Với bài học này chúng ta sẽ làm quen và tìm hiểu những tính chất của Hình chữ nhật, cùng với các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung bài học.
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. Từ định nghĩa này, ta suy ra:
- Hình chữ nhật là hình thang cân có một góc vuông.
- Hình chữ nhật là hình bình hành có một góc vuông.
Vì hình chữ nhật là hình thang cân và cũng là hình bình hành nên nó có các tính chất của hình thang cân và các tính chất của hình bình hành, đặc biệt là:
Trong một hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Ngược lại, một tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác đó là hình chữ nhật.
- Hình chữ nhật có một tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.
- Hình chữ nhật có hai trục đối xứng là hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) đi qua các trung điểm của hai cạnh đối diện.
Các trục đối xứng của hình chữ nhật đi qua tâm đối xứng, vuông góc với các cạnh, và vuông góc với nhau.
Để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật, ta có thể chứng minh nó có một trong bốn tính chất sau:
* Có ba góc vuông
* Là hình thang cân có một góc vuông
* Là hình bình hành có một góc vuông
* Có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, hoặc là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.
Chú ý:
1. Từ tính chất của hình chữ nhật, ta suy ra một tính chất quan trọng của tam giác vuông, được phát biểu trong định lí sau:
Định lí:
- Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền
- Ngược lại, trong một tam giác, nếu đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh bằng một nửa cạnh đối diện thì tam giác đó là tam giác vuông.
Định lí này thường được sử dụng để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau và phần ngược lại được sử dụng để chứng minh một tam giác vuông.
2. Từ tính chất của hình chữ nhật, ta cũng có một kết quả quan trọng khác là:
“Những điểm cách một đường thẳng cho trước a một khoảng không đổi h nằm trên hai đường thẳng song song với a và cách a một khoảng bằng h”.
5. Đường thẳng song song cách đều
Định lí:
- Nếu các đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì nếu chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau.
- Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều.
Ví dụ 1: Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H và giao điểm của các đường trung trực là điểm O. Gọi P, Q, N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AH, AC.
1. Chứng minh tứ giác OPQN là hình bình hành.
2. Tam giác ABC phải có điều kiện gì để tứ giác OPQN là hình chữ nhật?
Giải
1. O là giao điểm của các đường trung trực nên:
\(OP \bot AB;\,\,\,\,ON \bot AC\)
Trong \(\Delta AHC,\) QN là đường trung bình nên QN//HC.
Mà \(HC \bot AB\) nên \(QN \bot AB.\)
Vậy OP // QN (1)
Chứng minh tương tự, ta có
ON // PQ (2)
(1) và (2) suy ra đpcm
2. Để OPQN là hình chữ nhật thì
\(PQ \bot QN \Rightarrow HB \bot HC.\)
Rõ ràng trong trường hợp này điểm H phải trùng với điểm A, tức là tam giác ABC vuông tại đỉnh A.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, đỉnh A; kẻ phân giác AD. Qua D dựng đường thẳng song song với AB, đường này cắt cạnh AC tại điểm E. Qua E ta kẻ đường thẳng song song với BC, đường thẳng song song với BC, đường này cắt AB tại điểm F.
1. Chứng minh AE = BF
2. Xác định hình dạng của tam giác ABC trong trường hợp điểm E là trung điểm của cạnh AC.
Giải
1. Tứ giác BDEF là hình bình hành cho ta
BF = ED (1)
\(DE = AB \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{A_1}}\)
Giả thiết cho \(\widehat {{A_2}} = \widehat {{A_1}}\)
Vậy \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{A_2}} \Rightarrow \Delta AED\)cân
Suy ra AE = ED (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
2. Khi E là trung điểm AC thì \(DE = \frac{1}{2}AC\)
\( \Rightarrow \Delta ADC\) vuông tại D hay AD là đường cao của \(\Delta ABC.\) Giả thiết cho AD là phân giác góc A. Vậy \(\Delta ABC\) cân tại A.
Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật ABCD. Từ đỉnh B kẻ BH vuông góc với đường chéo AC (H thuộc AC). Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AH, AB, NC và DC.
1. Chứng minh \(MP = \frac{1}{2}NC.\)
2. Chứng minh \(BM \bot MQ\)
Giải
1. Trong \(\Delta ABH\), MN là đường trung bình: MN // BH
\( \Rightarrow \Delta NMC\) vuông đỉnh M, MP là trung tuyến thuộc cạnh huyền NC nên
\(MP = \frac{1}{2}NC\)
2. Tứ giác BNQC là hình chữ nhật; P là giao điểm của hai đường chéo; NC = BQ
Suy ra \(MP = \frac{1}{2}BQ\)
Tam giác BMQ có trung tuyến MP bằng nửa cạnh tương ứng BQ. Vậy nó là tam giác vuông tại đỉnh M, suy ra \(BM \bot MQ.\)
Bài 1: Cho tam giác ABC. Từ đỉnh A, ta kẻ các đường AP, AQ theo thứ tự vuông góc với các tia phân giác ngoài của góc B; các đường thẳng AR, AS theo thứ tự vuông góc với các tia phân giác trong và phân giác ngoài của góc C. Chứng minh:
1. Các tứ giác APBQ, ARCS là các hình chữ nhật.
2. Bốn điểm Q, R, P, S thẳng hàng.
3. \(QS = \frac{1}{2}(AB + BC + CA).\)
4. Tam giác ABC phải thoả mãn điều kiện gì để APBQ là hình vuông? Từ đó suy ra rằng không thể có trường hợp cả hai tứ giác APBQ và ARCS đều là hình vuông.
Giải
1. BP là phân giác trong, BP là phân giác ngoài của góc tại đỉnh B, nên
\(BP \bot BQ \Rightarrow \widehat {QBP} = {90^0}\)
Tứ giác APBQ có bốn góc vuông nên nó là hình chữ nhật.
Với tứ giác ARCS cũng lí luận tương tự.
2. Gọi M là giao điểm của AB và QP. Tứ giá APBQ là hình chữ nhật, suy ra M là trung điểm của AB.
Ta cũng có: \(\widehat {{P_1}} = \widehat {{B_2}}\) mà \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_1}}\)
\( \Rightarrow \widehat {{P_1}} = \widehat {{B_1}} \Rightarrow MP//BC.\)
QP đi qua trung điểm M của AB và QP // BC, suy ra hai điểm P, Q nằm trên đường trung bình ứng với cạnh BC.
Lí luận tương tự, ta cũng có hai điểm R, S cũng nằm trên đường trung bình ứng với cạnh BC.
3. Trong tam giác vuông AQB thì
\(QM = \frac{1}{2}AB.\)
Tương tự, \(NS = \frac{1}{2}AC\)
Mặt khác \(MN = \frac{1}{2}BC\)
\( \Rightarrow QS = QM + MN + NS = \frac{1}{2}(AB + BC + CA)\)
4. Để APBQ là hình vuông thì \(AB \bot QP\) mà QP // BC nên \(AB \bot BC \Rightarrow \Delta ABC\) vuông đỉnh B.
Để ARCS là hình vuông thì \(AC \bot RS\) mà RS // BC nên \(AC \bot BC \Rightarrow \Delta ABC\) vuông đỉnh C.
Vì \(\Delta ABC\) không thể vừa vuông tại C nên không thể xảy ra trường hợp cả hai tứ giác APBQ và ARCS đều là hình vuông.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Từ một điểm D trên đáy BC ta kẻ đường vuông góc với BC, đường này cắt AB ở E và cắt AC ở điểm F. Vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK. Gọi I, J theo thứ tự là tâm của các hình chữ nhật BDEH và CDFK và M là trung điểm của đoạn thẳng AD.
1. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng HK là một điểm cố định, không phụ thuộc vào vị trí của điểm D trên cạnh BC.
2. Chứng minh ba điểm I, M, J thẳng hàng và ba đường thẳng AD, HJ, KI đồng quy.
3. Khi điểm D di chuyển trên cạnh BC thì điểm M di chuyển trên đoạn thẳng nào?
Giải
1. Ta có: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\) mà \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}} \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{C_1}}\)
\( \Rightarrow ID//AC\) (1)
Ta cũng có \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{C_1}}\) mà \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{B_1}} \Rightarrow \widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}}\)
\( \Rightarrow JD//AB\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AIDJ là hình bình hành, cho ta:
AJ // ID và AJ = ID
Suy ra AJ // HI và AJ = HI
\( \Rightarrow \) AHIJ là hình bình hành, cho ta:
IJ // AH và IJ = AK (1)
Tương tự, ta có:
IJ // AK và IJ = AK (2)
Từ (1) và (2), dựa vào tiên đề Ơclit, suy ra ba điểm H, A, K thẳng hàng và AH = AK hay A là trung điểm của HK.
2. Tứ giác AIDJ là hình bình hành nên trung điểm M của AD phải nằm trên IJ.
Trong tam giác DHK thì DA, KI và HJ là các trung tuyến nên chúng đồng quy.
3. Khi D thay đổi trên BC thì HK luôn đi qua điểm cố định A và M di chuyển trên đường trung bình ứng với cạnh BC của tam giác ABC.
Bài 3: Cho tam giác ABC, kẻ đường cao BE, CD và gọi H là trực tâm của tam giác. M, N, K theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng BC, AH và DE.
1. Chứng minh rằng ba điểm M, N, K thẳng hàng
2. Dựa vào kết quả trên suy ra rằng nếu ta gọi P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của AB, HC, AC, HB thì ba đường thẳng MN, PQ, RS đồng quy.
Giải
1. Trong tam giác vuông ADH ta có:
\(DN = \frac{1}{2}AH\)
Tương tự ta có: \(EN = \frac{1}{2}AH\)
Vậy ND = NE.
\( \Rightarrow \) Điểm N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.
Ta cũng có: \(DM = \frac{1}{2}BC\) và \(EM = \frac{1}{2}BC\)
\( \Rightarrow MD = ME\)
Từ (1) và (2) suy ra M, N và trung điểm K của DE là ba điểm thẳng hàng.
2. Từ kết quả trên ta suy ra PQ là trung trực của EF và RS là trung trực của DF. Trong tam giác DEF, ba đường trung trực MN, PQ, RS đồng quy.
Qua bài giảng Hình chữ nhật này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 9 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
Dấu hiệu nhận biết nào dưới đây là chưa đúng?
Cho ta, giác ABC vuông tại A, AM là trung tuyến. Biết BC = 10 cm. Hỏi AM =?
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 8 Bài 9để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 58 trang 99 SGK Toán 8 Tập 1
Bài tập 59 trang 99 SGK Toán 8 Tập 1
Bài tập 60 trang 99 SGK Toán 8 Tập 1
Bài tập 61 trang 99 SGK Toán 8 Tập 1
Bài tập 62 trang 99 SGK Toán 8 Tập 1
Bài tập 63 trang 100 SGK Toán 8 Tập 1
Bài tập 64 trang 100 SGK Toán 8 Tập 1
Bài tập 65 trang 100 SGK Toán 8 Tập 1
Bài tập 66 trang 100 SGK Toán 8 Tập 1
Bài tập 106 trang 93 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 107 trang 93 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 108 trang 93 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 109 trang 93 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 110 trang 93 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 111 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 112 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 113 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 114 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 115 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 116 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 117 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 118 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 119 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 120 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 121 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 122 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 123 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 9.1 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 9.2 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 9.3 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 8 DapAnHay
Dấu hiệu nhận biết nào dưới đây là chưa đúng?
Cho ta, giác ABC vuông tại A, AM là trung tuyến. Biết BC = 10 cm. Hỏi AM =?
Cho hình chữa nhật ABCD có AB = 5 cm và diện tích hình chư nhật là 40 cm2. Hỏi độ dài đường chéo bằng bao nhiêu?
Cho một tam giác vuông có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài 6 cm, thì cạnh huyền có độ dài bằng bao nhiêu?
Chọn ý sai
Điền vào chỗ trống, biết rằng a, b là độ dài các cạnh, d là độ dài đường chéo của một hình chứ nhật.
Chứng minh rằng:
a) Giao điểm hai đường chéo cuẩ hình chữ nhật là tâm đối xứng củahình chữ nhật đó.
b) Hai đường thẳng đi qua trung điểm hai cặp cạnh đối của hình chữ nhật là hai trục đối xứng của hình chữ nhật đó.
Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 7cm và 24cm.
Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Tứ giác AHCE là hình gì ? Vì sao ?
Các câu sau đúng hay sai ?
a) Nếu tam giác ABC vuông tại C thì điểm C thuộc đường tròn có đường kính là AB (h.88)
b) Nếu điểm C thuộc đường tròn có đường kính là AB (C khác A và B) thì tam giác ABC vuông tại C(h.89).
Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác cảu các góc A, B, C, D cắt nhau như trên hình 91. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.
Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ?
Đố. Một đội công nhân đang trồng cây trên đoạn đường AB thì gặp chướng ngại vật che lấp tầm nhìn (h.92). Đội đã dựng các điểm C, D, E như trên hình vẽ rồi trồng cây tiếp trên đoạn thẳng EF vuông góc với DE. Vì sao AB và EF cùng nằm trên một đường thẳng ?
Tính đường chéo d của một hình chữ nhật, biết độ dài các cạnh a = 3cm, b = 5cm (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Chứng minh rằng trong hình chữ nhật:
a. Giao điểm của hai đường chéo là tâm đối xứng của hình.
b. Hai đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối là hai trục đối xứng của hình.
Tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 5cm và 10cm (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)
Tính x trên hình 16 (đơn vị đo : cm)
Chứng minh rằng các tia phân giác các góc của một hình bình hành cắt nhau tao thành một hình chữ nhật.
Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA . Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ?
Tìm các hình chữ nhật trên hình 17 (trong hình 17b, O là tâm của đường tròn)
Các câu sau đúng hay sai ?
a. Hình chữ nhật là tứ giác có tất cả các góc bằng nhau.
b. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
c. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình chữ nhật.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 4cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC.
a. Tứ giác ADME là hình gì ? Tính chu vi của tứ giác đó.
b. Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC thì đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất ?
Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì ? Vì sao ?
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Biết HD = 2cm, HB = 6cm. Tính các độ dài AD, AB (làm tròn đến hàng đơn vị).
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *