Cho tam giác \(ABC.\) Qua mỗi đỉnh \(A, B, C\) kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành tam giác \(DEF\) (h.17)
a) Chứng minh rằng \(A\) là trung điểm \(EF.\)
b) Các đường cao của tam giác \(ABC\) là các đường trung trực của tam giác nào?
Hướng dẫn giải
Sử dụng:
+) Tính chất hai tam giác bằng nhau
+) Quan hệ từ vuông góc đến song song
+) Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm đoạn thẳng ấy.
Lời giải chi tiết
a) Xét ∆ABC và ∆ACE:
\(\widehat {ACB} = \widehat {CA{\rm{E}}}\) (so le trong, AE // BC)
AC cạnh chung
\(\widehat {CAB} = \widehat {AC{\rm{E}}}\) (so le trong, CE // AB)
Do đó: ∆ABC = ∆CEA (g.c.g)
\( \Rightarrow \) AE = BC (1)
Xét ∆ABC và ∆ABF:
\(\widehat {ABC} = \widehat {{\rm{BAF}}}\) (so le trong, BF // AC)
AC cạnh chung
\(\widehat {BAC} = \widehat {ABF}\) (so le trong, BF // AC)
Do đó: ∆ABC = ∆BAF (g.c.g)
\( \Rightarrow \) AF = BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AE = AF. Vậy A là trung điểm EF.
b) Kẻ \({\rm{A}}H \bot BC\)
EF // BC (gt)
\( \Rightarrow \) \(AH \bot EF\)
AE = AF (chứng minh trên)
Vậy đường cao AH là đường trung trực của EF.
Chứng minh tương tự câu a, ta có B là trung điểm DF và DF // AC nên đường cao kẻ từ đỉnh B của ∆ABC là đường trung trực DFF.
Ta có C là trung điểm DE và DE // AB nên đường cao kẻ từ đỉnh C của ∆ABC là đường trung trực của DE.
-- Mod Toán 7