Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và tính chất của Tính chất ba đường cao của tam giác - Luyện tập cùng với những dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những bài tập có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đề hai góc đối đỉnh.
Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.
Mỗi tam giác có ba đường cao.
Định lý: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
* Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao xuất phát từ đỉnh của tam giác đó.
* Trong tam giác đều, các điểm: trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh điểm cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
Nhận xét: Nếu hai trong bốn loại đường trên trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Ví dụ 1: Gọi D là điểm nằm trên cạnh AB của tam giác vuông cân ABC \((\widehat A = {90^0})\). Trên tia đối của tia AC lấy E sao cho AE = AD. Chứng minh rằng CD vuông với BE.
Giải
Ta có \(\Delta ADE\) vuông cân tại A nên \(\widehat {AED} = {45^0}\) mà \(\widehat {ACB} = {45^0}\) (\(\Delta ABC\) vuông cân tại A)
Do đó \(ED \bot BC\)
Ta lại có \(BA \bot EC.\)
Vậy D là trực tâm của \(\Delta EBC\)
Suy ra \(CD \bot BE\)
Ví dụ 2: Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D trên mặt phẳng. Biết rằng AB vuông góc với AD, AC vuông góc với BD. Chứng minh rằng AD vuông góc với BC.
Giải
Ta nhận thấy A, B, C là ba điểm không thẳng hàng. Thật vậy, nếu chúng thuộc đường thẳng a thì do \(AB \bot CD,AC \bot BD\) ta có (H). BD và CD cũng vuông góc với a, vô lý.
Xét \(\Delta ABC\), ta thấy D nằm trên đường thẳng qua C và vuông góc với AB, D cũng nằm trên đường thẳng qua B và vuông góc với AC nên D là trực tâm của \(\Delta ABC.\) Vậy \(AD \bot BC.\)
Ví dụ 3: Cho đường thẳng x’x và một điểm O nằm trên đường thẳng ấy. Dựng tia Oy vuông góc với x’x. Trên tia Oy lấy hai điểm A và B nào đó sao cho nằm giữa O và B, trên tia Ox lấy một điểm C nào đó. Gọi D là hình chiếu của A trên đường thẳng BC.
a. Chứng tỏ rằng hai đường thẳng x’x và AD cắt nhau tại điểm E.
b. Chứng minh: \(AC \bot BE\)
c. Chứng minh rằng hai góc BAE và BCE bù nhau (tổng số đo hai góc bằng \({180^0}\))
Giải
a.
Hai đường thẳng AD và x’x phân biệt. Giả sử AD // x’x. Vì \(AD \bot BC\) nên \(x'x \bot BC.\)
Như vậy qua điểm B có hai đường thẳng BO và BC cùng vuông góc với x’x, vô lý.
Từ đó, AD không song song x’x nên AD cắt x’x tại điểm E.
b.
Xét \(\Delta BCE\) hai đường thẳng cao BO và ED cắt nhau tại điểm A nên A là trực tâm của \(\Delta BCE\)
Đường cao xuất phát từ đỉnh C đi qua A hay \(AC \bot BE.\)
c.
Xét tam giác vuông AOC, ta có:
\(\widehat {OAC} + \widehat {OCA} = {90^0}\,\,{\,^{(1)}}\)
Xét tam giác vuông ADC ta có:
\(\widehat {CAD} + \widehat {ACD} = {90^0}\,\,{\,^{(2)}}\)
Cộng (1) và (2) vế với với ta được:
\(\widehat {OAC} + \widehat {CAD} + \widehat {OCA} + \widehat {ACD} = {180^0} \Rightarrow \widehat {OAD} + \widehat {OCD} = {180^0}\)
Vì \(\widehat {OAD} = \widehat {BAE},\) còn có \(\widehat {OCD}\) chính là góc \(\widehat {BCE}\), suy ra:
\(\widehat {BAE} + \widehat {BCE} = {180^0}\)
Bài 1: Cho hai đường thẳng x’x và yy’ cắt nhau tại O. Trên Ox, Ox’ lần lượt lấy các điểm B, D sao cho OA = OB, OC = OD.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Chứng minh M, O, N thẳng hàng.
Giải
Ta có: OA = OB (gt)
Nên \(\Delta OAB\) cân ở O.
OC = OD (gt)
Nên \(\Delta OCD\) cân ở O
Trong \(\Delta OAB\) cân ở O có OM là đường trung tuyến (MA = MB) nên OM cũng là đường phân giác của \(\widehat O\).
Tương tự ON cũng là đường phân giác của \(\widehat O\)
OM, ON là các tia phân giác của hai góc đối đỉnh nên M, C, N thẳng hàng.
Bài 2: Cho \(\Delta ABC\) cân ở A. Qua A kẻ đường thẳng d song song với đáy BC. Các đường phân giác của góc B và của góc C lần lượt cắt d tại E và F. Chứng minh rằng:
a. d là phân giác ngoài của góc A.
b. AE = AF
Giải
\(\widehat {{A_1}} = \widehat B\) (d // BC, đồng vị)
\(\widehat B = \widehat C\)(\(\Delta ABC\) cân)
Nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat C\)
Mà \(\widehat {{A_2}} = \widehat C\) (d // BC, so le)
Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\)
Vậy d là phân giác ngoài của \(\widehat {A\,}\)
b.
Ta có: \(\widehat {FEB} = \widehat {EBC} = \frac{1}{2}\widehat B\) (so le trong)
\(\widehat {FEC} = \widehat {FCB} = \frac{1}{2}\widehat C\) (so le trong)
Mà \(\widehat B = \widehat C\) (\(\Delta ABC\) cân)
Nên \(\widehat {FEB} = \widehat {EFC}\)
Suy ra \(\Delta IFE\) cân tại I
Mặt khác \(AI \bot AE.\)
Nên IA là đường cao của tam giác cân IFE nên cũng là đường trung tuyến.
Vậy AE =AF.
3. Luyện tập Bài 9 Chương 3 Hình học 7
Qua bài giảng Tính chất ba đường cao của tam giác này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 9 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
Cho tam giác ABC, hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Hãy chọn phát biểu đúng
Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến khi đó
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 7 Chương 3 Bài 9để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 58 trang 83 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 59 trang 83 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 60 trang 83 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 61 trang 83 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 62 trang 83 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 70 trang 50 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 71 trang 50 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 72 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 73 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 74 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 75 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 76 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 77 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 78 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 79 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 80 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 81 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 7 DapAnHay
Cho tam giác ABC, hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Hãy chọn phát biểu đúng
Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến khi đó
Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Biết BC = 24cm, AM = 5cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC
Đường cao của tam giác đều cạnh a có bình phương độ dài là
Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chọn câu đúng
Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác
Cho hình 57.
a) Chứng minh \(N{\rm{S}} \bot LM\)
b) Khi \(\widehat {LNP} = {50^o}\), hãy tính góc MSP và góc PSQ
Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.
Chứng minh rằng \(KN \bot IM\)
Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.
a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.
b) Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của tam giác HAB và HAC.
Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B.\) Điểm nào là trực tâm của tam giác đó?
Cho hình 15.
a) Chứng minh rằng: \(CI \bot AB.\)
b) Cho \(\widehat {ACB} = 40^\circ \). Tính \(\widehat {BI{\rm{D}}},\widehat {DIE}\)
Cho \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác \(HAB, HAC, HBC.\)
Tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BD\) và \(CE\) bằng nhau. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác cân.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH.\) Tìm trực tâm của tam giác \(ABC, AHB, AHC.\)
Cho hình 16. Có thể khẳng định rằng các đường thẳng \(AC, BD, KE\) cùng đi qua một điểm hay không? Vì sao?
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\) đường trung tuyến \(AM.\) Qua \(A\) kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(AM.\) Chứng minh rằng \(d\) song song với \(BC.\)
Cho tam giác \(ABC \) cân tại \(A.\) Vẽ điểm \(D\) sao cho \(A\) là trung điểm của \(BD.\) Kẻ đường cao \(AE\) của \(∆ABC,\) đường cao \(AF\) của \(∆ACD.\) Chứng minh rằng \(\widehat {EAF} = 90^\circ \)
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\) đường cao \(CH\) cắt tia phân giác của góc \(A\) tại \(D.\) Chứng minh rằng \(BD\) vuông góc với \(AC.\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC = 13cm, BC = 10cm.\) Tính độ dài đường trung tuyến \(AM.\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat B,\widehat C\) là các góc nhọn, \(AC > AB.\) Kẻ đường cao \(AH.\) Chứng minh rằng \(\widehat {HAB} < \widehat {HAC}.\)
Cho tam giác \(ABC.\) Qua mỗi đỉnh \(A, B, C\) kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành tam giác \(DEF\) (h.17)
a) Chứng minh rằng \(A\) là trung điểm \(EF.\)
b) Các đường cao của tam giác \(ABC\) là các đường trung trực của tam giác nào?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Câu 1: Cho ΔABC vuông tại A, kẻ đường phân giác BD của góc B (D ϵ AC). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BD tại E.
a)Chứng minh: BA = BE
b)Chứng minh: BD là đường trung trực của AE
c) So sánh: AD và DC
Câu trả lời của bạn
cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB, trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AE = AC chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC = tam giác ADE
b) Góc AEC = góc ACE = 45 độ
Câu trả lời của bạn
bn viết sai đề rồi
đề sai rồi bạn ơi
Cho tam giác ABC vuông tại A.Đường phân giác BE.Kẻ EH Vuông góc BC.(H Thuộc BC).Gọi K là giao điểm AB và HE.CMR
a.tam giác ABE = Tam giác HBE
b.BE là giao điểm đường trung trực của đoạn thẳng AH
c.EK=EC
d.AE<EC
e.BE vuông góc KC
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D LÀ điểm đối xứng với H qua AB, E là điểm đối xứng với H qua AC.
a) cm: D đối xứng với E qua A
b) tam giác DHE là tam giác j? Vì sao?
c) tg BDEC là hình gì? Vì sao?
d) cm: BC = BD + CE
Câu trả lời của bạn
BC = BE +DC
) AB là đường trung trực của HD
AC là đường trung trực của HE
Suy ra AD = AE. (1)
Tam giác AHD cân nên
Tam giác AHE cân nên
Suy ra
Do đó D, A, E thẳng hàng. (2)
Từ (1) và (2) suy ra A là trung điểm của DE. Vậy D đối xứng với E qua A.
b) Tam giác DHE có HA là đường trung tuyến và HA =
Câu c:
Xét hai tam giác ABD và ABH có:
AB: cạnh chung
Góc BAD = góc BAH (cmt)
AD = AH (cmt)
Vậy: t/g ABD = t/g ABH (c-g-c)
=> Góc ADB = góc AHB
Mà góc AHB = 90o (gt)
=> Góc ADB = 90o (1)
Cm tương tự ta đc: t/g AHC = t/g AEC (c-g-c)
=> Góc AHC = góc AEC = 90o (2)
Từ (1) và (2) => BDEC là hình thang vuông.
d) Do AB là đường trung trực của DH nên BD=BH (3)
Do AC là đường trung trực của EH nên CE=CH (4)
Cộng vế với vế của (3) và (4) ta có:
BD+CE=BH+CH
Hay BD+CE=BC
Vậy BC= BE+ DC( đpcm).
cho tam giác ABC nhọn. H là trực tâm. Chứng minh HA+HB+HC< AB+AC
Câu trả lời của bạn
Kẻ HD//AB,HE//AC
−>AD=HE;AE=AH
Theo BĐT trong tam giác :
AH<AE+HE=AE+AD
xét ΔHDC vuông tại H :HC<DC
ΔBHE vuông tại H : HB<BE
−>HA+HB+HC<AE+AD+BE+DC=AB+AC
chứng minh tương tự:
HA+HB+HC<AB+BC
K/h có : 3(HA+HB+HC)<2(AB+AC+BC)
-> HA+HB+HC<2/3(AB+AC+BC)
Kẻ HD//AB,HE//ACHD//AB,HE//AC
−>AD=HE;AE=AH−>AD=HE;AE=AH
Theo BĐT trong tam giác :
AH<AE+HE=AE+ADAH<AE+HE=AE+AD
xét ΔHDCΔHDC vuông tại H :HC<DCHC<DC
ΔBHEΔBHE vuông tại H : HB<BEHB<BE
−>HA+HB+HC<AE+AD+BE+DC=AB+AC−>HA+HB+HC<AE+AD+BE+DC=AB+AC
chứng minh tương tự:
HA+HB+HC<AB+BCHA+HB+HC<AB+BC
HA+HB+HC<AC+BCHA+HB+HC<AC+BC
K/h có : 3(HA+HB+HC)<2(AB+AC+BC)3(HA+HB+HC)<2(AB+AC+BC)
-> HA+HB+HC<23(AB+AC+BC)
ha +hb + hc< 2/3
.
Kẻ HD//AB ,HE//AC
−>AD=HE; AE=AH
Theo BĐT trong tam giác :
AH<AE+HE=AE+AD
xét ΔHDC vuông tại H :HC<DC
ΔBHE vuông tại H : HB<BE
−>HA+HB+HC<AE+AD+BE+DC=AB+AC
chứng minh tương tự:
HA+HB+HC<AB+BC
HA+HB+HC<AC+BC
K/h có :
3 (HA+HB+HC) < 2 (AB+AC+BC)
-> HA+ HB + HC< 2/3(AB+AC+B
ha +hb + hc< 2/3
Kẻ HD//AB,HE//ACHD//AB,HE//AC
−>AD=HE;AE=AH−>AD=HE;AE=AH
Theo BĐT trong tam giác :
AH<AE+HE=AE+ADAH<AE+HE=AE+AD
xét ΔHDCΔHDC vuông tại H :HC<DCHC<DC
ΔBHEΔBHE vuông tại H : HB<BEHB<BE
−>HA+HB+HC<AE+AD+BE+DC=AB+AC−>HA+HB+HC<AE+AD+BE+DC=AB+AC
chứng minh tương tự:
HA+HB+HC<AB+BCHA+HB+HC<AB+BC
HA+HB+HC<AC+BCHA+HB+HC<AC+BC
K/h có : 3(HA+HB+HC)<2(AB+AC+BC)3(HA+HB+HC)<2(AB+AC+BC)
-> HA+HB+HC<23(AB+AC+BC)HA+HB+HC<23(AB+AC+BC)
Cho A, B ở về một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy. Kẻ AH vuông góc xy ở H và BK vuông góc xy ở K sao cho AH=BK.Gọi O là trung điểm đoạn HK. Chứng minh tam giác OAB cân
Helppppppp mee
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC co Â=90° , AB=AC. kẻ BD vuông góc với AC tại E, kẻ AB vuông góc vơi CE tại E. Gọi O là giao điểm củ BD và CE. Chứng minh
a) BD=CE
b) Tam giác ODC = tam giác OCB
c) OA là phân giác của góc BAC
Câu trả lời của bạn
.
cái đề bài nó khá vô lý, nhưng rất thuyết phục, hình mình không vẽ nổi luôn.
.
cho tam giác ABC có góc A>90.Gọi I là trung điểm của cạnh AC.Trên tia đối của tia IB lấy điểm D sao cho IB=ID.M là trung điểm của BC.N là trung điểm của AD. CM: góc AIB< góc BIC
Câu trả lời của bạn
Cho ΔABC cân tại A. Kẻ BD⊥AC(D∈AC), CE⊥AB(E∈AB).
a) Chứng minh DE//BC
b) Gọi O là giao điểm của BD và CE. Chứng minh ΔEOB=ΔDOC
c) Chứng minh AO là trung trực của DE
d) Gọi H là trung điểm BC. Chứng minh A,O,H thẳng hàng
Câu trả lời của bạn
tìm x thuộc N để A=(căn bậc x)+2/(căn bậc x)-3 là số nguyên
Câu trả lời của bạn
cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm M thuộc AB, N thuộc AC sao cho BM=CN. Gọi O là giao điểm của BN và CM. CMR
A tam giác AMN cân , từ đó suy ra MN//BC
B tam giác BMO= tam giác CNO
Câu trả lời của bạn
Chứng tỏ rằng nếu trừ các giá trị của dấu hiệu đi cùng một số thì số trung bình của dấu hiệu cũng được trừ đi số đó
Câu trả lời của bạn
tam giác ABC cân tại a M là trung điểm của BC
Câu a chứng minh AM vuông góc BC
Câu b ME vuông góc AB tại E ,MF vuông góc AC tại F chứng minh ME = MF
Câu c chứng minh EF song song BC
Câu d EMcắt AC tại K , FM cắt AB tại H tìm điều kiện chứng minh tam giác AHK đều
Câu trả lời của bạn
cho tam giac ABC co AC<BC tren BC lay cac điểm M N sao cho BM=MN=CN .
Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AN tai I
a) CM I là trung điểm của AN
b) Qua K kẻ dường thẳng vuông góc với tia phân giác góc ACB cat AC tại E cắt BC taih F CM AE=BF
Câu trả lời của bạn
tìm giá trị nhỏ nhất của : A=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d| với a<b<c<d
Câu trả lời của bạn
0
Mình không tải được hình ảnh
KHONG BIET
1/10+1/100+1/1000+...+1/1000000
Câu trả lời của bạn
1111111/1000000
Tính 8^5 .(−5)^8 +(−2)^5 .10^9 / 2^16.5^7+20^8
Câu trả lời của bạn
1
Cho ba điểm B, H,C sao cho BC=13cm,BH=9cm và HC=4cm.Qua H kẻ đường thẳng Hx vuông góc với đường thẳng BC và trên tia Hx lấy điểm A sao cho AH=6cm.
a)Tính đoạn thẳng AB,AC
b)Chứng minh AB vuông góc AC
Câu trả lời của bạn
tìm x biết 2|5x-3|-2x=14
Câu trả lời của bạn
5/2 hoặc -2/3
Đề bài: 2|5x-3|-2x=14
Bài giải
2|5x-3|-2x=14 (1)
+Xét 5x-3>=0=>5x>=3=>x>=0.6
Từ (1) ta có: 2.(5x-3)-2x=14
10x-6-2x=14
8x=20
x=2.5( thỏa mãn x>=0.6)
+Xét 5x-3<0=>5x<3=>x<0.6
Từ (1) ta có: 2(-(5x-3))-2x=14
2(-5x+3)-2x=14
-10x+6-2x=14
x=-2/3( 2 phần 2)
Vậy x=2.5 hoặc x=-2/3 thì 2.|5x-3|-2x=14
(Xin lỗi có vẻ như mình trả lời bạn cũng khá muộn và phần bài giải hơi khó hiểu chút!!)
5/2 hoặc -2/3
5/2;-2/3
5/2 hoặc -2/3
2|5x-3|-2x=14
2|5x-3|=14+2x
2|5x-3|=2(7+x)
⇒|5x-3|=7+x
⇒ TH1: 5x-3=7+x
5x-x=7+3
4x=10
x=
TH2: 5x-3=-(7+x)
5x-3=-7-x
5x+x=-7+3
6x=-4
x =
vậy x= hoặc
2|5x-3|-2x=14
2(|5x-3|-x)=14
|5x-3|-x =7
|5x-3| =7+x
=>5x-3=7+x hoặc 5x-3=-(7+x)
4x =10 5x-3=-7-x
x = 6x =-4
x =
Vậy x=;x=
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *