Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và tính chất của Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Luyện tập cùng với những dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những bài tập có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đề hai góc đối đỉnh.
Đoạn thẳng AM đối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến.
Đường thẳng AM cũng gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến
Định lý:
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm.
Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Giao điểm của ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm của tam giác.
Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng x’x và y’y cắt nhau ở O. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho A nằm giữa O và B, AB = 20A. Trên y’y lấy 2 điểm L và M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B với L, B với M và gọi là P là trung điểm của đoạn thẳng MB, Q là trung điểm của đoạn thẳng LB. Chứng minh các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A.
Giải
Ta có O là trung điểm của LM (gt)
Suy ra BO là đường trung tuyến của \(\Delta BLM\,{\,^{(1)}}\)
Mặt khác BO = BA + AO vì A nằm giữa O, B hay BO = 2AO + AO = 3AO vì AB =2AO (gt)
Suy ra \(AO = \frac{1}{3}BO\,\,hay\,\,BA = \frac{2}{3}BO{\,^{\,(2)}}\)
Từ (1) và (2) suy ra A là trọng tâm của \(\Delta BLM\) (tính chất của trọng tâm)
Mà LP và MQ là các đường trung tuyến của \(\Delta BLM\) vì P là trung điểm của đoạn thẳng MB (gt) và O là trung điểm của đoạn thẳng LB (gt)
Suy ra các đoạn thẳng LP và MQ đều đi qua A (tính chất 3 đường trung tuyến).
Ví dụ 2: Cho \(\Delta ABC\) có BM, CN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Kéo dài BM lấy đoạn ME = MG. Kéo dài CN lấy đoạn NF = NG. Chứng minh:
a. EF = BC
b. Đường thẳng AG đi qua trung điểm BC.
Giải
a. Ta có BM và CN là 2 đường trung tuyến cặp nhau tại G nên G là trọng tâm \(\Delta ABC \Rightarrow GC = 2GN\)
Mà \(FG{\rm{ }} = {\rm{ }}2GN \Rightarrow GC = GF.\)
Tương tự BG, GE và \(\widehat {{G_1}} = \widehat {{G_2}}\) (đđ). Do đó \(\Delta BGC = \Delta EGF\,\,(c.g.c)\)
Suy ra BC = EF
b. G là trọng tâm nên AG chính là đường trung tuyến thứ ba trong \(\Delta ABC.\)
Nên AG đi qua trung điểm của BC.
Ví dụ 3: Kéo dài trung tuyến AM của \(\Delta ABC\) một đoạn thẳng MD có độ dài bằng \(\frac{1}{3}\) độ dài AM. Gọi G là trọng tâm của \(\Delta ABC\). So sánh các cạnh của \(\Delta BGD\) với các trung tuyến của \(\Delta ABC.\)
Giải
Gọi N, P lần lượt là trung điểm của AC, AB.
Ta có AM, BN, CP cắt nhau tại G(tính chất đường trung tuyến) và có
\(BG = \frac{2}{3}BN;CG = \frac{2}{3}CP;AG = \frac{2}{3}AM.\)
\(\begin{array}{l}\Delta BMG = \Delta CMD\,\,(c.g.c) \Rightarrow GB = DC\\\Delta GMC = \Delta DMB\,\,(c.g.c) \Rightarrow GC = DB\end{array}\)
Xét \(\Delta BGD\) và \(\Delta CDG\) có:
GB = DC
BD = DG
GD cạnh chung
Nên \(\Delta BGD = \Delta CDG\,(c.c.c) \Rightarrow BD = CG = \frac{2}{3}CP\)
Ta cũng có: \(GD = \frac{2}{3}AM\)
Ta có \(\Delta BGD\) có các cạnh lần lượt bằng \(\frac{2}{3}\) các trung tuyến của \(\Delta ABC\)
Bài 1: Cho \(\Delta ABC\). Trên cạnh BC lấy điểm T sao cho \(TB = \frac{2}{3}BC\). Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = CA. Đường thẳng DT cắt cạnh AB tại E. Chứng minh EA = EB.
Giải
Trong \(\Delta ABD\) có: BC là trung tuyến vì CA = CD.
Và \(TB = \frac{2}{3}BC,\) do đó T là trọng tâm của \(\Delta ABD\).
Suy ra DT là đường thẳng chứa trung tuyến xuất phát từ D nên phải qua trung điểm E của AB.
Vậy EA = EB.
Bài 2: Cho \(\Delta ABC\), AC > AB. Gọi BE và CD là các trung tuyến.
Chứng minh: CD > BE.
Giải
Gọi F là trung tuyến của BC thì ba đường trung tuyến AF, BE, CD cắt nhau ở M. Vì AC > AB nên \(\widehat {{F_1}} > \widehat {{F_2}}\) (do \(\Delta AFB\) và \(\Delta AFC\)có AF cạnh chung, FB = FC và AC > AB)
Từ \(\widehat {{F_1}} > \widehat {{F_2}}\)từ hai tam giác MFB và MFC có: MF cạnh chung, FB = FC ta suy ra MC > MB.
Hay \(\frac{2}{3}CD > \frac{2}{3}BE.\) Vậy CD > BE.
Bài 3: Cho \(\Delta ABC,BC = a,CA = b,AB = c.\) Kẻ trung tuyến AM. Đặt \(AM = {m_a}.\)
Chứng minh rằng: \(\frac{{b + c - a}}{2} < {m_a} < \frac{{b + c}}{2}\)
Giải
Với \(\Delta AMB\) ta có: AM + MB > AB (1)
Với \(\Delta AMC\) ta có: AM + MC > AC (2)
Cộng từng vế ta được: 2AM+(BM+MC)>AB+AC
Hay \(2{m_a} + a > b + c\)
Suy ra \({m_a} > \frac{{b + c - a}}{2}\,{\,^{(1)}}\)
Theo bài 411, ta được: \({m_a} < \frac{{b + c}}{2}\,{\,^{(2)}}\)
Từ (1) và (2) ta được: \(\frac{{b + c - a}}{2} < {m_a} < \frac{{b + c}}{2}\)
Qua bài giảng Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 4 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
Chọn câu sai:
Điền số thích hợp vào chỗ chấm: "Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng...độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy"
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 7 Chương 3 Bài 4để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 23 trang 66 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 24 trang 66 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 25 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 26 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 27 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 28 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 29 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 30 trang 67 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 31 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 32 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 33 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 34 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 35 trang 42 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 36 trang 43 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 37 trang 43 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 38 trang 43 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 39 trang 43 SBT Toán 7 Tập 2
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 7 DapAnHay
Chọn câu sai:
Điền số thích hợp vào chỗ chấm: "Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng...độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy"
Cho hình vẽ sau:
Điền số thích hợp vào chỗ chấm: BG = ...BE
Cho hình vẽ sau:
Điền số thích hợp vào chỗ chấm: AG = ...GD
Trong tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và trọng tâm G. Độ dài đoạn AG là
Cho G là trọng tâm của tam giác DEF với đường trung tuyến DH (h. 24)
Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?
\(\begin{array}{l} \frac{{DG}}{{DH}} = \frac{1}{2};\frac{{DG}}{{GH}} = 3\\ \frac{{GH}}{{DH}} = \frac{1}{3};\frac{{GH}}{{DG}} = \frac{2}{3} \end{array}\)
Cho hình 25. Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức sau:
a) MG=...MR; GR=...MR; GR=...MG
b) NS=...NG; NS=...GS; NG=...GS
Biết rằng: Trong một tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Hãy giải bài toán sau:
Cho tam giác vuông ABC có hai cạnh góc vuông AB=3cm, AC=4cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A tới trọng tâm G của tam giác ABC.
Chứng minh định lí: Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau
Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên: nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân
Cho tam giác DEF cân tại D với đường trung tuyến DI.
a) Chứng minh tam giác DEI=tam giác DFI
b) Cho biết số đo của hai góc DIE và DIF
c) Biết DE=DF=13cm, EF=10cm, hãy tính độ dài đường trung tuyến DI
Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng:
GA=GB=GC
Hướng dẫn: Áp dụng định lí ở bài tập 26
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G' sao cho G là trung điểm của AG'
a) So sánh các cạnh của tam giác BGG' với các đường trung tuyến của tam giác ABC
b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG' với các cạnh của tam giác ABC
Cho hình 7. Điền vào chỗ trống:
\(GK = ….CK; AG = … GM;\) \(GK = … CG;\)
\(AM = ….AG; AM = … GM.\)
Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AB = AC = 34cm, BC = 32cm.\) Kẻ đường trung tuyến \(AM.\)
a) Chứng minh rằng \(AM \bot BC\)
b) Tính độ dài \(AM.\)
Gọi \(\displaystyle G\) là trọng tâm của tam giác \(\displaystyle ABC.\) Vẽ điểm \(\displaystyle D\) sao cho \(\displaystyle G\) là trung điểm của \(\displaystyle AD.\) Chứng minh rằng:
a) Các cạnh của tam giác \(\displaystyle BGD\) bằng \(\displaystyle \displaystyle {2 \over 3}\) các đường trung tuyến của tam giác \(\displaystyle ABC\)
b) Các đường trung tuyến của tam giác \(\displaystyle BGD\) bằng một nửa các cạnh của tam giác \(\displaystyle ABC.\)
Tam giác \(\displaystyle ABC\) có \(\displaystyle BC = 10cm,\) các đường trung tuyến \(\displaystyle BD\) và \(\displaystyle CE.\) Chứng minh rằng \(\displaystyle BD + CE > 15cm.\)
Cho tam giác \(\displaystyle ABC.\) Trên tia đối của tia \(\displaystyle BA\) lấy điểm \(\displaystyle D\) sao cho \(\displaystyle BD = BA.\) Trên cạnh \(\displaystyle BC\) lấy điểm \(\displaystyle E\) sao cho \(\displaystyle BE = {1 \over 3}BC\). Gọi \(\displaystyle K\) là giao điểm của \(\displaystyle AE\) và \(\displaystyle CD. \) Chứng minh rằng \(\displaystyle DK = KC.\)
Theo kết quả của bài 64 chương II, SBT Toán 7 tập 1 ta có: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Vận dụng kết quả trên để giải bài toán sau: Cho tam giác \(\displaystyle ABC,\) đường trung tuyến \(\displaystyle AD.\) Kẻ đường trung tuyến \(\displaystyle BE\) cắt \(\displaystyle AD\) ở \(\displaystyle G.\) Gọi \(\displaystyle I, K\) theo thứ tự là trung điểm của \(\displaystyle GA, GB.\) Chứng minh rằng:
a) \(\displaystyle IK // DE, IK = DE\)
b) \(\displaystyle {\rm{A}}G = {2 \over 3}A{\rm{D}}\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường trung tuyến \(AM.\) Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(MD = MA.\)
a) Tính số đo góc \(ABD.\)
b) Chứng minh: \(∆ABC = ∆BAD.\)
c) So sánh độ dài \(AM\) và \(BC.\)
Tam giác \(\displaystyle ABC\) có đường trung tuyến \(\displaystyle AM\) bằng nửa cạnh \(\displaystyle BC.\) Chứng minh rằng \(\displaystyle \widehat {BAC} = 90^\circ \).
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Bài : Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC ở D.kẻ DE vuông góc với BC tại E.
a . Chứng minh DA = DE
b . Chứng minh BD là trung trực của AE
c . Kẻ CK vuông góc với BD tại K, các đường thẳng CK,BA cắt nhau tại F. Chứng minh ba điểm E,D,F thẳng hàng
Câu trả lời của bạn
ko biết
a)Xét tam giác BAD và tam giác BED có:
góc BAD=góc BED(=90 độ)
BD chung
góc ABD=góc EBD
=>tam giác BAD=tam giác BED(ch-gn)
=>AD=ED(2 cạnh tương ứng)
b)Vì tam giác BAD=tam giác BED
=>BA=BE(2 cạnh tương ứng)
mà AD=ED(cmt)
=>BD là trung trực AE
a bạn xét hai tam giác nhé !!
cho tam giác ABC vuông tại a có AB=6cm ,AC=8cm ,đường phân giác BD .kẻ DE vuông góc với BC (E thuộc BC )
a)tính BC
b)chứng minh:/_\ABD=/_\EBD
c)/_\ABE là tam giác cân
d)gọi F là giao điểm của BE và CD .Tam giác KBC.CHỨNG MINH RẰNG :DF=DC
d)AD<DC
Cho tam giác ABC cân tại A(AB>BC).Trên tia đối của BC lấy D sao cho BD=AB. Trên tia đối của AB lấy E sao cho BE=CD.AH là đường cao.Dm là đường cao. DM cắt AH tại I. IB cắt AD tại N.
CMR:MN//ED
Câu trả lời của bạn
chịu
a) Xét ΔABMΔABM và ΔACMΔACM có:
AB=AC(gt)AB=AC(gt)
AM chung
BM=CMBM=CM (AM là đường trung tuyến)
⇒ΔABM=ΔACM(c.c.c)⇒ΔABM=ΔACM(c.c.c)
⇒ˆAMB=ˆAMC=18002=90o⇒AMB^=AMC^=18002=90o
⇒AM⊥BC⇒AM⊥BC
b) Ta có: BM=CMBM=CM = 32=2,532=2,5
Áp dụng định lý pytago vào ΔABMΔABM có:
AB2=AM2+BM2AB2=AM2+BM2
⇒52=AM2+2,52⇒52=AM2+2,52
⇒AM=√18,75(cm)
chúc thi tốt
ab=ac nhé
chúc bn học tốt
Câu trả lời của bạn
cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường phân giác BD(dAc) kẻ DH vuông góc với Bc (HBC)
Gọi K là giao điểm của BA và HD. Chứng minh:
a) AD = HD
b) BD ⊥ KC
c) 2( AD+AK ) > KC.
Câu trả lời của bạn
Câu trả lời của bạn
Đề sai nhaa >.<
Trong một tam giác vuông, trung tuyến sẽ bằng 1/2 cạnh huyền tương ứng.
--> sai đề
ta có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh HUYỀN
MÀ AM>BC
ĐỀ SAI KHÔNG CÓ HÌNH VẼ TƯƠNG ỨNG
(A) \(\dfrac{{MG}}{{AG}} = \dfrac{1}{2};\)
(B) \(\dfrac{{MG}}{{AG}} = \dfrac{2}{3};\)
(C) \(\dfrac{{MG}}{{AG}} = \dfrac{3}{4};\)
(D) \(\dfrac{{MG}}{{AG}} = 1.\)
Câu trả lời của bạn
Tam giác \(ABC\) có đường trung tuyến \(AM\); \(G\) là trọng tâm của tam giác đó thì \(\dfrac{{MG}}{{AG}} = \dfrac{1}{2}\).
Chọn A.
Trên hình 9, tam giác ABC có góc A bằng 700, các đường phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Tính góc BIC.
Câu trả lời của bạn
Góc BIC = 125o nha
Ta có:
ˆABC+ˆACB+ˆBAC=180oABC^+ACB^+BAC^=180o (tổng 3 góc trong tam giác ABC)
⇒ˆABC+ˆACB=180o−ˆBAC=180o−70o=110o⇒ABC^+ACB^=180o−BAC^=180o−70o=110o
Vì BD và CE là 2 đường phân giác của ˆABCABC^ và ˆACBACB^ nên ta có:
ˆCBI+ˆBCI=12ˆABC+12ˆACBCBI^+BCI^=12ABC^+12ACB^
=12(ˆABC+ˆACB)=12(ABC^+ACB^)
=12⋅110o=55o=12⋅110o=55o
ˆCBI+ˆBCI+ˆBIC=180oCBI^+BCI^+BIC^=180o (tổng 3 góc trong tam giác BCI)
⇒ˆBIC=180o−(ˆCBI+ˆBCI)=180o−55o=125o⇒BIC^=180o−(CBI^+BCI^)=180o−55o=125o
Vậy ˆBIC=125o
Hãy điền vào các chỗ trống dưới đây để được khẳng định đúng: \(\dfrac{{AG}}{{AM}} = .......................;\)\(\dfrac{{AG}}{{GM}} = .......................;\)
Câu trả lời của bạn
\(\dfrac{{AG}}{{AM}} =\dfrac{2}{3};\)\(\dfrac{{AG}}{{GM}} = 2;\)
Hãy điền vào các chỗ trống dưới đây để được khẳng định đúng: \(\dfrac{{GM}}{{AM}} = .......................;\)\(\dfrac{{GM}}{{AG}} = ........................\).
Câu trả lời của bạn
\(\dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3};\)\(\dfrac{{GM}}{{AG}} = \dfrac{1}{2}\).
Nếu \(MA = MB\) thì \(M\) nằm trên ..........................
Câu trả lời của bạn
Nếu \(MA = MB\) thì \(M\) nằm trên tia phân giác của góc \(xOy\).
Nếu ..................... thì \(MA = MB.\)
Câu trả lời của bạn
Nếu \(M\) nằm trên tia phân giác của góc \(xOy\) thì \(MA = MB.\)
a) Chứng tỏ tam giác ABC vuông tại A.
b) Vẽ phân giác BD (D thuộc AC), từ D vẽ DE ^ BC (E Î BC). Chứng minh DA = DE.
c) ED cắt AB tại F. Chứng minh DADF = DEDC rồi suy ra DF > DE.
Câu trả lời của bạn
cho tam giác ABC , D là trung điểm của cạnh AB , E là 1 điểm trên cạnh AC sao cho AE=1/4AC. Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng DE và BC
a) C/M E là trung điểm của đoạn thẳng AM
b) c/M DE//BM và DE = 1/2 BM
c ) C/M PB = 1/2BC
Câu trả lời của bạn
Hi
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC vuông tại A. đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC. gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng :
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC vuông tại A, AM là đg trug tuyến. trên tia AM lấy đỉm D sao cho M là trug điểm của AD, Chứng minh rằng tam giác ACD là tam giác vuông; tam giác ABC=tam giác CDA
Câu trả lời của bạn
[^.^]
Tam giác ABC vuông tại A,góc B=30°,AM trung tuyến.Chứng minh rằng: AM=AC=1 phần 2 BC
Câu trả lời của bạn
Giúp mình
Câu 4b
Câu trả lời của bạn
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *