Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE. Gọi H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ B, C đến đường thẳng DE. Chứng minh rằng EH = DH
HD: Vẽ điểm I là trung điểm của DE, điểm M là trung điểm của BC.
Hướng dẫn giải
Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác
+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông đường trung tuyến tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy
Lời giải chi tiết
BH ⊥ DE (gt)
CK ⊥ DE (gt)
Suy ra BH // CK nên tứ giác BHKC là hình thang
Ta có: Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của DE
Trong tam giác BDC vuông tại D có DM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC.
⇒ DM = \({1 \over 2}\) BC (tính chất tam giác vuông)
Trong tam giác BEC vuông tại E có EM là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BC.
⇒ EM = \({1 \over 2}\)BC (tính chất tam giác vuông)
Suy ra: DM = EM nên ∆ MDE cân tại M
MI là đường trung tuyến nên MI là đường cao ⇒ MI ⊥ DE
Suy ra: MI // BH // CK
BM = MC
Suy ra: HI = IK (tính chất đường trung bình hình thang)
⇒ HE + EI = ID + DK
mà EI = ID ( theo cách vẽ)
⇒ HE = DK
-- Mod Toán 8