Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và tính chất của Tính chất ba đường cao của tam giác - Luyện tập cùng với những dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những bài tập có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đề hai góc đối đỉnh.
Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.
Mỗi tam giác có ba đường cao.
Định lý: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
* Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao xuất phát từ đỉnh của tam giác đó.
* Trong tam giác đều, các điểm: trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh điểm cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
Nhận xét: Nếu hai trong bốn loại đường trên trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Ví dụ 1: Gọi D là điểm nằm trên cạnh AB của tam giác vuông cân ABC \((\widehat A = {90^0})\). Trên tia đối của tia AC lấy E sao cho AE = AD. Chứng minh rằng CD vuông với BE.
Giải
Ta có \(\Delta ADE\) vuông cân tại A nên \(\widehat {AED} = {45^0}\) mà \(\widehat {ACB} = {45^0}\) (\(\Delta ABC\) vuông cân tại A)
Do đó \(ED \bot BC\)
Ta lại có \(BA \bot EC.\)
Vậy D là trực tâm của \(\Delta EBC\)
Suy ra \(CD \bot BE\)
Ví dụ 2: Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D trên mặt phẳng. Biết rằng AB vuông góc với AD, AC vuông góc với BD. Chứng minh rằng AD vuông góc với BC.
Giải
Ta nhận thấy A, B, C là ba điểm không thẳng hàng. Thật vậy, nếu chúng thuộc đường thẳng a thì do \(AB \bot CD,AC \bot BD\) ta có (H). BD và CD cũng vuông góc với a, vô lý.
Xét \(\Delta ABC\), ta thấy D nằm trên đường thẳng qua C và vuông góc với AB, D cũng nằm trên đường thẳng qua B và vuông góc với AC nên D là trực tâm của \(\Delta ABC.\) Vậy \(AD \bot BC.\)
Ví dụ 3: Cho đường thẳng x’x và một điểm O nằm trên đường thẳng ấy. Dựng tia Oy vuông góc với x’x. Trên tia Oy lấy hai điểm A và B nào đó sao cho nằm giữa O và B, trên tia Ox lấy một điểm C nào đó. Gọi D là hình chiếu của A trên đường thẳng BC.
a. Chứng tỏ rằng hai đường thẳng x’x và AD cắt nhau tại điểm E.
b. Chứng minh: \(AC \bot BE\)
c. Chứng minh rằng hai góc BAE và BCE bù nhau (tổng số đo hai góc bằng \({180^0}\))
Giải
a.
Hai đường thẳng AD và x’x phân biệt. Giả sử AD // x’x. Vì \(AD \bot BC\) nên \(x'x \bot BC.\)
Như vậy qua điểm B có hai đường thẳng BO và BC cùng vuông góc với x’x, vô lý.
Từ đó, AD không song song x’x nên AD cắt x’x tại điểm E.
b.
Xét \(\Delta BCE\) hai đường thẳng cao BO và ED cắt nhau tại điểm A nên A là trực tâm của \(\Delta BCE\)
Đường cao xuất phát từ đỉnh C đi qua A hay \(AC \bot BE.\)
c.
Xét tam giác vuông AOC, ta có:
\(\widehat {OAC} + \widehat {OCA} = {90^0}\,\,{\,^{(1)}}\)
Xét tam giác vuông ADC ta có:
\(\widehat {CAD} + \widehat {ACD} = {90^0}\,\,{\,^{(2)}}\)
Cộng (1) và (2) vế với với ta được:
\(\widehat {OAC} + \widehat {CAD} + \widehat {OCA} + \widehat {ACD} = {180^0} \Rightarrow \widehat {OAD} + \widehat {OCD} = {180^0}\)
Vì \(\widehat {OAD} = \widehat {BAE},\) còn có \(\widehat {OCD}\) chính là góc \(\widehat {BCE}\), suy ra:
\(\widehat {BAE} + \widehat {BCE} = {180^0}\)
Bài 1: Cho hai đường thẳng x’x và yy’ cắt nhau tại O. Trên Ox, Ox’ lần lượt lấy các điểm B, D sao cho OA = OB, OC = OD.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Chứng minh M, O, N thẳng hàng.
Giải
Ta có: OA = OB (gt)
Nên \(\Delta OAB\) cân ở O.
OC = OD (gt)
Nên \(\Delta OCD\) cân ở O
Trong \(\Delta OAB\) cân ở O có OM là đường trung tuyến (MA = MB) nên OM cũng là đường phân giác của \(\widehat O\).
Tương tự ON cũng là đường phân giác của \(\widehat O\)
OM, ON là các tia phân giác của hai góc đối đỉnh nên M, C, N thẳng hàng.
Bài 2: Cho \(\Delta ABC\) cân ở A. Qua A kẻ đường thẳng d song song với đáy BC. Các đường phân giác của góc B và của góc C lần lượt cắt d tại E và F. Chứng minh rằng:
a. d là phân giác ngoài của góc A.
b. AE = AF
Giải
\(\widehat {{A_1}} = \widehat B\) (d // BC, đồng vị)
\(\widehat B = \widehat C\)(\(\Delta ABC\) cân)
Nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat C\)
Mà \(\widehat {{A_2}} = \widehat C\) (d // BC, so le)
Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\)
Vậy d là phân giác ngoài của \(\widehat {A\,}\)
b.
Ta có: \(\widehat {FEB} = \widehat {EBC} = \frac{1}{2}\widehat B\) (so le trong)
\(\widehat {FEC} = \widehat {FCB} = \frac{1}{2}\widehat C\) (so le trong)
Mà \(\widehat B = \widehat C\) (\(\Delta ABC\) cân)
Nên \(\widehat {FEB} = \widehat {EFC}\)
Suy ra \(\Delta IFE\) cân tại I
Mặt khác \(AI \bot AE.\)
Nên IA là đường cao của tam giác cân IFE nên cũng là đường trung tuyến.
Vậy AE =AF.
3. Luyện tập Bài 9 Chương 3 Hình học 7
Qua bài giảng Tính chất ba đường cao của tam giác này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 9 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
Cho tam giác ABC, hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Hãy chọn phát biểu đúng
Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến khi đó
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 7 Chương 3 Bài 9để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 58 trang 83 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 59 trang 83 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 60 trang 83 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 61 trang 83 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 62 trang 83 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 70 trang 50 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 71 trang 50 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 72 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 73 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 74 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 75 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 76 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 77 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 78 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 79 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 80 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 81 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 7 DapAnHay
Cho tam giác ABC, hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Hãy chọn phát biểu đúng
Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến khi đó
Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Biết BC = 24cm, AM = 5cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC
Đường cao của tam giác đều cạnh a có bình phương độ dài là
Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chọn câu đúng
Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác
Cho hình 57.
a) Chứng minh \(N{\rm{S}} \bot LM\)
b) Khi \(\widehat {LNP} = {50^o}\), hãy tính góc MSP và góc PSQ
Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.
Chứng minh rằng \(KN \bot IM\)
Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.
a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.
b) Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của tam giác HAB và HAC.
Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B.\) Điểm nào là trực tâm của tam giác đó?
Cho hình 15.
a) Chứng minh rằng: \(CI \bot AB.\)
b) Cho \(\widehat {ACB} = 40^\circ \). Tính \(\widehat {BI{\rm{D}}},\widehat {DIE}\)
Cho \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác \(HAB, HAC, HBC.\)
Tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BD\) và \(CE\) bằng nhau. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác cân.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH.\) Tìm trực tâm của tam giác \(ABC, AHB, AHC.\)
Cho hình 16. Có thể khẳng định rằng các đường thẳng \(AC, BD, KE\) cùng đi qua một điểm hay không? Vì sao?
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\) đường trung tuyến \(AM.\) Qua \(A\) kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(AM.\) Chứng minh rằng \(d\) song song với \(BC.\)
Cho tam giác \(ABC \) cân tại \(A.\) Vẽ điểm \(D\) sao cho \(A\) là trung điểm của \(BD.\) Kẻ đường cao \(AE\) của \(∆ABC,\) đường cao \(AF\) của \(∆ACD.\) Chứng minh rằng \(\widehat {EAF} = 90^\circ \)
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\) đường cao \(CH\) cắt tia phân giác của góc \(A\) tại \(D.\) Chứng minh rằng \(BD\) vuông góc với \(AC.\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC = 13cm, BC = 10cm.\) Tính độ dài đường trung tuyến \(AM.\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat B,\widehat C\) là các góc nhọn, \(AC > AB.\) Kẻ đường cao \(AH.\) Chứng minh rằng \(\widehat {HAB} < \widehat {HAC}.\)
Cho tam giác \(ABC.\) Qua mỗi đỉnh \(A, B, C\) kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành tam giác \(DEF\) (h.17)
a) Chứng minh rằng \(A\) là trung điểm \(EF.\)
b) Các đường cao của tam giác \(ABC\) là các đường trung trực của tam giác nào?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho tam giác ABC cân tại A: AC = 10 cm, BC = 12 cm. Vẽ đường cao AD, CE cắt nhau tại K. Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho: AF = AE.
a, So sánh các góc của tam giác ADC.
b, Chứng minh KFAC
c, Chứng tam giác KBC cân.
d, Chứng minh EF // BC.
e, Chứng minh: K cách đều ba cạnh của tam giác DEF.
Câu trả lời của bạn
cho tam ABC có AB=AC=5cm, tia phân giác của góc BAC cắt cạnh tại BC tại D, trên tia đối của tai DA lấy điểm E sao cho D là trung điểm AE
a) chứng minh rằng tam giác ABD= tam giác ACD và DB =DC
b) chứng minh rằng ad vuông góc BC , AC song song BE
c) cho góc ABC =60 .tính số đo góc BAE
viết giả thuyết và vẽ hình
Câu trả lời của bạn
Cho góc nhọn xOy. Điểm H nằm trên tia phân giác góc xOy. Từ H dựng các đường vuông góc xuống 2 cạnh Ox và Oy (A thuộc Ox, B thuộc Oy)
a) C/m tam giác HAB là tam giác cân
b) Gọi D là hình chiếu của điểm A trên Oy, C là giao điểm của AD với OH. C/m BC vuông góc với Ox
c) Khi góc xOy bằng 60o , c/m OA=2OD
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt AC tại D. Trên BC lấy điểm E sao cho BE = AB. Gọi M là giao điểm của ED và AB.
a) Chứng minh rằng AD = DE.
b) So sánh EC và DM.
c) Tính MC khi AC = 5cm, góc ACB = 300
Câu trả lời của bạn
(A) Nếu \(AM \equiv AH\) thì tam giác \(ABC\) là …………
(B) Nếu tam giác \(ABC\) là ………….. thì \(AM \equiv AH\).
Câu trả lời của bạn
(A) Nếu \(AM \equiv AH\) thì tam giác \(ABC\) là tam giác cân tại A.
(B) Nếu tam giác \(ABC\) là tam giác cân tại A thì \(AM \equiv AH\).
(A) Nếu \(G \equiv I\) thì tam giác \(ABC\) là …………………………..
(B) Nếu tam giác \(ABC\) …………………… thì \(G \equiv I\).
Câu trả lời của bạn
(A) Nếu \(G \equiv I\) thì tam giác \(ABC\) là tam giác đều.
(B) Nếu tam giác \(ABC\) là tam giác đều thì \(G \equiv I\).
Cho tam giác \(ABC\). Điền vào chỗ trống trong khẳng định dưới đây để được khẳng định đúng: \(AB+AC\).....; \(AC+BC\).....; \(AB+BC\).....
Câu trả lời của bạn
\(AB+AC\)\(>BC\); \(AC+BC\)\(>AB\); \(AB+BC\)\(>AC\).
Có tam giác \(ABC\). Điền vào chỗ trống trong khẳng định dưới đây để được khẳng định đúng: \(AB-AC\).....; \(AC-BC\).....; \(AB-BC\).....
Câu trả lời của bạn
\(AB-AC\)\(<BC\); \(AC-BC\)\(<AB\); \(AB-BC\)\(<AC\).
(A) Giao điểm của ba đường cao của tam giác đó;
(B) Giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó;
(C) Giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác đó;
(D) Giao điểm của ba đường phân giác của tam giác đó.
Câu trả lời của bạn
Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác đó.
Chọn C.
(A) \(\widehat{C}\) là góc lớn nhất;
(B) \(\widehat{C}\) là góc tù;
(C) \(\widehat{C}\) là góc vuông;
(D) \(\widehat{C}\) là góc nhọn.
Câu trả lời của bạn
Tam giác \(ABC\) có cạnh \(AB\) là nhỏ nhất nên góc \(C\) là góc bé nhất.
Vậy \(\widehat{C}\) là góc nhọn.
Chọn \(D\).
(A) \(8\);
(B) \(6\);
(C) \(5\);
(D) \(4\).
Câu trả lời của bạn
Ta có \(2+5=7\) mà \(8>7\) nên cạnh thứ ba không thể có số đo là \(8\).
Chọn \(A\).
Sàn nhà của bác An là hình chữ nhật có độ dài hai cạnh tỉ lệ với 3; 4 và chu vi là \(28\) mét. Hãy tìm chiều dài hai cạnh của sàn nhà bác An.
Câu trả lời của bạn
Gọi chiều dài, chiều rộng sàn nhà lần lượt là \(x,y\) \(\left( {x > y > 0} \right)\).
Nửa chu vi hình chữ nhật là: \(28:2 = 14\left( m \right)\).
Do đó \(x + y = 14\).
Vì hai cạnh tỉ lệ với \(3;4\) nên \(\frac{x}{4} = \frac{y}{3}\) (do \(x > y\))
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x}{4} = \frac{y}{3} = \frac{{x + y}}{{4 + 3}} = \frac{{14}}{7} = 2\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow x = 4.2 = 8\left( m \right)\\y = 3.2 = 6\left( m \right)\end{array}\)
Vậy chiều rộng sàn nhà là \(6m\) và chiều dài sàn nhà là \(8m\).
A. \(140^\circ .\) B. \(130^\circ .\) C. \(40^\circ .\) D.\(50^\circ .\)
Câu trả lời của bạn
Ta có : \(Ox\) là tia đối của \(Ox'\); \(Oy\) là tia đối của \(Oy'\) (do cách vẽ)
Vậy \(\widehat {xOy'}\) và \(\widehat {x'Oy}\) là hai góc đối đỉnh
\( \Rightarrow \widehat {xOy'} = \widehat {x'Oy} = 50^\circ .\)
Chọn D.
A. song song với nhau B. vuông góc với nhau C. trùng nhau D. cắt nhau
Câu trả lời của bạn
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Chọn A.
A. \(90^\circ .\) B. \(180^\circ .\) C. \(360^\circ .\) D. \(270^\circ .\)
Câu trả lời của bạn
Giả sử có \(\Delta ABC\)
Góc ngoài tại đỉnh \(A\) bằng \(\widehat B + \widehat C\)
Góc ngoài tại đỉnh \(B\) bằng \(\widehat A + \widehat C\)
Góc ngoài tại đỉnh \(C\) bằng \(\widehat B + \widehat A\)
Tổng ba góc ngoài của tam giác \(ABC\) bằng \(2\left( {\widehat A + \widehat B + \widehat C} \right)\)
Mà \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) nên tổng ba góc ngoài của tam giác bằng \(2.180^\circ = 360^\circ .\)
Chọn C.
A. \(140^\circ \) B. \(100^\circ \) C. \(60^\circ \) D. \(120^\circ \)
Câu trả lời của bạn
Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác \(ABC\) ta có:
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat B = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat C} \right)\)\( = 180^\circ - \left( {50^\circ + 70^\circ } \right) = 60^\circ \)
Vì góc ngoài tại đỉnh \(B\) và góc .. là hai góc kề bù nên có tổng số đo là \(180^\circ \).
Suy ra góc ngoài của tam giác tại đỉnh \(B\) có số đo là \(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).
Chọn D
Biết rằng các cạnh của một tam giác tỉ lệ với 4; 5; 3 và chu vi của nó bằng 120m. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của tam giác đó.
Câu trả lời của bạn
Gọi các cạnh của tam giác là \(x;y;z\,\left( {x;y;z > 0} \right)\)
Theo đề bài ta có \(\frac{x}{4} = \frac{y}{5} = \frac{z}{3}\) và \(x + y + z = 120\).
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có \(\frac{x}{4} = \frac{y}{5} = \frac{z}{3} = \frac{{x + y + z}}{{4 + 5 + 3}} = \frac{{120}}{{12}} = 10\)
Do đó \(x = 4.10 = 40\,m\); \(y = 5.10 = 50m\); \(z = 3.10 = 30\,m\).
Cạnh nhỏ nhất của tam giác dài \(30\,m.\)
A. \(a//b\) B. \(a\) cắt \(b\) C. \(a \bot b\) D. \(a\) trùng với \(b\)
Câu trả lời của bạn
Nếu đường thẳng \(c\)cắt hai đường thẳng \(a\) và \(b\) và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì \(a//b\).
Chọn A.
A. \(140^\circ \) B. \(100^\circ \) C. \(60^\circ \) D. \(120^\circ \)
Câu trả lời của bạn
Số đo góc ngoài tại đỉnh \(B\) của tam giác \(ABC\) là \({40^0} + {80^0} = {120^0}\).
Chọn D.
A.\(\widehat {xOy'} < {90^0}\) | C.\(\widehat {xOy'} = {90^0}\) |
B.\(\widehat {xOy'} > {90^0}\) | D.\(\widehat {xOy'} = {180^0}\) |
Câu trả lời của bạn
\(xx' \bot yy' \Leftrightarrow \widehat {xOy'} = {90^0}\)
Chọn đáp án C
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *