Với bài học này chúng ta sẽ tìm hiểu về Hình lăng trụ đứng, cùng với các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng ghi nhớ kiến thức
Hình lăng trụ đứng là hình có:
- Hai đáy là hai đa giác phẳng bằng nhau và nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau.
- Các cạnh bên thì vuông góc với các mặt phẳng chứa các đa giác đáy. Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình chữ nhật.
Các cạnh bên của lăng trụ đứng thì song song với nhau và bằng nhau, độ dài cạnh bên là chiều cao của lăng trụ đứng.
Người ta gọi tên các hình lăng trụ theo tên của đa giác đáy: lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác,…
Hình lăng trụ đứng mà đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều.
a. Hình hộp đứng
Một hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.
Trong hình hộp đứng thì:
- Các mặt đáy là các hình bình hành.
- Các mặt bên đối diện là các hình chữ nhật bằng nhau.
b. Hình hộp chữ nhật
Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng, có đáy là hình chữ nhật.
Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật, các mặt đối diện thì bằng nhau.
c, Hình lập phương
Hình lập phương là hình có 6 mặt là các hình vuông.
Ta kí hiệu:
\({S_{xq}}:\) Diện tích xung quanh
\({S_{tp}}:\) Diện tích toàn phần
V: thể tích
p: nửa chu vi đáy
h: Chiều cao
B: Diện tích đáy
a, b, c: là các kích thước của hình chữ nhật.
| Hình lăng trụ, hình hộp đứng | Hình hộp chữ nhật kích thước a, b, c | Hình lập phương cạnh a |
\({S_{xq}}\) | 2p.h | 2(a+b)c | \(4{a^2}\) |
\({S_{tp}}\) | 2(p.h+B) | 2(ab+bc+ca) | \(6{a^2}\) |
V | B.h | abc | \({a^3}\) |
Ví dụ 1: Chứng minh rằng các đường chéo của một hình chữ nhật thì bằng nhau.
Giải
Ta tính đường chéo A’C.
\(\Delta ABC\) vuông tại B nên: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\) (1)
\(\Delta {\rm{AA}}' \bot \,mp(ABCD) \Rightarrow {\rm{AA}}' \bot AC\)
\( \Rightarrow \Delta {\rm{A}}'AC\) vuông tại A nên: \(A'{C^2} = A{C^2}{\rm{ + AA}}{'^2}\)
Vậy (1) và (2) suy ra: \(A'{C^2} = A{B^2} + A{C^2} + {\rm{A'}}{{\rm{A}}^2}\)
Vậy: Bình phương của đường chéo hình hộp chữ nhật thì bằng tổng bình phương của ba chiều của hình hộp chữ nhật.
Từ đây suy ra các đường chéo của hình hộp chữ nhật thì bằng nhau.
Ví dụ 2: Một lăng trụ tam giác đều cạnh đáy là a, chiều cao là h. Tính \({S_{xq}},\,{S_{tp}}\) và V của hình lăng trụ.
Giải
Lăng trụ tam giác đều là lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều.
Gọi H là trung điểm của BC.
\(\Delta ABC\) đều: \(HB = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}a\)
\(\Delta AHB\) vuông tại H: \(A{H^2} = AB - B{H^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\)
\( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow B = {S_{ABC}} = \frac{1}{2}BC.AH = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Ta có: \({S_{xq}} = 3.AB.AA' = 3a.h\)
\({S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_{day}} = 3ah + 2\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = a\left( {\frac{{h + a\sqrt 3 }}{4}} \right)\)
\(V = B.h = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.h = \frac{{{a^2}h\sqrt 3 }}{4}.\)
Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng bình phương các cạnh của hình hộp chữ nhật thì bằng tổng bình phương của các đường chéo.
Giải
Ta có: \(A'{C^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)
\(\begin{array}{l}A'{C^2} = A{B^2} + B{C^2} + AA{'^2}\\B'{D^2} = A{B^2} + A{D^2} + BB{'^2}\\C'{A^2} = D{C^2} + B{C^2} + CC{'^2}\\D'{B^2} = D{C^2} + A{D^2} + DD{'^2}\end{array}\)
\( \Rightarrow \) với \(AB = DC = A'B' = D'C'\)
\(\begin{array}{l}BC = AD = A'D' = B'C'\\{\rm{AA'}} = {\rm{ BB'}} = {\rm{ CC'}} = {\rm{DD}}'\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A'{C^2} + B'{D^2} + C'{A^2} + D'{B^2} = A{B^2} + A'B{'^2} + D{C^2} + D'C{'^2} + A{D^2} + B{C^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + B'C{'^2} + A'D{'^2} + {\rm{AA}}{{\rm{'}}^2} + BB{'^2} + CC{'^2} + {\rm{DD}}{'^2}.\end{array}\)
Nếu gọi các cạnh là a, b, c đường chéo là d, ta có:
\(4{d^2} = 4({a^2} + {b^2} + {c^2}).\)
Bài 1: Có 12 khối vuông hình lập phương cạnh 5cm. Người ta muốn xếp chúng vào các hộp có hình dạng là hình hộp chữ nhật.
1. Có bao nhiêu cách xếp vào các loại hộp hình hộp chữ nhật?
2. Người ta dùng giấy màu bọc các hộp ấy. Trong các cách xếp, cách nào tiết kiệm nhất (dùng ít giấy màu nhất, không kể các mép dán)?
Giải
1. Muốn xếp được 12 khối lập phương vào các hình hộp chữ nhật thì hình hộp chữ nhật phải chọn sao cho trên mỗi cạnh của nó phải chứ một số nguyên các khối lập phương nghĩa là số các khối lập phương xếp theo mỗi cạnh của hình hộp phải là một ước của 12. Số 12 có các ước tự nhiên là 1; 2; 3; 4; 6; 12. Do vậy ta có thể xếp theo các cách sau:
a) Xếp theo 1 x 1 x 12.
Cách xếp này cho ta một hình hộp chữ nhật có kích thước 5 x 5 x 60 (cm)
b) Xếp theo 1 x 2 x 6.
Cách xếp này cho ta một hình hộp chữ nhật có kích thước 5 x 10 x 30 (cm)
c) Xếp theo 1 x 3 x 4.
Cách xếp này cho ta một hình hộp chữ nhật có kích thước 5 x 15 x 20 (cm)
d) Xếp theo 2 x 2 x 3.
Cách xếp này cho ta một hình hộp chữ nhật có kích thước 10 x 10 x 15 (cm).
2. Áp dụng công thức:
\({S_{tp}} = 2(ab + bc + ca)\)
Ta tính ra diện tích toàn phần của các hình hộp chữ nhật a), b), c), d) như sau:
\(\begin{array}{l}a){\rm{ }}1250(c{m^2})\,\,\\b)\,\,1000(c{m^2})\,\\c)\,\,950(c{m^2})\,\\d)\,\,800(c{m^2})\,\end{array}\)
Như vậy, ta thấy hình hộp d) có diện tích toàn phần nhỏ nhất nghĩa là ta sử dụng ít giấy màu nhất để bao nó.
Vậy cách xếp d) là tiết kiệm nhất.
Bài 2: Người ta đào một đoạn mương dài 20m, sâu 1,5m. Trên bề mặt có chiều rồng 1,8m và đáy mương là 1,2m
1. Tính thể tích khối đất phải đào lên.
2. Người ta chuyển khối đất đi để rải lên một miến đất chữ nhật có kích thước 30 x 60m. Số đất được chuyển bằng một chiếc ô tô có thể chở mỗi chuyến \(6{m^3}\) đất. Hỏi:
a) Bề dày của lớp đất rải trên miếng đất?
b) Số chuyến ô tô cần để tải hết khối đất.
Giải
1. Thể tích cần tính coi như thể tích của một lăng trụ đứng chiều cao 20cm, đáy là hình thang cân có cạnh đáy lớn 1,8m, cạnh đáy nhỏ 1,2m và chiều cao 1,5
Đáp số: \(45\,\,({m^3})\)
2.
a. Bề dày của lớp đất rải trên miếng đất là 0,25m
b. Số chuyến ô tô cần để tải hết khối đất là 8 chuyến.
Bài 3: Một hộp đựng phấn có hình dạng hình chữ nhật kích thước 162mm x 91mm và cao 89mm, được xếp các viên phấn cũng có dạng hình hộp, đáy là hình vuông, cạnh 1cm và chiều cao mỗi viên phấn là 88mm. Xếp dựng đứng trong hộp. Tính:
1. Tổng số viên phấn.
2. Thể tích hộp đựng phấn
3. Thể tích hộp không sử dụng đến.
Giải
1. Tổng số viên phấn là 144 viên phấn
2. Thể tích hộp đựng phấn là 1301738 \((m{m^3})\)
3. Thể tích hộp không sử dụng đến là 34538 \((m{m^3})\)
Trên đây là bài học Hình học 8 Bài 4 Hình lăng trụ đứng và hướng dẫn Giải bài tập Hình học 8 Bài 4sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đến Hình lăng trụ đứng. Để củng cố kiến thức các em có thể làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 4. Các em cũng có thể nêu thắc mắc của mình ở phần Hỏi đáp Hình học 8 Bài 4để được giải đáp. Cộng đồng Toán DapAnHay chúc các em học thật tốt bài học này.
-- Mod Toán Học 8 DapAnHay
Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là
Một lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật có các kích thức 3cm, 8cm. Chiều cao của hình lăng trụ đứng là 2cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình lăng trụ đứng.
Cho một hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là S , chiều cao là h . Hỏi công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng là gì
Cho lăng trụ đứng có kích thước như hình vẽ. Số nào trong các số sau đây là thể tích của hình lăng trụ đứng đó?
Tính thể tích của hình lăng trụ đứng có chiều cao 20cm, đáy là một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 8cm và 10cm.
Một hình hộp chữ nhật có đường chéo bằng 3dm , chiều cao 2dm , diện tích xung quanh bằng 12 dm2. Tính thể tích của hình hộp chữ nhật.
Một hình lăng trụ đứng có đáy là hình thoi với các đường chéo của đáy bằng 16cm và 30cm . Diện tích toàn phần của hình lăng trụ bằng 1840 cm2. Tính chiều cao của hình lăng trụ.
Một hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh bằng 100cm2, chiều cao bằng 5cm. Tìm các kích thước của đáy để hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất
Một hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh bằng 120cm2, chiều cao bằng 6cm . Tìm các kích thước của đáy để hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất.
Quan sát các hình lăng trụ đứng trong hình 39 rồi điền số thích hợp vào các ô trống ở bảng dưới đây:
Hình | a) | b) | c) | d) |
Số cạnh của một đáy | 3 |
|
|
|
Số mặt bên |
| 4 |
|
|
Số đỉnh |
|
| 12 |
|
Số cạnh bên |
|
|
| 5 |
Vẽ lại các hình sau vào vở rồi vẽ thêm các cạnh vào các hình 40b, c, d, e để có một hình hộp hoàn chỉnh ( như hình 40a)
ABC.A‘B’C’ là một hình lăng trụ đứng tam giác (h.41)
a) Những cặp mặt nào song song với nhau ?
b) Những cặp mặt nào vuông góc với nhau ?
c) Sử dụng kí hiệu // và ⊥ để điền vào các ô trống ở bảng sau :
Vẽ theo hình 42a rồi cắt và gấp lại để thành hình 42b
Trong các hình vẽ sau đây, hình vẽ nào biểu diễn một hình lăng trụ đứng?
Một lăng trụ đứng, đáy là một tam giác thì lăng trụ đó có:
A. 6 mặt, 9 cạnh, 5 đỉnh
B. 5 mặt, 9 cạnh, 6 đỉnh
C. 6 mặt, 5 cạnh, 9 đỉnh
D. 5 mặt, 6 cạnh, 9 đỉnh
Kết quả nào trên đây là đúng?
Hãy cho biết
a) Một lăng trụ đứng có 6 mặt thì đáy của hình lăng trụ là hình gì?
b) Một lăng trụ đứng có 8 mặt thì đáy của hình lăng trụ là hình gì?
Hình vẽ biểu diễn một lăng trụ đứng có đáy là tam giác. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là đúng?
a. Các cạnh bên AB và AD vuông góc với nhau;
b. Các cạnh bên BE và EF vuông góc với nhau;
c. Các cạnh bên AC và DF vuông góc với nhau
d. Các cạnh bên AC và DF song song với nhau;
e. Hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) song song với nhau;
f. Hai mặt phẳng (ACFD) và (BCFE) song song với nhau;
g. Hai mặt phẳng (ABED) và (DEF) vuông góc với nhau.
ABCD.XYHK là một lăng trụ đứng có đáy là một hình chữ nhật.
a. Quan sát hình và chỉ ra những cặp mặt phẳng song song với nhau.
b. Những cặp mặt phẳrig nào vuông góc với nhau?
c. Hai mặt phẳng (BCHY) và (KXYH) có vuông góc với nhau hay không?
d. Sử dụng kí hiệu // và ⊥ để điền vào các ô trống ở bảng sau:
Quan sát các hình khai triển trên hình vẽ dưới rồi cho biết: Cạnh nào sẽ được ghép với cạnh AB để được hình lăng trụ đứng (sử dụng các số cho trên hình)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *