Bài học sẽ giúp các em đi dâu tìm hiểu các vấn đề liên quan đến Bội chung, Bội chung nhỏ nhất, tính chất chia hết cùng các dạng toán liên quan và các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các em dễ dàng nắm được nội dung bài học.
Ví dụ 1: Nhận xét rằng, các số 0, 6, 12, 18,… vừa là bội của 3 vừa là bội của 6, khi đó ta nói “chúng là bội chung của 3 và 6”.
Từ đó, ta có định nghĩa:
Cho hai số a và b. Nếu có một số d thoả mãn:
\(d\,\, \vdots \,\,a\) và \(d\,\, \vdots \,\,b\)
thì d được gọi là bội chung của a và b.
Tập hợp các bội của hai số a và b được kí hiệu là BC(a, b)
Chú ý:
Ta cần chú ý tới:
* Nếu \(x \in BC(a,b,c,...)\) thì \(x\,\, \vdots \,\,a,\,x\,\, \vdots \,\,b,\,x\,\, \vdots \,\,c,...\)
* \(BC(a,b) = B(a)\,\, \cap \,\,B(b)\)
Ví dụ 2: Ta có
B(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30,…}
B(8) = {0, 8, 16, 24, 32, 45,…}
\( \Rightarrow \) BC(6, 8) = {0, 24, 48,…}
khi đó, số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp BC(6, 8) là 24. Ta nói 24 là bội chung nhỏ nhất của 6 và 8.
Từ đó, ta có định nghĩa:
Bội chung nhỏ nhất của a, b là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của a, b. Kí hiệu BCNN(a, b).
Nhận xét:
* BCNN(a, 1) = a.
* BCNN(a, b, 1) = BCNN(a, b).
* Mọi bội chung của a va b đều là BCNN(a, b).
Bài toán: Tìm BCNN(a, b, c,…)
Phương pháp giải
Ta thực hiện theo ba bước sau:
Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số chung và riêng.
Bước 3: Lập tính các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.
Chú ý:
Ta có thể tìm BCNN bằng cách tính sau:
ƯCLN(a, b) . BCNN(a,b) = a.b
Ví dụ 3: Hãy xác định:
a. BCNN(8,18,28)
b. BCNN(9, 26)
c. BCNN(150, 25, 75)
Giải
Ta lần lượt thực hiện:
* Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:
\(\begin{array}{l}8 = {2^3}\\18 = {2.3^2}\\28 = {2^2}.7\end{array}\)
Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng: 2, 3, 7.
Thừa số 2 có số mũ lớn nhất là 3, 3 có số mũ lớn nhất là 2 và 7 có số mũ lớn nhất là 1.
Khi đó:
\(BCNN\left( {8,{\rm{ }}18,{\rm{ }}28} \right) = {2^3}{.3^2}.7 = 504\)
b. Nhận xét rằng:
WCLN(8, 19) = 1
Do đó, suy ra:
BCNN(9, 26) = 9 . 26 = 243.
c. Nhận xét rằng:
\(\begin{array}{l}150\,\,\, \vdots \,\,\,25\\150\,\,\, \vdots \,\,\,75\end{array}\)
Do đó, suy ra:
BCNN(150, 25, 75) = 150
Chú ý:
Ta cần chú ý tới:
* Nếu (a, b) = 1 thì BCNN(a, b) = a.b
* Nếu \(a \vdots b\) và \(a \vdots c\) thì BCNN(a,b,c,…)=a.
* Muốn tìm bội chung của các số đã cho ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.
Bài 1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 3 thì dư 2, khi chia cho 7 thì dư 6, khi chia cho 25 thì dư 24.
Giải
Giả sử a là số phải tìm.
Vì a chia 3 dư 2, chia 7 dư 6 và chia 25 dư 24 nên a + 1 chia hết cho 2, 7, 25.
Do đó
a = BCNN(3, 7, 25)
Ta có:
BCNN(3,7,25) \({3.5^2} = 7 = 525\)
Vậy số cần tìm a = 254.
Bài 2: Có ba chiếc hộp hình vuông: Hộp màu đỏ cao 8cm, hộp màu xanh cao 7cm, hộp màu vàng cao 12cm. Người ta xếp thành ba chông bằng nhau, mỗi chồng một màu. Hỏi chiều cao nhỏ nhất của chồng hộp đó.
Giải
Giả sử chiều cao nhỏ nhất của mỗi chồng là a (cm)
Ta có:
a = BCNN(7, 8, 12) = \({2^3}.3.7 = 168\) (cm)
Vậy chiều cao nhỏ nhất của chồng hộp là 168cm.
Bài 3: Tìm số tự nhiên a. Biết số đó chia hết cho 7 và khi chia cho 2, cho 3, cho 4, cho 5, cho 6 đều dư 1 và a < 400.
Giải
Ta có:
a – 1 = BC(2, 3, 4, 5, 6)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow a - 1 \in {\rm{\{ }}60,120,180,240,300,360\} \\ \Rightarrow a \in {\rm{\{ }}61,121,181,241,301,361\} \end{array}\)
Do \(a \vdots 7\) nên a = 301
Vậy a = 301
Qua bài giảng Bội chung nhỏ nhất này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 6 Bài 18để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tìm BCNN (9; 10; 11)
Tìm bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 6 Bài 18 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 6 tập 1
Bài tập 190 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 18.5 trang 31 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 18.4 trang 31 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 18.3 trang 31 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 18.2 trang 31 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 18.1 trang 31 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 197 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 196 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 195 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 194 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 193 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 192 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 191 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 149 trang 59 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 189 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 188 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 158 trang 60 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 157 trang 60 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 156 trang 60 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 155 trang 60 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 154 trang 59 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 153 trang 59 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 152 trang 59 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 151 trang 59 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 150 trang 59 SGK Toán 6 Tập 1
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 6 DapAnHay
Tìm BCNN (9; 10; 11)
Tìm bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400
Chọn khẳng định sai:
Một số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 15 cuốn, 18 cuốn đề vừa đủ bó. Biết số sách trong khoảng từ 200 đến 500. Tính số sách.
Tìm các bội chung có ba chữ số của 63, 35 và 105
Tìm các bội chung của 15 và 25 mà nhỏ nhất hơn 400
Tìm hai số tự nhiên a và b (a > b) có BCNN bằng 336 và ƯCLN bằng 12.
Trên một đoạn đường có các cột mốc cách nhau 20m được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, ..., 16. Nay người ta cần trồng lại các cột mốc sao cho hai cột mốc liên tiếp chỉ cách nhau 15m. Cột ghi số 1 không phải trồng lại.
a) Cột gần cột số 1 nhất mà không phải trồng lại là cột số mấy?
b) Những cột nào không phải trồng lại?
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 6, 7, 9 được số dư theo thứ tự là 2, 3, 5.
Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số, biết số đó chia hết cho tất cả các số 3, 4, 5, 6.
Điền các từ thích hợp (ước chung, bội chung, ƯCLN, BCNN) vào chỗ trống:
a) 45 = ax (x ∈ N) ;
45 = by (y ∈ N) ;
45 là ... của a và b.
b) 45 = ax (x ∈ N) ;
45 = by (y ∈ N) ;
ƯCLN(x, y) = 1 ;
45 là ... của a và b.
Một bộ phân của máy có hai bánh xe răng cưa khớp với nhau, bánh I có 18 răng cưa, bánh xe II có 12 răng cưa. Người ta đánh dấu “x” vào hai răng cưa khớp với nhau. Hỏi mỗi bánh xe phải quay ít nhất bao nhiêu răng cưa để hai răng cưa đánh dấu ấy lại khớp với nhau ở vị trí giống lần trước? Khi đó mỗi bánh xe đã quay được bao nhiêu vòng?
Một khối học sinh khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều thiếu 1 người nhưng khi xếp hàng 7 thì vừa đủ. Biết số học sinh chưa đến 300. Tính số học sinh
Một niên đội thiếu niên khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều thừa 1 người. tính số đội viên của liên đội biết rằng số đó trong khoảng từ 100 đến 150
Cho biết m ⋮ n, tìm BCNN(m; n). Cho ví dụ
Tìm các bội chung có ba chữ số của 63; 35 và 105
Hai bạn Tùng và Hải thường đến thư viện đọc sách. Tùng cứ 8 ngày đến thư viện 1 lần, Hải 10 ngày 1 lần. Lần đầu cả hai bạn cùng đến thư viện vào một ngày. Hỏi ít nhất bao nhiêu ngày thì hai bạn cùng đến thư viện?
Một số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 15 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ bó. Biết số sách trong khoảng từ 200 đến 500. Tính số sách đó?
Tìm BCNN của:
a) 60 và 280; b) 84 và 108; c) 13 và 15.
Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0, biết rằng a ⋮ 126 và a ⋮ 198
Hai đội công nhân nhận trồng một số cây như nhau. Mỗi công nhân đội I phải trồng 8 cây, mỗi công nhân đội II phải trồng 9 cây. Tính số cây mỗi đội phải trồng, biết rằng số cây đó trong khoảng từ 100 đến 200.
Hai bạn An và Bách cùng học một trường nhưng ở hai lớp khác nhau. An cứ 10 ngày lại trực nhật, Bách cứ 12 ngày lại trực nhật. Lần đầu cả hai cùng trực nhật vào một ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì hai bạn lại cùng trực nhật ?
Tìm số tự nhiên x, biết rằng:
x 12, x 21, x 28 và 150 < x < 300.
Cho bảng:
a | 6 | 150 | 28 | 50 |
b | 4 | 20 | 15 | 50 |
ƯCLN (a, b) | 2 |
|
|
|
BCNN (a, b) | 12 |
|
|
|
ƯCLN(a, b) . BCNN (a, b) | 24 |
|
|
|
a . b | 24 |
|
|
|
a) Điền vào các ô trống của bảng.
b) So sánh tích ƯCLN (a, b) . BCNN (a, b) với tích a . b.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Hãy tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 thỏa mãn a ⋮ 18 và a ⋮ 40
Câu trả lời của bạn
Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 thỏa mãn a ⋮ 18 và a ⋮ 40 nên a = BCNN (18; 40)
Ta có:
18 = 2.32
40 = 23.5
⇒ BCNN(18; 40) = 2.3.32.5 = 360
Tìm số tự nhiên x khi biết : x ⋮ 12; x ⋮ 28; x ⋮ 36 và 150 < x < 300
Câu trả lời của bạn
Vì x ⋮ 12; x ⋮ 28; x ⋮ 36 ⇒ x ∈ BC (21; 28; 36)
21 = 3.7
28 = 22.7
36 = 22.32
⇒ BCNN(21; 28; 36) = 22.32.7 = 252
⇒ BC(21; 28; 36) = B(252) = {0; 252; 504; ...} )
Vì 150 < x < 300 ⇒ x = 252
Hãy thực hiện tìm x biết: \(x \in BC\left( {3;8} \right);20 < x < 50\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l} 3 = 3.1\\ 8 = {2^3}\\ BCNN\left( {3;8} \right) = {3.2^3} = 24\\ \Rightarrow BC\left( {3;8} \right) = B\left( {24} \right) = \left\{ {0;24;48;72;...} \right\}\\ mà\,\,20 < x < 50 \Rightarrow x = 48 \end{array} \)
Tìm \(BCNN\left( {3;8} \right)\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l} 3 = 3.1\\ 8 = {2^3}\\ BCNN\left( {3;8} \right) = {3.2^3} = 24 \end{array} \)
Tìm \(BCNN\left( {12;18} \right)\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l} 12 = {2^2}.3\\ 18 = {2.3^2}\\ \Rightarrow BCNN\left( {12;18} \right) = {2^2}{.3^2} = 36 \end{array} \)
Tìm: \(BCNN\left( {4,9} \right)\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l} 4 = {2^2}\\ 9 = {3^2}\\ \Rightarrow BCNN\left( {4,9} \right) = {2^2}{.3^2} = 36 \end{array} \)
Hãy thực hiện tìm x biết: \(x \in BC\left( {12;18} \right);100 < x < 120\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l} 12 = {2^2}.3\\ 18 = {2.3^2}\\ \Rightarrow BCNN\left( {12;18} \right) = {2^2}{.3^2} = 36\\ \Rightarrow BC\left( {12;18} \right) = B\left( {36} \right) = \left\{ {0;36;72;108;144;180;216;252...} \right\}\\ mà\,\,100 < x < 120 \Rightarrow x = 108 \end{array} \)
Số HS của một trường THCS là số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số mà khi chia số đó cho 5 hoặc cho 6, hoặc cho 7 đều dư 1. Hãy tìm số HS của trường đó.
Câu trả lời của bạn
Gọi số HS của trường là x (x\(\in\)N)
x : 5 dư 1 x – 1 5
x : 6 dư 1 x – 1 6
x : 7 dư 1 x – 1 7
Suy ra x – 1 là BC(5, 6, 7)
Ta có BCNN(5, 6, 7) = 210
BC(5, 6, 7) = 210k (k \(\in\) N)
x – 1 = 210k ⇔ x = 210k + 1 mà x số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số nên x \(\ge\) 1000
Suy ra 210k + 1 \(\ge\) 1000 ⇔ k \(\ge 4\frac{{53}}{{70}}\) (k \(\in\) N) nên k nhỏ nhất là k = 5.
Vậy số HS trường đó là x = 210k + 1 = 210. 5 + 1 = 1051 (học sinh)
Hãy tìm BCNN của 24 và 10
Câu trả lời của bạn
24 = 23. 3
10 = 2. 5
BCNN (24, 10) = 23. 3. 5 = 120
Hãy tìm BCNN của 8, 12 và 15
Câu trả lời của bạn
8 = 23
12 = 22. 3
15 = 3.5
BCNN( 8, 12, 15) = 23. 3. 5 = 120
Một đơn vị bộ đội khi xếp hàng, mỗi hàng có 20 người, hoặc 25 người, hoặc 30 người đều thừa 15 người. Nếu xếp mỗi hàng 41 người thì vừa đủ (không có hàng nào thiếu, không có ai ở ngoài hàng). Cho biết đơn vị có bao nhiêu người, biết rằng số người của đơn vị chưa đến 1000?
Câu trả lời của bạn
Gọi số người của đơn vị bộ đội là x (x N)
x : 20 dư 15 ⇒ x – 15 \( \vdots \) 20
x : 25 dư 15 ⇒ x – 15 \( \vdots \) 25
x : 30 dư 15 ⇒ x – 15 \( \vdots \) 30
Suy ra x – 15 là BC(20, 25, 35)
Ta có 20 = 22. 5; 25 = 52 ; 30 = 2. 3. 5
BCNN(20, 25, 30) = 22. 52. 3 = 300
BC(20, 25, 35) = 300k (k \(\in\) N)
x – 15 = 300k
⇔ x = 300k + 15 mà x < 1000 nên
300k + 15 < 1000 ⇔ 300k < 985 ⇔ k < \(3\frac{{17}}{{60}}\) (k \(\in\) N)
Suy ra k = 1; 2; 3
Chỉ có k = 2 thì x = 300k + 15 = 615 \( \vdots \) 41
Vậy đơn vị bộ đội có 615 người
Hãy tìm BCNN của 60 và 280
Câu trả lời của bạn
\(60 = 2^2. 3 . 5\);
\(280 = 2^3. 5 .7\)
\( BCNN (60, 280) = 2^3. 3 . 5 . 7 = 840\).
Hãy tìm BCNN của 4 và 108
Câu trả lời của bạn
\(84 = 2^2. 3 . 7\);
\(108 = 2^2. 3^3\)
\( BCNN (84, 108) = 2^2. 3^3. 7 = 756\).
Hãy tìm BCNN của 13 và 15
Câu trả lời của bạn
\(13=13\)
\(15=3.5\)
\( BCNN (13, 15) = 3.5.13=195\).
Hãy tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0, biết rằng là \(a\) \(\vdots\) \(15\) và \(a\) \(\vdots\) \(18\).
Câu trả lời của bạn
Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 chia hết cho cả 15 và 18 nên a là BCNN (15, 18).
Phân tích 15 và 18 ra thừa số nguyên tố:
15 = 3.5
\(18=2.3^2\)
\(BCNN(15,18)=2.3^2.5=90\)
Vậy a = 90.
Xác định có bao nhiêu bội chung nhỏ hơn 500 của 30 và 45.
Câu trả lời của bạn
Phân tích 30 và 45 ra thừa số nguyên tố:
30 = 2.3.5
\(45=3^2.5\)
\(BCNN (30, 45) =2.3^2.5=90\).
\(BC (30, 45) =\{0, 90, 180, 270, 360, 450; 540; ...\}\)
Các bội chung của \(30\) và \(45\) mà nhỏ hơn \(500\) là:
0, 90, 180, 270, 360, 450
Hãy tìm số tự nhiên n thỏa mãn 300 < n < 500 sao cho: (n ) chia 15 dư 8, chia 35 dư 13.
Câu trả lời của bạn
Vì n chia 1515 dư 8 nên (n−8) ⋮ 15 (n>8)
⇒ n = 15a + 8 với a ∈ N ⇒ (n+7) ⋮ 15
Vì nnchia 35 dư 13 nên (n−13 )⋮ 35 (n>13) ⇒ n = 35b + 13 (b∈N)
⇒ (n+22) ⋮ 35 (1)
Vì 15 ⋮ 15 nên (n+7+15) ⋮ 15 hay (n+22) ⋮ 15 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ (n+22) ∈ BC(15;35)
Ta có: 15 = 3.5; 35 = 5.7 nên BCNN(15;35) = 3.5.7 = 105
Suy ra (n+22) ∈ B(105) = {0;105;210;315;420;525;...}
Nên n ∈ {83;188;293;398;503;...} mà 300 < n < 500 nên n = 398.
Hãy tìm hai số tự nhiên a, b (a < b). Biết rằng a + b = 20, BCNN(a,b) = 15.
Câu trả lời của bạn
Gọi ƯCLN(a,b) = d ⇒ a = d.m, b = d.n; (m,n) = 1
⇒ a+b = d(m+n) ⇒ d ∈ Ư(a+b) hay d ∈ Ư(20)
Vì BCNN(a,b) = 15 ⇒15 ⋮ d hay d ∈ Ư(15)
⇒ d ∈ ƯC(15;20)
Mà ƯCLN(15;20) = 5 nên d = 1 hoặc d = 5
+) Nếu d=1 ⇒ a.b = 1.15 = 15 = 3.5
Khi đó a+b = 3+5 = 8 (loại)
Hoặc a+b = 1+15 = 16 (loại)
+) Nếu d = 5 thì a.b = 5.15 = 75 = 1.75
Khi đó a+b = 15+5 = 20 (thỏa mãn)
Hoặc a+b = 1+75 = 76 (loại)
Vậy hai số cần tìm là a = 5; b = 15.
Biết một số tự nhiên a khi chia cho 7 dư 4; chia cho 9 dư 6. Hãy tìm số dư khi chia a cho 63.
Câu trả lời của bạn
Vì a chia cho 7 dư 4 ⇒ (a+3) ⋮ 7
a chia cho 9 dư 6 ⇒ (a+3) ⋮ 9
Do đó (a+3) ∈ BC(7;9) mà BCNN(7;9) = 63.
Do đó (a+3) ⋮ 63 ⇒a chia cho 63 dư 60.
Một trường tổ chức cho học sinh đi tham quan bằng ôtô. Nếu xếp 35 hay 40 học sinh lên một ô tô thì đều thấy thiếu mất 5 ghế ngồi. Thực hiện tính số học sinh đi tam quan biết số lượng học sinh đó trong khoảng từ 800 đến 900 em.
Câu trả lời của bạn
Gọi số học sinh đi thăm quan là x (x ∈ N∗; 800 ≤ x ≤ 900) (học sinh)
Nếu xếp 35 hay 40 học sinh lên một ô tô thì đều thấy thiếu mất 5 ghế ngồi nghĩa là thừa ra 5 học sinh nên ta có:
(x−5) ⋮ 35; (x−5) ⋮ 40 suy ra (x−5) ∈ BC(35;40)(x−5)∈BC(35;40).
Ta có 35 = 5.7; 40 = 23.5 nên BCNN(35;40) = 23.5.7 = 280.
Suy ra (x−5) ∈ BC(35;40)= B(280) ={280;560;840;1120;...} mà 800 ≤ x ≤ 900 nên x−5 = 840 hay x = 845.
Vậy số học sinh đi thăm quan là 845 học sinh.
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *