2} + (m + 1)x + {m^2} - 5m + 6 = 0\) (1) có 2 nghiệm trái dấu
Hướng dẫn:
Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi
\( - 1.\left( {{m^2} - 5m + 4} \right) < 0 \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 5m + 4} \right) > 0\)
Vì tam thức \(f(x) = \left( {{m^2} - 5m + 4} \right)\) có 2 nghiệm là \({m_1} = 1,{m_2} = 4\) và hệ số của \(m^2\) dương nên
\(\left( {{m^2} - 5m + 4} \right) > 0 \Leftrightarrow m > 4 \vee m < 1\)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(m > 4 \vee m < 1\)
Nội dung bài giảng sẽ giúp các em tổng hợp kiến thức và các kỹ năng về bất đẳng thức - bất phương trình đã được học thông qua các sơ đồ. Bên cạnh đó các em còn được ôn lại phương pháp giải toán thông qua một số bài tập có hướng dẫn giải chi tiết.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Ôn tập chương IV - Toán 10để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tập nghiệm của bất phương trình \(x({x^2} - 1) \ge 0\) là
Tập nghiệm của bất phương trình \(\left| {3{x^2} + 4x - 1} \right| \le \left| {3{x^2} - x + 8} \right|\) là
Tập nghiệm của bất phương trình \((x + 1)(x + 4) < 5\sqrt {{x^2} + 5x + 28} \) là
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Ôn tập chương IV - Toán 10 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 106 SGK Đại số 10
Bài tập 2 trang 106 SGK Đại số 10
Bài tập 3 trang 106 SGK Đại số 10
Bài tập 4 trang 106 SGK Đại số 10
Bài tập 5 trang 106 SGK Đại số 10
Bài tập 6 trang 106 SGK Đại số 10
Bài tập 7 trang 106 SGK Đại số 10
Bài tập 8 trang 107 SGK Đại số 10
Bài tập 9 trang 107 SGK Đại số 10
Bài tập 10 trang 107 SGK Đại số 10
Bài tập 11 trang 107 SGK Đại số 10
Bài tập 12 trang 107 SGK Đại số 10
Bài tập 13 trang 107 SGK Đại số 10
Bài tập 14 trang 107 SGK Đại số 10
Bài tập 15 trang 108 SGK Đại số 10
Bài tập 16 trang 108 SGK Đại số 10
Bài tập 17 trang 108 SGK Đại số 10
Bài tập 4.76 trang 125 SBT Toán 10
Bài tập 4.77 trang 125 SBT Toán 10
Bài tập 4.78 trang 125 SBT Toán 10
Bài tập 4.79 trang 125 SBT Toán 10
Bài tập 4.80 trang 125 SBT Toán 10
Bài tập 4.81 trang 125 SBT Toán 10
Bài tập 4.82 trang 125 SBT Toán 10
Bài tập 4.83 trang 126 SBT Toán 10
Bài tập 4.84 trang 126 SBT Toán 10
Bài tập 76 trang 155 SGK Toán 10 NC
Bài tập 77 trang 155 SGK Toán 10 NC
Bài tập 78 trang 155 SGK Toán 10 NC
Bài tập 79 trang 155 SGK Toán 10 NC
Bài tập 80 trang 155 SGK Toán 10 NC
Bài tập 81 trang 155 SGK Toán 10 NC
Bài tập 82 trang 155 SGK Toán 10 NC
Bài tập 83 trang 156 SGK Toán 10 NC
Bài tập 84 trang 156 SGK Toán 10 NC
Bài tập 85 trang 156 SGK Toán 10 NC
Bài tập 86 trang 156 SGK Toán 10 NC
Bài tập 87 trang 156 SGK Toán 10 NC
Bài tập 88 trang 156 SGK Toán 10 NC
Bài tập 89 trang 157 SGK Toán 10 NC
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Tập nghiệm của bất phương trình \(x({x^2} - 1) \ge 0\) là
Tập nghiệm của bất phương trình \(\left| {3{x^2} + 4x - 1} \right| \le \left| {3{x^2} - x + 8} \right|\) là
Tập nghiệm của bất phương trình \((x + 1)(x + 4) < 5\sqrt {{x^2} + 5x + 28} \) là
Tập nghiệm của phương trình \((x + 1)\sqrt {16x + 17} = 8{x^2} - 15x - 23\) là
Nghiệm của bất phương trình \(\left| {2x - 1} \right| \le x + 2\) là
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 3x - 4 \le 0\\
\left| {{x^2} - 3x + 4} \right| \ge {x^2} + 3x
\end{array} \right.\). Tập nghiệm của hệ bất phương trình là:
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{(x - 3)(x + 2)}}{{{x^2} - 1}} < 1\\
\left| {\frac{{x + 4}}{{x - 1}}} \right| \ge 2x + 2
\end{array} \right.\) . Tập nghiệm của hệ bất phương trình là:
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x + 3y - 4 \le 0\\
2x - y - 3 > 0
\end{array} \right.\) . Cặp nghiệm của hệ bất phương trình là:
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
x - 3y < 0\\
x + 2y > - 3\\
x + y \le 2
\end{array} \right.\) . Cặp nghiệm của hệ bất phương trình là:
Phương trình \({x^2} + 2(m + 1)x + 9m - 5 = 0\) có hai nghiệm âm phân biệt khi
Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện \({a^3} > 36\) và \(abc = 1\)
Xét tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} - {\rm{a}}x - 3ac + \dfrac{{{a^2}}}{3}\).
a. Chứng minh rằng \(f(x) > 0,\forall x\)
b. Từ câu a) suy ra \(\dfrac{{{a^2}}}{3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca.\)
Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số m:
\(\left( {m - 1} \right)\sqrt x \le 0\)
Tìm a và b để bất phương trình: (x - 2a + b - 1)(x + a - 2b + 1) ≤ 0 có tập nghiệm là đoạn [0; 2]
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. \(x < y \Leftrightarrow {x^3} < {y^3}\)
B. \({x^2} < {y^2} \Leftrightarrow x < y\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
y > 2
\end{array} \right. \Rightarrow xy > 2\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
y > 2
\end{array} \right. \Rightarrow x + y = 3\)
Khối lượng nước thất thoát do vỡ đường ống dẫn nước sạch Sông Đà được ước tính là 215300 m3/ngày đêm. Cho biết số liệu trên chính xác đến 50m3. Gọi T (m3) là khối lượng thực của số nước thất thoát trong một ngày đêm. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. 215250 < T < 215350
B. 215200 < T < 215400
C. 215255 < T < 215355
D. 214000 < T < 216000
Trong các hệ bất phương trình sau, hệ nào vô nghiệm?
A. \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} - 2x - 1 \le 0\\
2x + 1 < 3x + 2
\end{array} \right.\)
B. \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^4} + x - 1 > 0\\
\frac{1}{{x + 5}} < \frac{1}{{ - 1 + x}}
\end{array} \right.\)
C. \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 5x + 2 < 0\\
{x^2} + 8x + 1 \le 0
\end{array} \right.\)
D. \(\left\{ \begin{array}{l}
\left| {x - 1} \right| \le 2\\
\left| {2x + 1} \right| \le 3
\end{array} \right.\)
Chứng minh các bất đẳng thức
a) |a+b| < |1+ab| với |a| < 1; |b| < 1
b) \(\frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{n + 2}} + ... + \frac{1}{{2n}} \ge \frac{1}{2}\) với mọi n ∈ N*
c) \(\frac{{a + b}}{{1 + a + b}} \le \frac{a}{{1 + a}} + \frac{b}{{1 + b}}\) với mọi a ≥ 0; b ≥ 0. Khi nào có đẳng thức?
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \(a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \) với a ≥ 0; b ≥ 0; c ≥ 0
b) a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc(a + b +c) với mọi a,b,c ∈ R
Khi nào có đẳng thức?
Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a) \(f(x) = |x + {1 \over x}|\)
b) \(g(x) = {{{x^2} + 2} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\)
Tìm các giá trị của tham số m sao cho hệ bất phương trình sau có nghiệm.
\(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{7}{6}x - \frac{1}{2} > \frac{{3x}}{2} - \frac{{13}}{3}\\
{m^2}x + 1 \ge {m^4} - x
\end{array} \right.\)
Với giá trị nào của m, bất phương trình:
(m2 + 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 nghiệm đúng ∀x ∈ [-1; 2] ?
Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a) a2x + 1 > (3a - 2)x - 3
b) 2x2 + (m - 9)x + m2 + 3m + 4 ≥ 0
Giải các bất phương trình sau:
a) \(\frac{{x - 2}}{{{x^2} - 9x + 20}} > 0\)
b) \(\frac{{2{x^2} - 10x + 14}}{{{x^2} - 3x + 2}} \ge 1\)
Tìm các giá trị của m sao cho R là tập nghiệm của mỗi bất phương trình:
a) (m - 4)x2 - (m - 6)x + m – 5 ≤ 0
b) (m2 - 1)x2 + 2(m + 1)x + 3 > 0
Giải các phương trình sau
a) |x2 – 2x – 3| = 2x+2
b) \(\sqrt {{x^2} - 4} = 2\left( {x - \sqrt 3 } \right)\)
Giải các bất phương trình sau:
a) \(\sqrt {{x^2} - 4x - 12} \le - 4\)
b) \(\left( {x - 2} \right)\sqrt {{x^2} + 4} \le {x^2} - 4\)
c) \(\sqrt {{x^2} - 8x} \ge 2\left( {x + 1} \right)\)
d) \(\sqrt {x\left( {x + 3} \right)} \le 6 - {x^2} - 3x\)
Với giá trị nào của a, các hệ phương trình sau có nghiệm
a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 5x + 6 < 0\\
ax + 4 < 0
\end{array} \right.\)
b) \(\left\{ \begin{array}{l}
4x + 1 < 7x - 2\\
{x^2} - 2ax + 1 \le 0
\end{array} \right.\)
Trong mỗi câu sau đây, có bốn khẳng định (A), (B), (C) và (D) , trong đó chỉ có một khẳng định đúng. Hãy chọn khẳng định đúng trong mỗi câu đó.
a) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 8 - 5\sqrt 3 \)
A. Dương với mọi x ∈ R
B. Âm với mọi x ∈ R
C. Âm với mọi \(x \in \left( { - 2 - \sqrt 3 ;1 + 2\sqrt 3 } \right)\)
D. Âm với mọi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\)
b) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = \left( {1 - \sqrt 2 } \right){x^2} + \left( {5 - 4\sqrt 2 } \right)x - 3\sqrt 2 + 6\)
A. Dương với mọi x ∈ R
B. Dương với mọi \(x \in \left( { - 3;\sqrt 2 } \right)\)
C. Dương với mọi \(x \in \left( { - 4;\sqrt 2 } \right)\)
D. Âm với mọi x ∈ R
c) Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {\left( {2 - \sqrt 5 } \right){x^2} + \left( {15 - 7\sqrt 5 } \right)x + 25 - 10\sqrt 5 } \)
(A). R
(B). \(\left( { - \infty ;1} \right)\)
(C). [−5;1]
(D). \(\left[ { - 5;\sqrt 5 } \right]\)
a) Tập nghiệm của bất phương trình: \(\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right){x^2} - 2\left( {3\sqrt 2 - 4} \right)x + 6\left( {2\sqrt 2 - 3} \right) \le 0\) là:
(A). \(\left[ { - 2;3\sqrt 2 } \right]\)
(B). \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)
(C). \(\left[ { - 1; + \infty } \right)\)
(D). \(\left[ { - 1;3\sqrt 2 } \right]\)
b) Tập nghiệm của bất phương trình: \(\left( {2 + \sqrt 7 } \right){x^2} + 3x - 14 - 4\sqrt 7 \ge 0\) là:
(A). R
(B). \(\left( { - \infty ; - \sqrt 7 } \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
(C). \(\left[ { - 2\sqrt 2 ;5} \right]\)
(D). \(\left( { - \infty ; - \sqrt 7 } \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\)
c) Tập nghiệm của bất phương trình: \(\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} - 1} \right)}}{{{x^2} + \left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)x + 2 + \sqrt 2 }} \le 0\)
(A). \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right)\)
(B). \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ;1} \right]\)
(C). \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - \sqrt 2 } \right) \cup \left\{ 1 \right\}\)
(D). \(\left[ {1; + \infty } \right)\)
a) Nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 10x - 5} = 2\left( {x - 1} \right)\) là:
(A). \(x = \frac{3}{4}\)
(B). \(x = 3 - \sqrt 6 \)
(C). \(x = 3 + \sqrt 6 \)
(D). \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 3 + \sqrt 6 \\
{x_2} = 2
\end{array} \right.\)
b) Tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {\left( {x + 4} \right)\left( {6 - x} \right)} \le 2\left( {x + 1} \right)\) là:
(A). \(\left[ { - 2;5} \right]\)
(B). \(\left[ {\frac{{\sqrt {109} - 3}}{5};6} \right]\)
(C). [1,6]
(D). [0,7]
c) Tập nghiệm của bất phương trình \(\sqrt {2\left( {x - 2} \right)\left( {x - 5} \right)} > x - 3\) là:
(A). [−100,2]
(B). \(\left( { - \infty ;1} \right]\)
(C). \(\left( { - \infty ;2} \right) \cup \left[ {6; + \infty } \right)\)
(D). \(\left( { - \infty ;2} \right] \cup \left( {4 + \sqrt 5 ; + \infty } \right)\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *