Với bài học này chúng ta sẽ cùng làm quen và tìm hiểu về một số bài toán liên quan đến Tính chất đường phân giác của tam giác
* Đường phân giác trong của một tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy.
* Đường phân giác ngoài tại một đỉnh của tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn thẳng ấy.
\(\begin{array}{l}\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\\\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\end{array}\)
Như vậy, chân các đường phân giác trong và phân giác ngoài của một góc tại một đỉnh của tam giác là các điểm chia trong và chia ngoài cạnh đối diện theo tỉ số bằng tỉ số của hai cạnh bên tương ứng.
\(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\)
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với AB = c, AC = b, BC = a. Kẻ tia phân giác AD của góc A.
1. Tính độ dài các đoạn thẳng BD, CD.
2. Đường thẳng song song với AC, kẻ từ D, cắt cạnh AB tại điểm E. Tính BE, AE và DE.
Giải
1. Ta có, theo định lí về tính chất của đường phân giác:
\(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{c}{b} \Rightarrow \frac{{DB}}{{DB + DC}} = \frac{c}{{b + c}}\)
\( \Rightarrow \frac{{DB}}{{BC}} = \frac{c}{{b + c}} \Rightarrow DB = \frac{{ac}}{{b + c}}.\)
Tương tự, ta có: \(DC = \frac{{ab}}{{b + c}}\)
2. DE // AC cho ta:
\(\frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{BD}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{BE}}{c} = \frac{c}{{b + c}}\)
\( \Rightarrow BE = \frac{{{c^2}}}{{b + c}}\)
Tương tự, ta có: \(AE = \frac{{bc}}{{b + c}}\)
AD là phân giác góc A: \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\)
DE//AC: \(\widehat D = \widehat {{A_1}}\)
\( \Rightarrow \Delta AED\) cân tại E cho ta \(DE = AE = \frac{{bc}}{{b + c}}\)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác AD. Trên tia đối của tia BA, lấy điểm E sao cho BE = BD và trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = CD.
1. Chứng minh EF // BC.
2. Chứng minh ED là phân giác của góc BEF và FD là phân giác của góc CFE.
Giải
1. AD là phân giác của góc A nên:
\(\) \(\frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)
Theo giả thiết, BE = BD và CF = CD nên ta được:
\(\frac{{EB}}{{FC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{EB}}{{AB}} = \frac{{FC}}{{AC}}\)
Theo định lí Talet, ta suy ra EF // BC.
2. \(\Delta DBE\) cân \( \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}}\)
\({\rm{EF}}//BC \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{E_2}} \Rightarrow \widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}}\)
\( \Rightarrow ED\) là tia phân giác của góc BEF.
Trường hợp còn lại, chứng minh tương tự (hoặc có thể nhận xét, D là giao điểm của các đường phân giác trong của tam giác AEF).
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC và một điểm D thuộc cạnh BC, biết \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}.\) Chứng minh AD là phân giác của góc A.
Giải
Kẻ phân giác AD’ của góc A. Theo định lí về tính chất của tam giác, ta có:
\(\frac{{D'B}}{{D'C}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)
Giả thiết cho \(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)
Vậy \(\frac{{D'B}}{{D'C}} = \frac{{DB}}{{DC}} \Rightarrow \frac{{D'B}}{{D'C + D'B}} = \frac{{DB}}{{DB + DC}} \Rightarrow \frac{{D'B}}{{BC}} = \frac{{DB}}{{BC}}\)
\( \Rightarrow D'B = DB.\)
Vậy điểm D trùng với D’ hay AD là phân giác của góc A.
Bài 1: Cho hình thoi ABCD. Trên tia đối của tia CD, lấy một điểm E, gọi F là giao điểm của AE và cạnh BC. Đường thẳng song song với AB kẻ qua F, cắt đoạn thẳng BE tại điểm P. Chứng minh CP là phân giác của góc BCE.
Giải
\(AB//DE \Rightarrow \frac{{BF}}{{FC}} = \frac{{AB}}{{CE}}\)
Mà AB = BC nên \(\frac{{BF}}{{FC}} = \frac{{BC}}{{CE}}\,\,\,\,(1)\)
FP // CE \( \Rightarrow \frac{{BF}}{{FC}} = \frac{{PB}}{{PE}}\,\,\,\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{PB}}{{PE}} = \frac{{CB}}{{CE}} \Rightarrow \) CP là tia phân giác góc BCE.
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD. Phân giác của góc A cắt đường chéo BD tại E và phân giác của góc B cắt đường chéo AC tại F. Chứng minh EF // AB.
Giải
Ta có \(\frac{{ED}}{{EB}} = \frac{{ED}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)
\(\frac{{FC}}{{FA}} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{ED}}{{EB}} = \frac{{FC}}{{FA}}\)
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, ta có:
\(\frac{{ED}}{{EB}} = \frac{{FC}}{{FA}} \Rightarrow \frac{{ED}}{{EB - ED}} = \frac{{FC}}{{FA - FC}}\)\( \Rightarrow \frac{{ED}}{{OE}} = \frac{{FC}}{{OF}}\)
\( \Rightarrow {\rm{EF//DC}}\)
Bài 3: Cho tam giác ABC, có cạnh BC cố định, đỉnh A thay đổi nhưng tỉ số \(\frac{{AB}}{{AC}} = k,\) với k là một số thực dương cho trước. Các tia phân giác trong và ngoài tại đỉnh A, cắt cạnh BC và cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại các điểm D, E.
1. Chứng minh rằng D, E là hai điểm cố định.
2. Tìm quỹ tích đỉnh A.
Giải
1. Theo định lí về tính chất của đường phân giác, ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = k\\\frac{{EB}}{{EC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = k.\end{array}\)
Các tỉ số \(\frac{{DB}}{{DC}}\) và \(\frac{{EB}}{{EC}}\) bằng k không đổi, hai điểm B, C cố định, suy ra hai điểm D, E chia trong và chia ngoài đoạn thẳng cố định BC theo một tỉ số không đổi nên D và E là hai điểm cố định.
2. AD và AE là các tia phân giác của hai góc kề bù, vậy:
\(AD \bot AE \Rightarrow \widehat {DAE} = {90^0}\)
Điểm A nhìn đoạn thẳng cố định DE dưới một góc vuông. Vậy quỹ tích A là đường tròn đường kính DE (có tâm là trung điểm I của DE và bán kính \(\frac{{DE}}{2}\)).
Qua bài giảng Tính chất đường phân giác của tam giác này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 8 Bài 3 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
Hãy chọn câu đúng. Tỉ số \(\frac{x}{y}\) của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết rằng các số trên hình cùng đơn vị đo là cm
Tính độ dài x, y của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết rằng các số trên hình có cùng đơn vị đo cm
Cho tam giác ABC, AE là phân giác ngoài của góc A. Hãy chọn câu đúng
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 8 Bài 3để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 15 trang 67 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 16 trang 67 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 17 trang 68 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 18 trang 68 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 19 trang 68 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 20 trang 68 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 21 trang 68 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 22 trang 68 SGK Toán 8 Tập 2
Bài tập 17 trang 87 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 18 trang 87 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 19 trang 87 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 20 trang 87 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 21 trang 88 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 22 trang 88 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 23 trang 88 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 24 trang 88 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 3.1 trang 89 SBT Toán 8 Tập 2
Bài tập 3.2 trang 89 SBT Toán 8 Tập 2
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 8 DapAnHay
Hãy chọn câu đúng. Tỉ số \(\frac{x}{y}\) của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết rằng các số trên hình cùng đơn vị đo là cm
Tính độ dài x, y của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết rằng các số trên hình có cùng đơn vị đo cm
Cho tam giác ABC, AE là phân giác ngoài của góc A. Hãy chọn câu đúng
Cho tam giác MNP, MA là phân giác ngoài của góc M, biết \(\frac{{NA}}{{PA}} = \frac{3}{4}\). Hãy chọn câu đúng
Cho tam giác ABC, AC = 2AB, AD là đường phân giác của tam giác ABC, khi đó \(\frac{{B{\rm{D}}}}{{C{\rm{D}}}}\)
Cho tam giác ABC cân tại A, đường phân giác trong của góc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15cm, BC = 10cm. Khi đó AD bằng bao nhiêu?
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB =15cm, AC = 20cm, đường cao AH (H thuộc BC). Tia phân giác của góc HAB cắt HB tại D, Tia phân giác của góc HAC cắt HC tại E. Tính DH?
Cho tam giác ABC, AB = AC =10cm, BC = 12cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC. Tính BI?
Cho tam giác ABC có chu vi 18 cm, các đường phân giác BD và CE. Tính các cạnh của tam giác ABC, biết \(\frac{{A{\rm{D}}}}{{DC}} = \frac{1}{2};\frac{{A{\rm{E}}}}{{EB}} = \frac{3}{4}\)
Tính x, y trong hình vẽ sau:
Tính x trong hình 24 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.
Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB= m, AC= n và AD là đường phân giác. Chứng minh rẳng tỉ số diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác ACD bằng .
Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng DE // BC(h25)
Tam giác ABC có AB= 5cm, AC= 6cm, BC= 7cm. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại E. Tính các đoạn EB, EC.
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự là E và F.
Chứng minh rằng:
a) = ; b) = c) = .
Cho hình thang ABCD (AB //CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhat tại O. Đường thẳng A qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh AD, BC théo thứ tự E và F(h26)
Chứng minh rằng OE = OF.
a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác AD. Tính diện tích tam giác ADM, biết AB= m, AC= n( n>m). Và diện tích của tam giác ABC là S.
b) Cho n = 7cm, m = 3cm. Hỏi diện tích tam giác ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác ABC.
Đố: Hình 27 cho biết có 6 góc bằng nhau: \(O_{1}=O_{2}=O_{3}=O_{4}=O_{5}=O_{6}\)
Kích thước các đoạn thẳng đã được ghi trên hình. Hãy thiết lập những tỉ lệ thức từ kích thước đã cho.
Tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 20cm, BC = 25cm. Đường phân giác góc BAC cắt BC tại D (h.14)
a. Tính độ dài đoạn thẳng DB và DC
b. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD.
Tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE và CF
Chứng minh rằng:
\({{DB} \over {DC}}.{{EC} \over {EA}}.{{FA} \over {FB}} = 1\)
Tam giác cân \(BAC\) có \(BA = BC = a, AC = b.\) Đường phân giác góc \(A\) cắt \(BC\) tại \(M\), đường phân giác góc \(C\) cắt \(BA\) tại \(N\) (h16).
a) Chứng minh rằng: \(MN // AC.\)
b) Tính \(MN\) theo \(a, b\).
Tam giác cân BAC có BA = BC = a, AC = b. Đường phân giác góc A cắt BC tại M, đường phân giác góc C cắt BA tại N
a. Chứng minh rằng: MN // AC.
b. Tính MN theo a, b
Cho tam giác vuông ABC (\(\widehat A = {90^0}\)), AB = 21cm, AC = 28cm; đường phân giác góc A cắt BC tại D, đường thẳng qua D và song song với AB, cắt AC tại E
a. Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE.
b. Tính diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác ACD.
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường phân giác góc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15cm, BC = 10cm.
a. Tính AD, DC.
b. Đường vuông góc với BD tại B cắt đường thẳng AC kéo dài tại E. Tính EC.
Tam giác vuông ABC có\(\widehat A = 90^\circ \), AB = 12cm, AC = 16cm; đường phân giác góc A cắt BC tại D.
a. Tính BC, BD và CD.
b. Vẽ đường cao AH, tính AH, HD và AD.
Tam giác vuông ABC có$\widehat A = 90^\circ $, AB = a (cm), AC = b (cm), (a < b), trung tuyến AM, đường phân giác AD (M và D thuộc cạnh BC) (h.20).
a. Tính độ dài các đoạn thẳng BC, BD, DC, AM và DM theo a, b.
b. Hãy tính các đoạn thẳng trên đây chính xác đến chữ số thập phân thứ hai khi biết a = 4,15cm, b = 7,25cm.
Tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác AD. Biết rằng độ dài của các cạnh góc vuông AB = 3,75cm, AC = 4,5cm
Hãy chọn kết quả đúng (tính chính xác đến chữ số thập phân).
1. Độ dài của đoạn thẳng BD là:
A. 18,58
B. 2,66
C. 2,65
D. 3,25
2. Độ dài đoạn thẳng CD là:
A. 27,13
B. 2,68
C. 3,2
D. 3,15
Hình bình hành ABCD có độ dài cạnh AB = a = 12,5cm, BC = b = 7,25cm. Đường phân giác của góc B cắt đường chéo AC tại E, đường phân giác của góc D cắt đường chéo AC tại F.
Hãy tính độ dài đường chéo AC, biết EF = m = 3,45cm.
(Tính chính xác đến hai chữ số thập phân)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *