Bài học sẽ giúp các em đi dâu tìm hiểu các vấn đề liên quan đến ước chung, ước chung lớn nhất, tính chất chia hết cùng các dạng toán liên quan và các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các em dễ dàng nắm được nội dung bài học.
Ví dụ 1: Ta có
Ư(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
Ư(15) = {1, 3, 5, 15}
Nhận xét rằng, các số 1, 3 đều là ước của 12 và 15, khi đó ta nói “1 và 3 là các ước chung của 12 và 15”
Từ đó, ta có định nghĩa:
Cho hai số a và b. Nếu có một số d thoả mãn:
\(a\, \vdots \,\,d\) và \(b\,\, \vdots \,\,d\)
thì d được gọi là ước chung của a và b.
Tập hợp các ước chung của hai số a và b được kí hiệu là ƯC(a; b)
Chú ý: Ta cần chú ý tới:
* Nếu \(x \in \) ƯC(a, b, c,…) thì \(a\,\, \vdots \,\,x,\,b\,\, \vdots \,\,x,\,\,c\,\, \vdots \,\,\,x,....\)
* Nếu Ư(a, b) = 1 thì a và b được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau. Kí hiệu (a, b) = 1
* ƯC(a, b) = Ư(a) \( \cap \) Ư(b).
Ví dụ 2: Ta có:
ƯC(12; 15) = {1, 3}
khi đó, ta nói 3 là ước chung lớn nhất của 12 và 15.
Từ đó, ta có định nghĩa:
Ước chung lớn nhất của a, b là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của a, b. Kí hiệu ƯCLN(a, b).
Nhận xét: Nếu \(a\,\, \vdots \,\,b\) thì ƯCLN(a, b) = b
Bài toán: ƯCLN (a, b, c,…)
Phương pháp giải
Ta có thể chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: (Tìm ƯCLN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố):
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.
Bước 3: Lập tích của các thừa số chung đó, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN cần tìm.
Cách 2: (Sử dụng thuật toán Ơclit): Ta thực hiệu theo các bước sau:
Bước 1: Lấy số lớn chia số nhỏ. Giả sử a = b .x + r
* Nếu \(r \ne 0\) ta thực hiện bước 2.
* Nếu r = 0 thì ƯCLN (a, b) = b.
Bước 2: Lấy số chia, chia cho số dư \(b{\rm{ }} = {\rm{ }}r{\rm{ }}.{\rm{ }}y{\rm{ }} + \,\,{r_1}\)
* Nếu \({r_1} \ne 0\) ta thực hiện bước 3.
* Nếu \({r_1} = 0\) thì ƯCLN(a, b) = r.
Bước 3: Quá trình này được tiếp tục cho đến khi được một phép chia hết.
Ta có hai nhận xét sau:
1. Nếu số a chia chết cho m và n mà m, n là hai số nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho tích m.n
\(a\,\, \vdots \,\,m,a\,\, \vdots \,\,n\) và \((m,\,n) = 1 \Rightarrow a\,\, \vdots \,\,m.n\)
2. Nếu tích \(a.b\, \vdots m\) mà b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a phải chia hết cho m.
\(a.b\, \vdots m\) và \((b,m) = 1 \Rightarrow a\,\, \vdots \,\,m\)
Ví dụ 3: Cho ba số a = 28, b = 54, c = 96.
a. Tìm tập hợp các ước của a, b, c.
b. Tìm tập hợp các ước chung của a, b, c.
c. Tìm ước chung lớn nhất của:
a và b b và c a, b và c
Giải
a. Ta có:
Ư(28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28}
Ư(54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54}
Ư(96) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96}
b. Ta có:
ƯC(28, 54, 96) = {1, 2}
c. Ta có:
\(\begin{array}{l}28 = {2^2}.7\\54 = {2.3^2}\\96 = {2^3}.3\end{array}\)
Ta được:
ƯCLN(a, b) = 2
ƯCLN(b,c) = \({2^2}\) =4
ƯCLN(a,b,c)=2.
Ví dụ 4: Sử dụng thuật toán Ơclit để tìm:
a. ƯCLN(174, 18)
b. ƯCLN(124, 16)
Giải
a. Ta thực hiện theo các bước:
* Lấy 174 chia cho 18, ta được:
174 = 9 . 18 + 12
* Lấy 18 chia cho 12, ta được:
18 = 1. 12 + 6
* Lấy 12 chia cho 6, ta được:
12 = 2.6 + 0
Vậy ƯCLN(174,18) = 6
b. Ta thực hiện theo các bước:
* Lấy 124 chia cho 16, ta được:
124 = 7 . 16 + 12
* Lấy 16 chia cho 12, ta được:
16 = 1 . 12 + 4
* Lấy 12 chia cho 4, ta được:
12 = 3 . 4 + 0
Vậy, ƯCLN(124, 16) = 4
Bài 1: Trong đợt tổng kết cuối năm, có 135 quyển vở, 80 thước kẻ, 169 bút bi. Cô giáo chia thành các phần thưởng đến nhau, mỗi phần thưởng gồm cả ba loại. Sau khi chia, còn thừa 15 quyển vở, 8 thước kẻ và 1 bút bi không đủ chia vào các phần thưởng. Tính xem có bao nhiêu phần thưởng và mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, bao nhiêu thước kẻ, bao nhiêu bút bi?
Giải
Giả sử a là số phần thưởng.
Ta có:
Số quyển vở đã chia: 135 – 15 = 120.
Số thước kẻ đã chia: 80 – 8 = 72.
Số bút bi đã chia: 169 – 1 = 168.
Do đó, a = ƯC(72, 120, 168) và a > 15.
\( \Rightarrow a = 24.\)
Vậy, có 24 phần thưởng. Mỗi phần thưởng có 5 quyển vở, 3 thước kẻ và 7 bút bi.
Bài 2: Tìm giao của hai tập hợp A và B biết:
a. A = {1, 4, 6} và B = {1, 2, 3, 5, 6, 7}
b. A là tập hợp các số tự nhiên chẵn và B là tập hợp các số tự nhiên lẻ.
Giải
a. Ta có:
A = {1, 4, 6} và B = {1, 2, 3, 5, 6, 7}
Vậy \(A \cap B = {\rm{\{ }}1,6\} \)
b. Ta có:
A là tập hợp các số tự nhiên chẵn và B là tập hợp các số tự nhiên lẻ.
Vậy, \(A \cap B = \,\emptyset \)
Bài 3: Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng:
A = 8a + 3 và B = 5a + 2
là hai số nguyên tố cùng nhau.
Giải
Gọi d là ước chung của hai số A và B.
Do đó:
\((8a + 3b) \vdots d\) và \((5a + 2b) \vdots d \Rightarrow 5(8a + 3b) \vdots d\) và \(8(5a + 2b) \vdots d\)
\( \Rightarrow 8(5a + 2b) - 5(8a + 3b)\,\, \vdots \,\,d \Rightarrow \,b\,\, \vdots \,\,d\) (1)
Lại có:
\(2(8a + 3b) \vdots d\) và \(3(5a + 2b)\,\, \vdots \,\,d\)
\( \Rightarrow 2(8a + 3b) - 3(5a + 2b)\,\, \vdots \,\,d\, \Rightarrow a\,\, \vdots \,\,d\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
d = ƯC(a, b)
Mà (a,b) = 1 \( \Rightarrow \) d = 1 \( \Rightarrow \) ƯC(8a + 3b, 5a + 2b) = 1.
Vậy, hai số A = 8a + 3b và B = 5a + 2b là hai số nguyên tố cùng nhau
Qua bài giảng Ước chung lớn nhất này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 6 Bài 17để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tìm ƯCLN (210, 30, 1)?
Tìm ƯCLN (84, 168)
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 6 Bài 17 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Toán 6 tập 1
Bài tập 179 trang 28 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 17.5 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 17.4 trang 30 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 17.3 trang 29 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 17.2 trang 29 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 17.1 trang 29 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 187 trang 29 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 186 trang 29 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 185 trang 29 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 184 trang 29 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 183 trang 29 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 182 trang 29 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 181 trang 29 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 180 trang 28 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 139 trang 56 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 178 trang 28 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 177 trang 28 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 176 trang 28 SBT Toán 6 Tập 1
Bài tập 148 trang 57 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 147 trang 57 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 146 trang 57 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 145 trang 56 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 144 trang 56 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 143 trang 56 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 142 trang 56 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 141 trang 56 SGK Toán 6 Tập 1
Bài tập 140 trang 56 SGK Toán 6 Tập 1
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán DapAnHay sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 6 DapAnHay
Tìm ƯCLN (210, 30, 1)?
Tìm ƯCLN (84, 168)
Tìm ƯC(12; 30)?
Tìm số tự nhiên a biết rằng 264 chia a dư 24 và 363 chia a dư 43
Tìm ƯCLN (48; 168; 360)
Tìm số tự nhiên x, biết rằng 112 x, 140 x và 10 < x < 20.
Lan có một tấm bìa hình chữ nhật kích thước 75cm và 105cm. Lan muốn cắt tấm bìa thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết, không còn thừa mảnh nào. Tính độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông (số đo cạnh của hình vuông nhỏ là một số tự nhiên với đơn vị là xentimét).
Tìm các ước chung lớn hơn 20 của 144 và 192.
Tìm số tự nhiên a lớn nhát, biết rằng 420 a và 700 a.
Tìm ƯCLN rồi tìm các ước chung của:
a) 16 và 24; b) 180 và 234; c) 60, 90, 135.
Có hai số nguyên tố cùng nhau nào mà cả hai đều là hợp số không ?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Bài 3: Tìm ƯCLN, BCNN:
a) ƯCLN (18, 42, 60) b) BCNN (20, 36, 45)
Câu trả lời của bạn
b.
Đội văn nghệ của một trường có \(48\) nam và \(72\) nữ về một huyện để biểu diễn. Muốn phục vụ đồng thời tại nhiều địa điểm, đội dự định chia thành các tổ gồm cả nam và nữ, số nam được chia đều vào các tổ, số nữ cũng vậy. Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu tổ ? Khi đó mỗi tổ có bao nhiêu nam, bao nhiêu nữ ?
Câu trả lời của bạn
Vì số nam và số nữ được chia đều vào các tổ và số tổ nhiều nhất nên số tổ là \(ƯCLN (48, 72)\).
Phân tích \(48\) và \(72\) ra thừa số nguyên tố:
\(48 = 2^4. 3\)
\(72 = 2^3. 3^2\)
\(ƯCLN (48, 72) = 2^3. 3 = 24\).
Vậy có thể chia được nhiều nhất thành \(24\) tổ.
Khi đó mỗi tổ có số nam là \(48: 24 =2\) (người), có số nữ là \(72: 24 = 3\) (người).
Biết Mai và Lan mỗi người mua cho tổ mình một số hộp bút chì màu. Mai mua \(28\) bút, Lan mua \(36\) bút. Số bút trong các hộp bút đều bằng nhau và số bút trong mỗi hộp lớn hơn \(2\). Gọi số bút trong mỗi hộp là \(a\). Hãy tìm quan hệ giữa số \(a\) với mỗi số \(28, 36, 2\).
Câu trả lời của bạn
Vì số bút trong mỗi hộp bằng nhau (là \(a\)) và lớn hơn \(2\) nên \(28\, \vdots \,a,\,36\, \vdots \,a\) và \( a > 2\).
Biết Lan có một tấm bìa hình chữ nhật kích thước \(75cm\) và \(105cm\). Lan muốn cắt tấm bìa thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết, không còn thừa mảnh nào. Tính độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông (số đo cạnh của hình vuông nhỏ là một số tự nhiên với đơn vị là xentimét).
Câu trả lời của bạn
Gọi độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông là \(a\; (cm)\)
Ta phải có \(75\,\, \vdots \,\,a,\,105\, \vdots \,a\) và \(a\) lớn nhất nên \(a\) là \(ƯCLN(75,105)\).
Phân tích \(75\) và \(105\) ra thừa số nguyên tố:
\(75 = 3 . 5^2;\)
\(105 = 3 . 5 . 7\)
\(ƯCLN (75, 105) =3.5= 15\).
Vậy độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông bằng \(15\,cm\).
Hãy cho biết các ước chung lớn hơn \(20\) của \(144\) và \(192\).
Câu trả lời của bạn
Phân tích \(144\) và \(192\) ra thừa số nguyên tố:
\(144=2^4.3^2\)
\(192=2^6.3\)
\(ƯCLN (144, 192)=2^4.3=48\)
Ước chung lớn hơn \(20\) của \(144\) và \(192\) là ước của \(48\) và lớn hơn \(20\). Đó là \(24;48\).
Chú ý: \(Ư(48)={\rm{\{ }}1;2;3;4;6;8;12;16;24;48\} \)
Hãy cho biết số tự nhiên \(a\) lớn nhất, biết rằng \(420\) \(\vdots\) \(a\) và \(700\) \(\vdots\) \(a\).
Câu trả lời của bạn
Vì \(a\) là số tự nhiên sao cho \(420\) \(\vdots\) \(a\) và \(700\) \(\vdots\) \(a\) nên \(a\) là \(ƯCLN(420,700)\).
Phân tích \(420\) và \(700\) ra thừa số nguyên tố:
\(\eqalign{
& 420 = {2^2}.3.5.7 \cr
& 700 = {2^2}{.5^2}.7 \cr} \)
\(Ư CLN(420,700)=2^2.5.7=140\)
Vậy \(a=140.\)
Hãy tìm \(ƯCLN\) rồi tìm các ước chung của số: \(60, 90, 135\).
Câu trả lời của bạn
Phân tích \(60,90,135\) ra thừa số nguyên tố:
\(60 = 2^2. 3 . 5\);
\(90 = 2 . 3^2. 5\);
\(135 = 3^3. 5\).
\(ƯCLN (60, 90, 135) = 3 . 5 = 15\)
\(ƯC (60, 90, 135)=Ư(15)= \left\{1; 3; 5; 15\right\}\).
Hãy tìm \(ƯCLN\) rồi tìm các ước chung của số: \(180\) và \(234\);
Câu trả lời của bạn
Phân tích \(180\) và \(234\) ra thừa số nguyên tố:
\(180 = 2^2. 3^2. 5\);
\(234 = 2 . 3^2. 13\);
\(ƯCLN (180, 234) = 2 . 3^2= 18\)
\(ƯC (180, 234)=Ư(18) =\left\{1; 2; 3; 6; 9; 18\right\}\)
Hãy tìm \(ƯCLN\) rồi tìm các ước chung của số: \(16\) và \(24\);
Câu trả lời của bạn
Phân tích \(16\) và \(24\) ra thừa số nguyên tố:
\(16=2^4\)
\(24=2^3.3\)
\(ƯCLN (16, 24) =2^3= 8\)
\(ƯC (16, 24)=Ư(8) =\left\{1; 2; 4; 8\right\}\);
Hãy tìm ƯCLN của: \(15\) và \(19\).
Câu trả lời của bạn
Phân tích \(15\) và \(19\) ra thừa số nguyên tố:
\(15=3.5\)
\(19=19\)
\(ƯCLN (15, 19) = 1\).
Hãy tìm ƯCLN của: \(60\) và \(180\);
Câu trả lời của bạn
Phân tích \(60\) và \(180\) ra thừa số nguyên tố:
\(60=2^2.3.5\)
\(180=2^2.3^2.5\)
\(ƯCLN (60, 180) = 2^2.3.5=60\);
Hãy tìm ƯCLN của: \(24, 84, 180\);
Câu trả lời của bạn
Phân tích \(24,84,180\) ra thừa số nguyên tố:
\(24 = 2^3. 3\);
\(84 = 2^2. 3 . 7\);
\(180 = 2^2. 3^2. 5\).
\(ƯCLN (24, 84, 180) = 2^2. 3 = 12\).
Hãy tìm ƯCLN của: \(56\) và \(140\);
Câu trả lời của bạn
Phân tích \(56\) và \(140\) ra thừa số nguyên tố:
\(56 = 2^3. 7\);
\(140 = 2^2. 5 . 7\)
\(ƯCLN (56, 140) = 2^2. 7 = 28.\)
Câu trả lời của bạn
\(ƯC (a,b) = {\rm{\{ }}1;2;3;6;7;14;21;42\} \)
Điền vào chỗ trống chấm, biết: \(ƯCLN (a,b,c) = 8\), \(ƯC (a,b,c) = …\)
Câu trả lời của bạn
\(ƯC (a,b,c) = {\rm{\{ }}1;2;4;8\} \)
Thực hiện tìm \(ƯC\left( {9;21} \right)\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l} ƯC\left( {9;21} \right)\\ 9 = {3^2}\\ 21 = 3.7\\ \Rightarrow ƯCLN\left( {9;21} \right) = 3\\ \Rightarrow ƯC\left( {9;21} \right) = Ư\left( 3 \right) = \left\{ {1;3} \right\} \end{array} \)
Thực hiện tìm \(ƯC\left( {4;16;22} \right) \)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l} ƯC\left( {4;16;22} \right)\\ 4 = {2^2}\\ 16 = {2^4}\\ 22 = 2.11\\ \Rightarrow ƯCLN\left( {4;16;22} \right) = 2\\ \Rightarrow ƯC\left( {4;16;22} \right) = Ư\left( 2 \right) = \left\{ {1;2} \right\} \end{array}\)
Thực hiện tìm \(ƯC\left( {12;16;21} \right)\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l} ƯC\left( {12;16;21} \right)\\ 12 = {2^2}.3\\ 16 = {2^4}\\ 21 = 3.7\\ \Rightarrow ƯCLN\left( {12;16;21} \right) = 1\\ \Rightarrow ƯC\left( {12;16;21} \right) = Ư\left( 1 \right) = \left\{ 1 \right\} \end{array} \)
Thực hiện tìm \(ƯC\left( {120;160;210} \right)\)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l} ƯC\left( {120;160;210} \right)\\ 120 = {2^3}.3.5\\ 160 = {2^5}.5\\ 210 = 2.3.5.7\\ \Rightarrow ƯCLN\left( {120;160;210} \right) = 2.5 = 10\\ \Rightarrow ƯC\left( {120;160;210} \right) = Ư\left( {10} \right) = \left\{ {1;2;5;10} \right\} \end{array}\)
Thực hiện tìm \(ƯC\left( {30;42;8} \right) \)
Câu trả lời của bạn
\(\begin{array}{l} ƯC\left( {30;42;48} \right)\\ 30 = 2.3.5\\ 42 = 2.3.7\\ 48 = {2^4}.3\\ \Rightarrow ƯCLN\left( {30;42;8} \right) = 2.3 = 6\\ \Rightarrow ƯC\left( {30;42;8} \right) = Ư\left( 6 \right) = \left\{ {1;2;3;6} \right\} \end{array} \)
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *