Với bài học này chứng ra sẽ làm quen với một khái niệm mới Đối xứng trục, cùng với các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung bài học.
Định nghĩa: Hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.
A và B đối xứng qua d \( \Leftrightarrow \) d là trung trực của AB
Nếu điểm \(M \in d\) thì điểm đối xứng với M qua d cũng chính là điểm M.
a. Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng qua d với một điểm thuộc hình kia và ngược lại.
b. Tính chất:
Định lý: Nếu hai đoạn thẳng AB và A’B’ có các điểm A và A’, B và B’ đối xứng nhau qua đường thẳng d thì hai đoạn thẳng đó bằng nhau và đối xứng với nhau qua đường thẳng d.
c. Chú ý: Ta có
Hình đối xứng qua một đường thẳng d của:
- Một đường thẳng là một đường thẳng
- Một đoạn thẳng là một đoạn thẳng
- Một góc là một góc bằng nó
- Một tam giác là một tam giác bằng nó.
- Một đường tròn là một đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã cho.
a. Định nghĩa: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình F nếu điểm đối xứng của mỗi điểm của mỗi hình F qua đường thẳng d cũng thuộc hình F.
b. Một số trục đối xứng quen thuộc
- Một đoạn thẳng có trục đối xứng là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.
- Một góc có trục đối xứng là tia phân giác của góc.
- Hai đường thẳng giao nhau có trục đối xứng là hai đường thẳng chứa các phân giác của các góc do hai đường thẳng tạo nên; hai trục đối xứng này vuông góc với nhau.
- Tam giác cân có một trục đối xứng là đường cao cũng là phân giác, trung tuyến, thuộc cạnh đáy. Tam giác đều có ba trục đối xứng.
- Hình thang cân có trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy.
Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B nằm trong hai nửa mặt phẳng đối nhau, bờ là đường thẳng a cho trước. Tìm trên đường thẳng a một điểm sao cho hiệu các khoảng cách từ M đến hai điểm A, B có giá trị lớn nhất.
Giải
Gọi B’ là điểm đối xứng với điểm B qua đường thẳng a.
Nối AB’ đường thẳng AB’ cắt đường thẳng a tại điểm M. Đó chính là điểm M cần tìm.
Vì MB = MB’ và ba điểm A, B’, M thẳng hàng nên:
|MA – MB| = |MA – MB’| = AB’
Ta chứng minh rằng với mọi điểm \(M' \in a\) mà \(M' \ne M\) thì hiệu:
|M’A – M’B| > |MA – MB|
Thật vậy, ta có M’B’ = M’B, suy ra:
|M’A – M’B| = |M’A – M’B’|
Trong tam giác AM’B’, theo bất đẳng thức tam giác, ta có:
\(\left| {M'A - M'B'} \right| \le \left| {MA - MB} \right|\)
Dấy “=” xảy ra chỉ khi M’ trùng với M.
Chú ý: Trường hợp đặc biệt, khi AB’ song song với a, tức là hai điểm A, B cách đều đường thẳng a thì điểm M cần tìm là giao điểm của AB với đường thẳng a.
Ví dụ 2: Cho góc nhọn xOy và một điểm M thuộc miền ngoài của góc ấy.
Gọi: \({M_1}\) là điểm đối xứng của M qua Ox
\({M_2}\) là điểm đối xứng của M qua Oy
I là trung điểm của đoạn thẳng \({M_1}{M_2}.\)
1. Xác định trục đối xứng mà qua đó \({M_1}\)và \({M_2}\) là hai điểm đối xứng với nhau.
2. Hai tia OM và OI đối xứng với nhau qua trục là đường thẳng nào?
Giải
1. M và \({M_1}\)là đối xứng với nhau qua Ox
\( \Rightarrow O{M_1} = OM\)
M và \({M_2}\)là đối xứng với nhau qua Oy
\( \Rightarrow O{M_2} = OM\)
Vậy \(O{M_1} = O{M_2}\)
\( \Rightarrow \Delta O{M_1}{M_2}\) cân;
Vậy OI là đường trung trực của \({M_1}{M_2}.\)
2. Kẻ tia phân giác Oz của góc xOy.
Dễ thấy \(\widehat {{M_1}OM} = \widehat {2MOx} = 2(\widehat {MOy} + \widehat {xOy})\)
\(\begin{array}{l}\widehat {{M_2}OM} = 2\widehat {MOy}\\ \Rightarrow \widehat {{M_1}O{M_2}} = 2\widehat {xOy}.\end{array}\)
Từ đây, ta có: \(\widehat {{M_1}OI} = \frac{1}{2}\widehat {{M_1}O{M_2}} = \widehat {xOy}\) (1)
Ta cũng có \(\widehat {{M_1}Ox} = \widehat {MOx}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {IOx} = \widehat {MOy}\) (3)
Vì Oz là tia phân giác của xOy, nên \(\widehat {xOz} = \widehat {yOz}\) (4)
Từ (3) và (4) ta có: \(\widehat {MOz} = \widehat {IOz}\)
Vậy Oz là tia phân giác của góc \(\widehat {MOI}\) hay OM và OI đối xứng với nhau qua Oz.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A. Kẻ đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng của điểm H qua AB, AC. Chứng minh rằng:
1. Điểm A là trung điểm của đoạn thẳng DE.
2. DE = 2AH.
Giải
1. D và H đối xứng với nhau qua AB nên AD = AH.
Tam giác DAH cân tại đỉnh A mà \(AB \bot DH\) nên AB cũng là phân giác của góc DAH, suy ra: \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_3}}\)
Tương tự, ta có AE =AH và \(\widehat {{A_2}} = \widehat {{A_4}}\)
Từ các kết quả trên ta có:
\(\widehat {{A_3}} + \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {{A_4}} = 2(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}) = {2.90^0} = {180^0}\)
\( \Rightarrow \) Ba điểm D, A, E thẳng hàng (1)
Ta cũng có AD = AE (2)
Từ (1) và (2) suy ra A là trung điểm của DE.
2. Ta có ngay AD = AH và AE = AH
\(\Rightarrow DE = AD + AE = 2AH\)
Bài 1: Cho tam giác ABC. Kẻ đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là các điểm đối xứng của điểm H qua các cạnh AB, AC. Đường thẳng DE cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh:
1. Tam giác DAE là tam giác cân.
2. HA là phân giác của góc MHN.
3. Ba đường thẳng BN, CM và AH đồng quy.
4. BN, CM là các đường cao của tam giác ABC.
Giải
1. Ta có AD = AH và AE = AH
Suy ra AD = AE.
2. Do tính chất đối xứng, ta suy ra AB là phân giác của góc DMH
Kẻ \(AI \bot HM\) và \({\rm{AJ}} \bot DM\)
\( \Rightarrow AI = {\rm{AJ}}\,\,\,(1)\)
AC là phân giác của góc ENH, kẻ \(AK \bot HN\), ta có:
AK = AJ (2)
Từ (1) và (2) suy ra AI = AK. Điểm A cách đều hai cạnh của góc MHN.
Vậy HA là tia phân giác của góc MHN.
3. Chứng minh tương tự, ta có:
CM là tia phân giác của góc HMN
BN là tia phân giác của góc MNH.
Trong tam giác MHN, các đường phân giác trong HA, MC, NB phải đồng quy tại một điểm.
4. AB là phân giác của góc DMH; MC là phân giác của góc MHN mà hai góc DMH và MHN là hai góc kề bù. Vậy \(MC \bot AB.\)
\( \Rightarrow \) CM là đường cao của \(\Delta ABC\)
Tương tự, ta có BN là đường cao của \(\Delta ABC\).
Bài 2: Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc ấy. Tìm trên cạnh Ox một điểm B, trên cạnh Oy một điểm C sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Giải
Lấy điểm \({A_1}\) đối xứng với A qua Ox
\({A_2}\) đối xứng với A qua Oy
Ta có
\(\begin{array}{l}AB = {A_1}B\\AC = {A_2}C\\ \Rightarrow AB + BC + CA = {A_1}B + BC + {A_2}C\end{array}\)
Mà \({A_1}B + BC + {A_2}C\) nhỏ nhất khi bốn điểm \({A_1},B,C,{A_2}\) thẳng hàng. Do vậy để tìm hai điểm B và C, ta làm như sau:
- Lấy điểm \({A_1}\) đối xứng với A qua Ox và điểm \({A_2}\) đối xứng với A qua Oy.
- Nối \({A_1}{A_2},\)đường thẳng này cắt Ox tại B và cắt Oy tại C.
Tam giác ABC vừa vẽ là tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Thật vậy, với mọi điểm \(B' \in Ox\) mà \(B' \ne B\) và \(C' \in Oy\) mà \(C' \ne C\) thì chu vi tam giác AB’C’ là:
\(\begin{array}{l}AB' + B'C' + C'A = {A_1}B' + C'B' + B'{A_1} > {A_1}{A_2}\\ \Rightarrow AB' + B'C' + C'A > AB + BC + CA.\end{array}\)
Chú ý: Nhờ vào bất đẳng thức tam giác, ta có thể chứng minh mệnh đề: “Độ dài đường gấp khúc thì lớn hơn độ dài đoạn thẳng có chung hai đầu mút với đường gấp khúc”.
Bài 3: Cho hình thang vuông ABCD (AB // CD)
Gọi E, F theo thứ tự các điểm đối xứng của điểm B và điểm A qua đường thẳng DC; G; H theo thứ tự là các điểm đối xứng của điểm C và điểm E qua đường thẳng AD.
1. Chứng minh điểm D là trung điểm của các đoạn thẳng BH.
2. Chứng minh AH // BF và CH // BG.
Giải
1. Gọi I là giao điểm của BE và DC, do tính chất đối xứng, ta có:
BI = IE mà IE = DF
\( \Rightarrow BI = DF\)
Ta cũng có DI = HF
\( \Rightarrow \) Hai tam giác vuông BID và DFH bằng nhau cho ta
DB = DH (1) và \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\)
\( \Rightarrow \widehat {{D_1}} + \widehat {{D_2}} + \widehat {{D_3}} = \widehat {{D_1}} + \widehat {{B_1}} + {90^0} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Vậy H, D, B thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) suy ra D là trung điểm của đoạn thẳng BH.
2. Dễ dàng chứng minh \(\Delta ADH = \Delta FDB \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{F_1}} \Rightarrow AH//BF\)
\(\Delta BDG = \Delta HDC \Rightarrow \widehat {{G_1}} = \widehat {{C_1}} \Rightarrow CH//BG\)
Qua bài giảng Đối xứng trục này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 6 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
Chọn phát biểu đúng
Chọn phát biểu sai
Hình đối xứng qua một đường thẳng d của:
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 8 Bài 6để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 35 trang 87 SGK Toán 8 Tập 1
Bài tập 36 trang 87 SGK Toán 8 Tập 1
Bài tập 37 trang 87 SGK Toán 8 Tập 1
Bài tập 38 trang 88 SGK Toán 8 Tập 1
Bài tập 39 trang 88 SGK Toán 8 Tập 1
Bài tập 40 trang 88 SGK Toán 8 Tập 1
Bài tập 41 trang 88 SGK Toán 8 Tập 1
Bài tập 42 trang 89 SGK Toán 8 Tập 1
Bài tập 60 trang 86 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 61 trang 87 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 62 trang 87 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 63 trang 87 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 64 trang 87 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 65 trang 87 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 66 trang 87 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 67 trang 87 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 68 trang 87 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 69 trang 88 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 70 trang 88 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 71 trang 88 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 72 trang 88 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 6.1 trang 88 SBT Toán 8 Tập 1
Bài tập 6.2 trang 88 SBT Toán 8 Tập 1
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 8 DapAnHay
Chọn phát biểu đúng
Chọn phát biểu sai
Hình đối xứng qua một đường thẳng d của:
Trục đối xứng của hình thang cân là?
Cho đoạn AB = 5 cm A1B1 đối xứng với AB qua d, độ dài A1B1=?
Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C' đối xứng với nhau qua d biết AB = 6cm, AC =8 và chu vi tam giác ABC là 24cm. Hỏi B'C' =?
Vẽ hình đối xứng với cá hình đã cho qua trục d (h.58).
Cho góc xOy có số đo 500, điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm C đối xứng với A qua Oy.
a) So sánh các độ dài OB và OC.
b) Tính số đo góc BOC.
Tìm các hình có trục đối xứng trên hình 59.
Thực hành. Cắt một tấm bìa hình tam giác cân, một tấm bìa hình thang cân. Hãy cho biết đường nào là trục đối xứng của mỗi hình, sau đó gấp mỗi tấm bìa để kiểm tra lại điều đó.
a) Cho hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d (h.60). Gọi C là điểm đối xứng với A qua d. Gọi D là giao điểm của đường thẳng d và đoạn thẳng BC. Gọi E là điểm bất kì của đường thẳng d (E khác D).
Chứng minh rằng AD + DB < AE + EB.
b) Bạn Tú đang ở vị trí A, cần đến bờ sông d lấy nước rồi đi đến vị trí B (h.60). Con đường ngắn nhất mà bạn Tú nên di là con đường nào?
Trong các biển báo giao thông sau đấy, biển nào có trục đối xứng ?
a) Biển nguy hiểm: đường hẹp hai bên (h.61a)
b) Biển nguy hiểm: đường giao với đường sắt có rào chắn (h.61b)
c) Biển nguy hiểm: đường ưu tiên gặp đường không ưu tiên bên phải (h.61c)
d) Biên nguy hiểm khác (h.61d)
Các câu sau đúng hay sai ?
a) Nếu ba điểm thẳng hàng thì ba điểm đối xứng với chúng qua một trục cũng thẳng hàng.
b) Hai tam giác đối xứng với nhau qua một trục thì có chu vi bằng nhau.
c) Một đường tròn có vô số trục đối xứng.
d) Một đoạn thẳng chỉ có một trục đối xứng.
Đố.
a) Hãy tập cắt chứ D (h. 62a) bằng cách gấp đôi tờ giấy. Kể tên một vài chữ cái khác (kiểu chứ in hoa) có trục đối xứng.
b) Vì sao ta có thể gấp tờ giấy làm tư để cắt chứ H (h. 62b) ?
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat A = {70^0}\), điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC.\) Vẽ điểm \(D\) đối xứng với \(M\) qua \(AB,\) vẽ điểm \(E\) đối xứng với \(M\) qua \(AC.\)
\(a)\) Chứng minh rằng \(AD = AE.\)
\(b)\) Tính số đo góc \(DAE.\)
Cho tam giác nhọn \(ABC\) có \(\widehat A = {60^0}\), trực tâm \(H.\) Gọi \(M\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(BC.\)
\(a)\) Chứng minh \(∆ BHC = ∆ BMC.\)
\(b)\) Tính \(\widehat {BMC}\)
Cho hình thang vuông \(ABCD\) \(\left( {\widehat A = \widehat D = {{90}^0}} \right)\). Gọi điểm \(H\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(AD,\) \(I\) là giao điểm của \(CH\) và \(AD.\) Chứng minh rằng \(\widehat {AIB} = \widehat {DIC}\)
Cho hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy (AB không vuông góc với xy). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua xy, C là giao điểm của A’B và xy. Gọi M là điểm bất kì khác C thuộc đường thẳng xy. Chứng minh rằng AC + CB < AM + MB.
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\) đường cao \(AH.\) Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(I,\) trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(K\) sao cho \(AI = AK.\) Chứng minh rằng điểm \(I\) đối xứng với điểm \(K\) qua \(AH.\)
Tứ giác \(ABCD\) có \(AB = BC,\) \(CD = DA\) (hình cái diều). Chứng minh rằng điểm \(A\) đối xứng với điểm \(C\) qua đường thẳng \(BD.\)
Tam giác ABC có AB < AC. Gọi d là đường trung trực của BC. Vẽ điểm K đối xứng với điểm A qua đường thẳng d.
a. Tìm các đoạn thẳng đối xứng với đoạn thẳng AB qua d, đối xứng với đoạn thẳng AC qua d.
b. Tứ giác AKCB là hình gì? Vì sao?
Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường phân giác của góc ngoài đỉnh C (M khác C). Chứng minh rằng AC + CB < AM + MB.
Trong các hình nét đậm vẽ trên giấy kẻ ô vuông ở hình 4, hình 5, hình nào có trục đối xứng ?
Vẽ hình đối xứng qua đường thẳng \(d\) của hình đã vẽ \((h.6).\)
Điền dấu “x” vào ô thích hợp:
Câu khẳng định | Đúng | Sai |
a. Tam giác có một trục đối xứng là tam giác cân | ||
b. Tam giác có một trục đối xứng là hình thang cân | |
Chứng minh rằng giao điểm hai đường chéo của hình thang cân nằm trên trục đối xứng của hình thang cân.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *