Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và tính chất của Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng - Luyện tập cùng với những dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những bài tập có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đề hai góc đối đỉnh.
Định lý 1: (Định lý thuận)
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Định lý 2: (Định lý đảo)
Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì năm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Nhận xét: Từ định lý thuận và định lý đảo ta có: tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng MN bằng thước thẳng và compa; như sau:
* Lấy M làm tâm vẽ cung tròn có bán kính lớn hơn \(\frac{1}{2}MN\). Lấy N làm tâm vẽ cung tròn có cùng bán kính đó.
Hai cung tròn này có hai điểm chung là P, Q.
* Dùng thước vẽ đường thẳng PQ. Đó đường trung trực của đoạn thẳng MN.
Ví dụ 1: Cho \(\Delta ABC.\) Hãy tìm một điểm cách đều hai cạnh AB, AC và cách đều hai đỉnh A, B.
Giải
Mọi điểm trên đường phân giác của góc A thì cách đều hai cạnh AB, AC.
Mọi điểm trên đường trung trực của AB thì cách đều hai điểm A, B.
Vậy điểm M cần tìm là giao điểm của đường phân giác và đường trung trực nói trên.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng không tồn tại điểm cách đều, ba điểm thẳng hàng.
Giải
Giả sử tồn tại điêm O cách đều ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Suy ra OA = OB = OC.
Vì OA = OB nên O nằm trên đường trung trực \({d_1}\) của AB.
Vì OB = OC nên O nằm trên đường trung trực \({d_2}\) của BC.
Do đó O là giao điểm của 2 đường trung trực \({d_1},{d_2}\) của AB và BC
Vì \({d_1} \bot AB,\,{d_2} \bot BC\) và A, B, C thẳng hàng nên \({d_1}//{d_2}\)tại O.
Vậy không có điểm nào cách đều ba điểm thẳng hàng.
Ví dụ 3: Cho m là đường trung trực của đoạn thẳng AB, C là điểm thuộc m. Gọi Cx là tia đối của tia CA, Cn là tia phân giác của góc BCx. Chứng minh rằng Cn vuông góc với m.
Giải
Gọi H là giao điểm của m và AB.
Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta BHC\) có HA = HB (H là điểm nằm trên đường trung trực của AB)
\(\widehat {AHC} = \widehat {AHC} = {90^0}\)
CH là cạnh chung
Nên \(\Delta AHC = \Delta BHC\) (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {ACH} = \widehat {BCH}\)
Nên CH là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\)
Cn là tia phân giác của \(\widehat {BCx}\) (gt)
Như vậy m và Cn là hai tia phân giác của hai góc kề bù ACB và BCx nên \({C_n} \bot m.\)
Bài 1: Cho đoạn thẳng AB thuộc nửa mặt phẳng bờ d. Xác định điểm M thuộc d sao điểm M cách đều hai điểm A, B.
Giải
Vẽ trung trực xy của đoạn thẳng AB
Giả sử xy cắt d tại điểm M, ta có: MA = MB
+ Nếu \(AB \bot d\) thì xy // d, ta không xác định được M.
+ Ngoài trường hợp \(AB \bot d\) luôn luôn xác định được điểm M, và M là điểm duy nhất.
Bài 2: Tam giác ABC có AC > AB, phân giác AD. Trên AC lấy điểm E sao cho AE=AB. Chứng minh rằng AD vuông góc với BE.
Giải
Nối BE và ED
Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta ADE\) có:
AB = AE (gt)
\(\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\) (AD là tia phân giác \(\widehat {BAC}\)).
AD cạnh chung
Vậy \(\Delta ADB = \Delta ADE\,\,(c.g.c)\)
Suy ra DB = DE
Lại có AB = AE
Do đó AB là đường trung trực của BE.
Vậy \(AD \bot BE.\)
Bài 3: Trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB lấy điểm M. Hạ \(MH \bot AB.\) Trên đoạn MH lấy điểm P. Gọi E là giao điểm của AP với MB. Gọi F là giao điểm của BP với MA.
a. Chứng minh MH là phân giác góc AMB
b. Chứng minh MH là trung trực của đoạn thẳng EF
c. Chứng minh AF = BE.
Giải
a.
Xét \(\Delta MHA\) và \(\Delta MHB\) có:
HA = HB (H là trung trực của AB)
\(\widehat {MHA} = \widehat {MHB}\,\,( = {90^0})\)
MH cạnh chung.
Nên \(\Delta MHA = \Delta MHB\,\,(c.g.c)\)
Suy ra \(\widehat {AMH} = \widehat {BMH}.\)
Vậy MH là phân giác của \(\widehat {AMB}\)
b.
Trên cạnh MB ta lấy E’ sao cho MF = ME’
Xét \(\Delta FMP\) và \(\Delta E'MP\), có:
MF = ME’ (cạnh lấy điểm E’)
\(\widehat {FMP} = \widehat {E'MP}\) (do \(\widehat {AMH} = \widehat {BMH}\))
MP cạnh chung
Nên \(\Delta FMP = \Delta E'MP\,\,(c.g.c)\)
Suy ra \(\widehat {FPM} = \widehat {E'PM}\,{\,^{(1)}}\)
Gọi giao điểm của FE’ với MH là K
Ta lại có \(\Delta PHA = \Delta PHB\,\,(c.g.c)\) (chứng minh tương tự như câu a)
Suy ra \(\widehat {APH} = \widehat {BPH}.\)
Mà \(\widehat {APH} = \widehat {EPM}\) (đối đỉnh) và \(\widehat {BPH} = \widehat {FPM}\) (đối đỉnh)
Suy ra \(\widehat {FPM} = \widehat {EPM}\,{\,^{(2)}}\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {EPM} = \widehat {E'PM}\)
Hay E’ trùng với E
Do đó MF = ME (3)
Lại có PF = PE’ (do \(\Delta FMP = \Delta E'MP\))
Nên PF = PE (4) (Do E’ trùng với E)
c.
AF = AM – FM
BE = BM – EM
mà AM = BM (M thuộc trung trực AB)
FM = EM (cmt)
nên ta suy ra: AF = BE.
3. Luyện tập Bài 7 Chương 3 Hình học 7
Qua bài giảng Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 7 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Khi đó O là:
Nếu một tam giác có một đườngtrung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác gì?
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 7 Chương 3 Bài 7để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 44 trang 76 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 45 trang 76 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 46 trang 76 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 47 trang 76 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 48 trang 77 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 49 trang 77 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 50 trang 77 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 51 trang 77 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 54 trang 47 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 55 trang 47 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 56 trang 47 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 57 trang 47 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 58 trang 48 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 59 trang 48 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 60 trang 48 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 61 trang 48 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 62 trang 48 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 63 trang 48 SBT Toán 7 Tập 2
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 7 DapAnHay
Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Khi đó O là:
Nếu một tam giác có một đườngtrung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác gì?
Cho tam giác ABC cân tại, có \(\widehat A = {40^0}\), đường trung trực AB cắt BC ở D. Tính số đo góc CAD
Cho tam giác ABC cân ở A. Đường trung trực của AC cắt AB ở D. Biết CD là tia phân giác của góc ACB. Tính các góc của tam giác ABC
Cho tam giác ABC vuông tại A, có \(\widehat C = {30^0}\), đường trung trực của BC cắt AC tại M. Hãy chọn câu đúng
Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Cho đoạn thẳng MA có độ dài 5cm. Hỏi độ dài MB bằng bao nhiêu?
Chứng minh đường thẳng PQ được vẽ như trong hình 43 đúng là đường trung trực của đoạn MN.
Gợi ý: Sử dụng định lí 2
Cho ba tam giác cân ABC, DBC, EBC có chung đáy BC. Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.
Cho hai điểm M, N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Chứng minh \(\Delta AMN = \Delta BMN\)
Hai điểm M và N cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy. Lấy điểm L đối xứng với M qua xy. Gọi I là một điểm của xy. Hãy so sánh IM+IN với LN
Hai nhà máy được xây dựng bên cùng một bờ sông tại hai địa điểm A và B (h. 44). Hãy tìm trên bờ sông đó một địa điểm C để xây dựng trạm bơm đưa nước về cho hai nhà máy, sao cho độ dài đường ống dẫn nước là ngắn nhất.
Một con đường quốc lộ cách không xa hai điểm dân cư (h. 45). Hãy tìm bên đường đó một địa điểm để xây dựng một trạm y tế sao cho trạm y tế này cách đều hai điểm dân cư
Cho đường thẳng d và điểm P không nằm trên d. Hình 46 minh họa cho cách dựng đường thẳng đi qua điểm P và vuông góc với đường thẳng d bằng thước và compa như sau:
(1) Vẽ đường tròn tâm P với bán kính thích hợp sao cho nó cắt d tại hai điểm A và B
(2) Vẽ hai đường tròn với bán kính bằng nhau có tâm tâm tại A và B sao cho chúng cắt nhau. Gọi một giao điểm của chúng là C \(\left( {C \ne P} \right)\)
(3) Vẽ đường thẳng PC
Em hãy chứng minh đường thẳng PC vuông góc với d
Cho ba tam giác cân \(ABC, DBC, EBC\) chung đáy \(BC.\) Chứng minh rằng ba điểm \(A, D, E\) thẳng hàng.
Cho hai điểm \(D, E \) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\) Chứng minh rằng \(∆BDE = ∆CDE.\)
Cho đường thẳng \(d\) và hai điểm \(A, B\) thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ \(d.\) Tìm một điểm \(C \) nằm trên \(d\) sao cho \(C\) cách đều \(A\) và \(B.\)
Đường trung trực \(d\) của đoạn thẳng \(AB\) chia mặt phẳng thành hai phần \(I\) và \(II\) như trên hình 10. Cho điểm \(M\) thuộc phần \(I\) và điểm \(N\) thuộc phần \(II.\) Chứng minh rằng:
a) \(MA < MB\)
b) \(NA > NB\)
Cho hình 11. Chứng minh rằng \(AB\) vuông góc với \(CD.\)
Cho hai điểm \(A, B\) và một đường thẳng \(d.\) Vẽ đường tròn tâm \(O\) đi qua hai điểm \(A, B\) sao cho \(O\) nằm trên đường thẳng \(d.\)
Cho đoạn thẳng \(AB.\) Tìm tập hợp các điểm \(C\) sao cho tam giác \(ABC\) là tam giác cân có đáy là \(AB.\)
Cho góc \(xOy\) bằng \(60°,\) điểm \(A\) nằm trong góc \(xOy.\) Vẽ điểm \(B\) sao cho \(Ox\) là đường trung trực của \(AB.\) Vẽ điểm \(C\) sao cho \(Oy\) là đường trung trực của \(AC.\)
a) Chứng minh rằng \(OB = OC\)
b) Tính số đo góc \(BOC.\)
Cho hình 12, \(M\) là một điểm tùy ý nằm trên đường thẳng \(a.\) Vẽ điểm \(C\) sao cho \(a\) là đường trung trực của \(AC.\)
a) Hãy so sánh \(MA + MB\) với \(BC.\)
b) Tìm vị trí của điểm \(M\) trên đường thẳng \(a\) để \(MA + MB\) là nhỏ nhất.
Hai nhà máy được xây dựng tại hai điểm A và B nằm về một phía của khúc sông thẳng. Tìm trên bờ sông một địa điểm C để xây một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ C đến A và đến B là nhỏ nhất.
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho tam giác ABC vuông tại A.
a) Biết AB = 3cm, AC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng BC?
b) Tia phân giác của góc B cắt cạnh AD ở D. Kẻ DE vuông góc với BC tại E. Chứng minh rằng tam giác ABD = tam giác EBD.
c) So sáng AD và DC.
d) Tia ED cắt BA tại G. Goi I là trung điểm GC. Chứng minh rằng B, D, I thẳng hàng.
Câu trả lời của bạn
Ũa bạn ơi, nếu đã là tam giác cân (ABC cân tại A) thì tại sao AB không bằng AC vậy=)??
Cho tam giác ABC (Â=90độ), AB=3cm, AC=6cm. Phân giác  cắt BC tại D. Từ B kẻ BH⊥AD cắt AC tại E, và từ C kẻ đường thẳng song song với BE cắt AD tại F.
a.Tính BC?
b.Chứng minh tam giác BED cân.
c.Chứng minh ED đi qua trung điểm BF.
Câu trả lời của bạn
a) Áp dụng định lý py-ta-go ta có: AB2 + AC2 = BC2 <=> 32 + 62 = BC2 => BC = căn bậc 2 của 45
b) Gọi giao của BH và AD = {P}. Xét tam giác BPA và EPA có:
=> Tam giác BPA = tam giác EPA
=> BP = EP ( 2 cạnh tương ứng) (1)
Xét tam giác BDP và tam giác EDP có:
=> Tam giác BDP = tam giác EDP
=> Tam giác BED cân tại D (vì BD = ED)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Kẻ DEBC (EBC).Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF = CE. Chứng minh:
1. ABD =EBD
2. BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE
3. AD < DC
4. và E, D, F thẳng hàng.
Câu trả lời của bạn
1. c/m tam giác ABD = tam giác BED bằng cách
Xét 2 tam giác đó :
BAD=BED=90 độ
ABD=EBD(BD là đg phân giác )
BD cạnh chung
Tù 3 điều trên => 2 tam giác trên bằng nhau theo trường hợp (ch-gn)
(A) Nếu \(M\) thuộc \(d\) thì ......................
(B) Nếu ……….. thì \(M\) thuộc \(d\).
Câu trả lời của bạn
(A) Nếu \(M\) thuộc \(d\) thì \(M\) cách đều hai điểm \(A,B\).
(B) Nếu \(M\) cách đều hai điểm \(A,B\) thì \(M\) thuộc \(d\).
(A) \(MA < MB;\)
(B) \(MA = MB;\)
(C) \(MA > MB;\)
(D) Không so sánh được \(MA\) với \(MB\).
Câu trả lời của bạn
\(M\) nằm trên đường trung trực \(d\) của đoạn thẳng \(AB\) thì \(MA = MB\).
Chọn B.
Cho tam giác ABC vuông ở A có BD là phân giác của góc ABC(D thuộc cạnh AC).Kẻ DE vuông góc với BC tại E. Hai đường thẳng AB và DE cắt nhau tại K
a) Cm tam giác BAE là tam giác cân
b) Nếu biết AD=6cm, AC=16cm. Hãy tính độ dài đoạn thẳng EC
c) CM đường thẳng AE song song với đường thẳng CK
p/s: phần a tớ làm được rồi ạ kẹt chỗ phần b với phần c, phần a mọi người ghi sơ đồ là được rồi ạ. Mong mn giúp đỡ thanks nhiều ạ
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
cái này dễ lắm bạn ạ
Mọi ng lm giúp mình phần c thôi nha
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
► Quang Linh [PRO]
a) Vì ∆ABC cân tại A
⇒ AB=AC (Tính chất tam giác cân)
Xét ∆ABM và ∆ACM có:
AB=AC (cmt)
AM:chung
MB=MC (M là trung điểm của BC)
⇒ ∆ABM=∆ACM (c.c.c)
b) Ta có ∠AHM=900 (vì MH⊥AB)
∠AKM=900 (vì MK⊥AC)
Xét ∆AHM và ∆AKM có:
AH=AK (gt)
∠AHM = ∠AKM (=900)
AM:chung
⇒ ∆AHM = ∆AKM (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
⇒ MH=MK (hai cạnh tương ứng) (1)
Vì ∠AHM kề bù với ∠BHM
⇒ ∠AHM+∠BHM=1800
⇒ 900+∠BHM=1800
⇒ ∠BHM=1800-900=900
Vì ∠AKM kề bù với ∠CKM
⇒ ∠AKM+∠CKM=1800
⇒ 900+∠CKM=1800
⇒ ∠CKM=1800-900=900
Xét ∆BMH và ∆KMC có:
∠BHM=∠CKM (=900)
MH=MK (từ (1))
MB=MC (gt)
⇒ ∆BMH = ∆KMC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
⇒ BH=CK (hai cạnh tương ứng)
Bài 4 nhá
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
GT :Cho đường thẳng AB
M bất kì
MA=MB
KL:M thuộc đg trung trực của AB
tam giac abc co
Câu trả lời của bạn
Giúp em bài 5vs ạ
Giúp em 2 bài 5,6 vs ạ
Câu trả lời của bạn
Giúp em vs chiều em nộp t
Giúp em vs chiều em nộp r
Ai giải giúp em với ạ ! Em cảm ơn !
Cho tam giác ABC có AB=AC. M và N lần lượt là trung điểm cạnh AB và AC ( theo thứ tự ). Trên cạnh BC lấy điểm D và E sao cho BD=DE=EC. a) Chứng minh ME=ND; b) Gọi I là giao điểm ME và ND, chứng minh tam giác IDE cân; c) Chứng minh AI vuông góc với BC.
Câu trả lời của bạn
Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn , đường cao AH . Kẻ HI vuông góc với AB( I thuộc AB) . Trên tia đối của tia IH lấy điểm D sao cho IH=ID . Kẻ HF vuông góc AC( F thuộc AC ) . Trên tia đối của tia FH lấy điểm E sao cho FH=FE .
a) Tính ADB? .
b) Tam giác ADE cân .
c) DE cắt Ab và aC lần lượt tại M và N . Chứng minh HA là phân giác của MHN?
Câu trả lời của bạn
Giúp mình bài 1 và bài 3 với .Mình đang cần gấp để tối đi học , xin cảm ơn!
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC cân tại A,có AM là đường trung tuyến, BI là đường cao, AM cắt BI tại H. Tia phân giác góc ACH cắt AH tại O.
a,Chứng Minh CH vuông góc AB tại B,
b,Chứng Minh BB'=IC,
c,Chứng Minh B,'I//BC,d,Tính góc AB'o=?,e,Chứng Minh Tam giác B'HB=Tam giác IHC
Câu trả lời của bạn
Giúp em bài này với ạ
Câu trả lời của bạn
Giúp em bài này với
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *