Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AC. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, DC. Chứng minh rằng tứ giác AEFG là hình thang cân.
Hướng dẫn giải
Áp dụng tính chất đường trung bình của tam giác
+) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
+) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông đường trung tuyến tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy
Định nghĩa hình thang cân: Hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau là hình thang cân.
Lời giải chi tiết
Trong ∆ BDC ta có:
E là trung điểm của BD (gt)
F là trung điểm của BC (gt)
nên EF là đường trung bình của ∆ BDC
⇒ EF // DC
hay EF // AG
Suy ra: Tứ giác AEFG là hình thang
G là trung điểm của DC (gt)
nên FG là đường trung bình của ∆ CBD
⇒ FG // BD ⇒ \({\widehat G_1} = {\widehat D_1}\) (đồng vị) (1)
Trong tam giác ABD vuông tại A có AE là trung tuyến thuộc cạnh huyền BD
⇒ AE = ED = \({1 \over 2}\)BD (tính chất tam giác vuông)
nên ∆ AED cân tại E \( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat D_1}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \({\widehat A_1} = {\widehat G_1}\)
Vậy hình thang AEFG là hình thang cân (theo định nghĩa).
-- Mod Toán 8