Dưới đây là lý thuyết và bài tập minh họa về Hệ thức lượng trong tam giác Toán 10 Kết nối tri thức đã được DapAnHay biên soạn ngắn gọn, đầy đủ, dễ hiểu giúp các em dễ dàng nắm được nội dung chính của bài.
Định lí côsin. Trong tam giác ABC: \(\begin{array}{l} |
---|
Ví dụ: Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {120^0}\) và AB = 5, AC = 8. Tính độ dài cạnh BC.
Giải
Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC, ta có:
\(\begin{array}{l}
B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.cos{120^0}\\
= {5^2} + {8^2} - 2.5.8.\left( { - \frac{1}{2} = 129} \right)
\end{array}\)
Vậy \(BC = \sqrt {129} \)
Định lí sin. Trong tam giác ABC: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\) |
---|
Ví dụ: Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {135^0},\widehat C = {15^0}\) và b = 12. Tính a, c, R và số đo góc B.
Giải
Ta có: \(\widehat B = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat C} \right) = {180^0} - \left( {{{135}^0} + {{15}^0}} \right) = {30^0}\)
Áp dụng định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin {{135}^0}}} = \frac{{12}}{{\sin {{30}^0}}} = \frac{c}{{\sin {{15}^0}}} = 2R\)
Suy ra:
\(\begin{array}{l}
a = \frac{{12}}{{\sin {{30}^0}}}.\sin {135^0} = 12\sqrt {12} ;\\
c = \frac{{12}}{{\sin {{30}^0}}}.\sin {15^0} = 24\sin {15^0}\left( { \approx 6,21} \right);\\
R = \frac{{12}}{{2\sin {{30}^0}}} = 12
\end{array}\)
Việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc của một tam giác khi biết một sô yêu tô của tam giác đó được gọi là giải tam giác.
Ví dụ: Giải tam giác ABC, biết \(c = 14,\widehat A = {60^0},\widehat B = {40^0}\).
Giải
Ta có: \(\widehat C = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {80^0}\)
Áp dụng định lí sin, ta có: \(\frac{a}{{\sin {{60}^0}}} = \frac{b}{{\sin {{40}^0}}} = \frac{{14}}{{\sin {{80}^0}}}\)
Suy ra: \(a = \frac{{14\sin {{60}^0}}}{{\sin {{80}^0}}} \approx 12,31;b = \frac{{14\sin {{40}^0}}}{{\sin {{80}^0}}} \approx 9,14\)
Chú ý: Áp dụng các định li côsin, sin và sử dụng máy tính cằm tay, ta có thể tính (gần đúng) các cạnh và các góc của một tam giác trong các trường hợp sau:
Công thức tính diện tích tam giác ABC: \(\begin{array}{l} |
---|
Ví dụ: Cho tam giác ABC có a = 13, b = 14, c = 15.
a) Tính sinA.
b) Tính diện tích S bằng hai cách khác nhau.
Giải
a) Áp dụng định lí côsin, ta có: \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{14}^2} + 15 - {{13}^2}}}{{420}} = 0,6\)
Do đó \(\sin A = \sqrt {1 - co{s^2}A} = 0,8\)
b) Ta có \(S = \frac{1}{2}bc\sin A = 84\).
Áp dụng công thức Heron, ta cũng có thể tính S theo cách thứ hai như sau:
Tam giác ABC có nửa chu vi là: \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{13 + 14 + 15}}{2} = 21\)
Khi đó \({S_{ABC}} = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {21.(21 - 13).(21 - 14).(21 - 15)} = \sqrt {21.8.7.6} = 84\)
Câu 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và \(\widehat A = {45^o}\). Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC
\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - \,2b\,c.\cos A\quad (1)\\{b^2} = {a^2} + {c^2} - \,2a\,c.\cos B\quad (2)\end{array}\)
(trong đó: AB = c, BC = a và AC = b)
Ta được: \(B{C^2} = {a^2} = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.\cos {45^o} = 89 - 40\sqrt 2 \)\( \Rightarrow BC \approx 5,7\)
Từ (2) suy ra \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}\,}}{{2a\,c}}\);
Mà: a = BC =5,7; b =AC = 8; c =AB =5.
\( \Rightarrow \cos B \approx \frac{{ - 217}}{{1900}} \Rightarrow \widehat B \approx {97^o} \Rightarrow \widehat C \approx {38^o}\)
Vậy tam giác ABC có BC = 5,7, \(\widehat B = {97^o},\widehat C = {38^o}\)
Câu 2:
Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và \(\widehat B = {80^o}\). Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cạnh còn lại của tam giác.
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
\(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin C = \frac{{c.\sin B}}{b} = \frac{{5.\sin {{80}^o}}}{8} \approx 0,6155\\ \Leftrightarrow \widehat C \approx {38^o}\end{array}\)
Lại có: \(\widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {80^o} - {38^o} = {62^o}\)
Theo định lí sin, ta suy ra \(a = \sin A.\dfrac{b}{{\sin B}} = \sin {62^o}\dfrac{8}{{\sin {{80}^o}}} \approx 7,17\)
Và \(2R = \dfrac{b}{{\sin B}} \Rightarrow R = \dfrac{b}{{2\sin B}} = \dfrac{8}{{2\sin {{80}^o}}} \approx 4,062.\)
Vậy tam giác ABC có \(\widehat A = {62^o}\); \(\widehat C \approx {38^o}\); \(a \approx 7,17\) và \(R \approx 4,062.\)
Câu 3: Tính diện tích tam giác ABC có \(b = 2,\;\widehat B = {30^o},\;\widehat C = {45^o}\).
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
\(\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)
\( \Rightarrow c = \sin C.\frac{b}{{\sin B}} = \sin {45^o}.\frac{2}{{\sin {{30}^o}}} = 2\sqrt 2 \)
Lại có: \(\;\widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {30^o} - {45^o} = {105^o}\)
Do đó diện tích tích S của tam giác ABC là:
\(S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}.2.2\sqrt 2 .\sin {105^o} = 1 + \sqrt 3 .\)
Vậy diện tích tam giác ABC là \(1 + \sqrt 3 \).
Qua bài giảng trên sẽ giúp các em nắm được các nội dung như sau:
- Định lý Côsin trong tam giác, cách chứng minh định lý côsin trong tam giác.
- Nắm được cách tìm số đo các góc của tam giác khi biết độ dài 3 cạnh, nắm công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác.
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Chương 3 Bài 6để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Tam giác ABC có \(A B=2, A C=1 \text { và }\hat A=60^{\circ}\) . Tính độ dài cạnh BC .
Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3 , cạnh AB = 9 và \(\widehat {ACB} = {60^0}\) . Tính độ dài cạnh cạnh BC .
Tam giác ABC có \(A B=\sqrt{2}, A C=\sqrt{3} \text { và } \hat{C}=45^{\circ}\). Tính độ dài cạnh BC .
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Chương 3 Bài 6để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Hoạt động 1 trang 38 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 2 trang 38 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Câu hỏi trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Khám phá trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 1 trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Trải nghiệm trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Vận dụng 1 trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 3 trang 39 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 2 trang 40 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 3 trang 40 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Vận dụng trang 40 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 4 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Hoạt động 5 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Luyện tập 4 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Thảo luận trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Vận dụng 3 trang 41 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 3.5 trang 42 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 3.6 trang 42 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 3.7 trang 42 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 3.8 trang 42 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 3.9 trang 43 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 3.10 trang 43 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Giải bài 3.11 trang 43 SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 1 - KNTT
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 10 DapAnHay
Tam giác ABC có \(A B=2, A C=1 \text { và }\hat A=60^{\circ}\) . Tính độ dài cạnh BC .
Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm của AB và BC bằng 3 , cạnh AB = 9 và \(\widehat {ACB} = {60^0}\) . Tính độ dài cạnh cạnh BC .
Tam giác ABC có \(A B=\sqrt{2}, A C=\sqrt{3} \text { và } \hat{C}=45^{\circ}\). Tính độ dài cạnh BC .
Tam giác ABC có \(A B C \text { со } A=60^{\circ}, A C=10, A B=6\). Tính cạnh BC
Cho tam giác ABC có \(A=(10 ; 5), B=(3 ; 2) \text { và } C=(6 ;-5)\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho góc \(\widehat {x O y}=30^{\circ}\) . Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB =1. Khi OB có độ dài lớn nhất thì độ dài của đoạn OA bằng:
Tam giác MPQ vuông tại P . Trên cạnh MQ lấy hai điểm E F , sao cho các góc \(\begin{equation}\widehat{M P E}, \widehat{E P F}, \widehat{F P Q}\end{equation}\) bằng nhau. Đặt \(\begin{equation}M P=q, P Q=m, P E=x, P F=y\end{equation}\). Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng?
Tam giác ABC có \(A B=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}, B C=\sqrt{3}, C A=\sqrt{2}\) . Gọi D là chân đường phân giác trong góc A . Khi đó góc ADB bằng bao nhiêu độ?
Tam giác ABC có \(A B=4, B C=6, A C=2 \sqrt{7}\) . Điểm M thuộc đoạn BC sao cho MC=2 MB . Tính độ dài cạnh AM.
Cho hình thoi ABCD cạnh bằng 1 cm và có \(\widehat {B A D}=60^{\circ}\) . Tính độ dài cạnh AC .
Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao 5m. Từ một vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là \({50^o}\)và \({40^o}\) so với phương nằm ngang (H.3.18).
a) Tính các góc của tam giác ABC.
b) Tính chiều cao của tòa nhà.
Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một các xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).
Để tránh núi, giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *