Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và tính chất của Tính chất ba đường cao của tam giác - Luyện tập cùng với những dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những bài tập có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đề hai góc đối đỉnh.
Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó.
Mỗi tam giác có ba đường cao.
Định lý: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.
* Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao xuất phát từ đỉnh của tam giác đó.
* Trong tam giác đều, các điểm: trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh điểm cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau.
Nhận xét: Nếu hai trong bốn loại đường trên trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.
Ví dụ 1: Gọi D là điểm nằm trên cạnh AB của tam giác vuông cân ABC \((\widehat A = {90^0})\). Trên tia đối của tia AC lấy E sao cho AE = AD. Chứng minh rằng CD vuông với BE.
Giải
Ta có \(\Delta ADE\) vuông cân tại A nên \(\widehat {AED} = {45^0}\) mà \(\widehat {ACB} = {45^0}\) (\(\Delta ABC\) vuông cân tại A)
Do đó \(ED \bot BC\)
Ta lại có \(BA \bot EC.\)
Vậy D là trực tâm của \(\Delta EBC\)
Suy ra \(CD \bot BE\)
Ví dụ 2: Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D trên mặt phẳng. Biết rằng AB vuông góc với AD, AC vuông góc với BD. Chứng minh rằng AD vuông góc với BC.
Giải
Ta nhận thấy A, B, C là ba điểm không thẳng hàng. Thật vậy, nếu chúng thuộc đường thẳng a thì do \(AB \bot CD,AC \bot BD\) ta có (H). BD và CD cũng vuông góc với a, vô lý.
Xét \(\Delta ABC\), ta thấy D nằm trên đường thẳng qua C và vuông góc với AB, D cũng nằm trên đường thẳng qua B và vuông góc với AC nên D là trực tâm của \(\Delta ABC.\) Vậy \(AD \bot BC.\)
Ví dụ 3: Cho đường thẳng x’x và một điểm O nằm trên đường thẳng ấy. Dựng tia Oy vuông góc với x’x. Trên tia Oy lấy hai điểm A và B nào đó sao cho nằm giữa O và B, trên tia Ox lấy một điểm C nào đó. Gọi D là hình chiếu của A trên đường thẳng BC.
a. Chứng tỏ rằng hai đường thẳng x’x và AD cắt nhau tại điểm E.
b. Chứng minh: \(AC \bot BE\)
c. Chứng minh rằng hai góc BAE và BCE bù nhau (tổng số đo hai góc bằng \({180^0}\))
Giải
a.
Hai đường thẳng AD và x’x phân biệt. Giả sử AD // x’x. Vì \(AD \bot BC\) nên \(x'x \bot BC.\)
Như vậy qua điểm B có hai đường thẳng BO và BC cùng vuông góc với x’x, vô lý.
Từ đó, AD không song song x’x nên AD cắt x’x tại điểm E.
b.
Xét \(\Delta BCE\) hai đường thẳng cao BO và ED cắt nhau tại điểm A nên A là trực tâm của \(\Delta BCE\)
Đường cao xuất phát từ đỉnh C đi qua A hay \(AC \bot BE.\)
c.
Xét tam giác vuông AOC, ta có:
\(\widehat {OAC} + \widehat {OCA} = {90^0}\,\,{\,^{(1)}}\)
Xét tam giác vuông ADC ta có:
\(\widehat {CAD} + \widehat {ACD} = {90^0}\,\,{\,^{(2)}}\)
Cộng (1) và (2) vế với với ta được:
\(\widehat {OAC} + \widehat {CAD} + \widehat {OCA} + \widehat {ACD} = {180^0} \Rightarrow \widehat {OAD} + \widehat {OCD} = {180^0}\)
Vì \(\widehat {OAD} = \widehat {BAE},\) còn có \(\widehat {OCD}\) chính là góc \(\widehat {BCE}\), suy ra:
\(\widehat {BAE} + \widehat {BCE} = {180^0}\)
Bài 1: Cho hai đường thẳng x’x và yy’ cắt nhau tại O. Trên Ox, Ox’ lần lượt lấy các điểm B, D sao cho OA = OB, OC = OD.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Chứng minh M, O, N thẳng hàng.
Giải
Ta có: OA = OB (gt)
Nên \(\Delta OAB\) cân ở O.
OC = OD (gt)
Nên \(\Delta OCD\) cân ở O
Trong \(\Delta OAB\) cân ở O có OM là đường trung tuyến (MA = MB) nên OM cũng là đường phân giác của \(\widehat O\).
Tương tự ON cũng là đường phân giác của \(\widehat O\)
OM, ON là các tia phân giác của hai góc đối đỉnh nên M, C, N thẳng hàng.
Bài 2: Cho \(\Delta ABC\) cân ở A. Qua A kẻ đường thẳng d song song với đáy BC. Các đường phân giác của góc B và của góc C lần lượt cắt d tại E và F. Chứng minh rằng:
a. d là phân giác ngoài của góc A.
b. AE = AF
Giải
\(\widehat {{A_1}} = \widehat B\) (d // BC, đồng vị)
\(\widehat B = \widehat C\)(\(\Delta ABC\) cân)
Nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat C\)
Mà \(\widehat {{A_2}} = \widehat C\) (d // BC, so le)
Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\)
Vậy d là phân giác ngoài của \(\widehat {A\,}\)
b.
Ta có: \(\widehat {FEB} = \widehat {EBC} = \frac{1}{2}\widehat B\) (so le trong)
\(\widehat {FEC} = \widehat {FCB} = \frac{1}{2}\widehat C\) (so le trong)
Mà \(\widehat B = \widehat C\) (\(\Delta ABC\) cân)
Nên \(\widehat {FEB} = \widehat {EFC}\)
Suy ra \(\Delta IFE\) cân tại I
Mặt khác \(AI \bot AE.\)
Nên IA là đường cao của tam giác cân IFE nên cũng là đường trung tuyến.
Vậy AE =AF.
3. Luyện tập Bài 9 Chương 3 Hình học 7
Qua bài giảng Tính chất ba đường cao của tam giác này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 9 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
Cho tam giác ABC, hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Hãy chọn phát biểu đúng
Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến khi đó
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 7 Chương 3 Bài 9để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 58 trang 83 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 59 trang 83 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 60 trang 83 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 61 trang 83 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 62 trang 83 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 70 trang 50 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 71 trang 50 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 72 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 73 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 74 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 75 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 76 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 77 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 78 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 79 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 80 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 81 trang 51 SBT Toán 7 Tập 2
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 7 DapAnHay
Cho tam giác ABC, hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Hãy chọn phát biểu đúng
Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến khi đó
Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM. Biết BC = 24cm, AM = 5cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC
Đường cao của tam giác đều cạnh a có bình phương độ dài là
Cho tam giác ABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chọn câu đúng
Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác
Cho hình 57.
a) Chứng minh \(N{\rm{S}} \bot LM\)
b) Khi \(\widehat {LNP} = {50^o}\), hãy tính góc MSP và góc PSQ
Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.
Chứng minh rằng \(KN \bot IM\)
Cho tam giác ABC không vuông. Gọi H là trực tâm của nó.
a) Hãy chỉ ra các đường cao của tam giác HBC. Từ đó hãy chỉ ra trực tâm của tam giác đó.
b) Tương tự, hãy lần lượt chỉ ra trực tâm của tam giác HAB và HAC.
Chứng minh rằng một tam giác có hai đường cao (xuất phát từ các đỉnh của hai góc nhọn) bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Từ đó suy ra một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(B.\) Điểm nào là trực tâm của tam giác đó?
Cho hình 15.
a) Chứng minh rằng: \(CI \bot AB.\)
b) Cho \(\widehat {ACB} = 40^\circ \). Tính \(\widehat {BI{\rm{D}}},\widehat {DIE}\)
Cho \(H\) là trực tâm của tam giác \(ABC\) không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác \(HAB, HAC, HBC.\)
Tam giác \(ABC\) có các đường cao \(BD\) và \(CE\) bằng nhau. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác cân.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH.\) Tìm trực tâm của tam giác \(ABC, AHB, AHC.\)
Cho hình 16. Có thể khẳng định rằng các đường thẳng \(AC, BD, KE\) cùng đi qua một điểm hay không? Vì sao?
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\) đường trung tuyến \(AM.\) Qua \(A\) kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(AM.\) Chứng minh rằng \(d\) song song với \(BC.\)
Cho tam giác \(ABC \) cân tại \(A.\) Vẽ điểm \(D\) sao cho \(A\) là trung điểm của \(BD.\) Kẻ đường cao \(AE\) của \(∆ABC,\) đường cao \(AF\) của \(∆ACD.\) Chứng minh rằng \(\widehat {EAF} = 90^\circ \)
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A,\) đường cao \(CH\) cắt tia phân giác của góc \(A\) tại \(D.\) Chứng minh rằng \(BD\) vuông góc với \(AC.\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC = 13cm, BC = 10cm.\) Tính độ dài đường trung tuyến \(AM.\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat B,\widehat C\) là các góc nhọn, \(AC > AB.\) Kẻ đường cao \(AH.\) Chứng minh rằng \(\widehat {HAB} < \widehat {HAC}.\)
Cho tam giác \(ABC.\) Qua mỗi đỉnh \(A, B, C\) kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành tam giác \(DEF\) (h.17)
a) Chứng minh rằng \(A\) là trung điểm \(EF.\)
b) Các đường cao của tam giác \(ABC\) là các đường trung trực của tam giác nào?
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
cho tam giác ABC cân tại A kể đường phân giác AD . Trên tia đối của AD lấy điểm E sao cho DE=DA . Chứng minh:
a, AD là đường trung tuyến của tam giác ABC
b, AD vuông góc với BC
c, CE//AB
Câu trả lời của bạn
xét tam giác ADB và tam giác ACD ta có
AB=AC(tam giác ABC cân tại A)
góc ABC = góc ACB (tam giác ABC cân tại A)
góc CAD và góc BAD (AD là đường phân giác)
do đó tam giác ADB=tam giác ACD (c-g-c)
=>DB=DC
nên AD là đường trung tuyến của tam giác ABC
xét tam giác ABC cân tại A có AD là đường trung tuyến nên cũng là đường trung trực của tam giác ABC
=>AD vuông góc với BC
c)đề đúng không bạn mk thấy tronh hình không song song
cho tam giác ABC có AB=ACAC.Điểm M là trung điểm của BC
a)chứng minh:tam giác ABm=tam giác ACM
b) Kéo dài tia AM lấy điểm D sao cho MA = MD. Chứng minh AB = CD
c) Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CD = CE. Chứng minh ADE vuông
tại A.
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC có AC = 16cm, AB = 12cm, BC = 20cm.
a) Chứng minh tam giác ABC vuông.
b) I là trung điểm AC,tính BI
Câu trả lời của bạn
1 Tam giác IGD có IG = 7cm ; DG = 13cm; ID = 10cm. Hãy so sánh các góc của tam giác IGD
2.Tam giác HKM vuông tại K có MH = 13cm ; KM = 5cm. Hãy so sánh các góc của tam giác HKM?
3.Tìm chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó là 3cm và 1cm
4Cho hình vẽ biết AD = 2cm ; CD = 5cm. Hãy so sánh AB và BC.
5.Cạnh dài nhất của tam giác AMN là cạnh nào biết tam giác AMN cân tại M;góc N bằng 30 độ
6.Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Biết BC = 25cm; AC = 20cm. Hãy so sánh HB và HC
Câu trả lời của bạn
Một hình chữ nhật ABCD có chiều dài 12,5m chiều rộng bằng 2/5 chiều dài. Người ta cắt một phần đất AMD có hình dạng như hình trên. Biết DM= 2/3 CD Tính: A) Tính diện tích phần đất đã cắt? B) Tính diện tích phần đất còn lại?
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC, Tìm điểm O cách đều ba điểm A, B. C. Có bao nhiêu điểm như vậy ?
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác DEF vuông tại E, biết EF = 9cm, ED= 12cm. Tính độ dài cạnh DF
Câu trả lời của bạn
cảm ơn nha!!!!!
Mà công nhận chữ bạn đẹp ghê luôn á!
Cho ∆ABC cân tại A. Đường phân giác BD và CE của góc B và góc C cắt nhau tại I. Chứng minh.
a) ∆ACD = ∆CBE
b) ∆ABD = ∆ACE
c) kẻ IH vuông góc với AC, IK vuông góc với AB. Chứng minh IH = IK
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC vuông tại A góc C=300.
a)Tính số đo góc B
b)Phân giác góc B cắt AC tại D. Kẻ DE vuông góc BC tại E
chứng minh tam giác ABE đều
c)Tia EA cắt tia BA tại F
chứng minh tam giác BFC đều và AE song song CF
---THANKS---
Câu trả lời của bạn
Đề bài: Cho hình vẽ sau:
Chỉ ra các tam giác vuông và chứng minh.
Câu trả lời của bạn
tam giác AMD=tam giác AME(cạnh huyền-góc nhon)
tam giác AMB=tam giác AMC(g.c.g)
Xét tam giác AMD vuông tại D và tam giác AME vuông tại E có
AM chung
DAM=EAM
Do đó tam giác AMD=tam giác AME [cạnh huyền.góc nhọn]
Suy ra là cạnh MD=ME và AD=AE
Xét tam giác BDM vuông tại D và tam giác CEM vuông tại E có
MD=ME
MB=MC
Do đó tam giác BDM=tam giác CEM theo trường hợp cạnh huyền cạnh góc vuông
Suy ra BD=CE
Mà AD=AE =>BD+AD=AE+CE
=> AB=AC
=> Tam giác ABC cân
Xét tam giác ABM và tam giác ACM có
AB=AC
MB=MC
AM chung
Do đó tam giác AMB=tam giác AMC
=>góc AMB=góc AMC. Mà AMB + AMC=180 độ => AMB=AMC=90 độ
Vậy các tam giác vuông bằng nhau là AMD=AME
AMB=AMC
DMB=EMC
Tam giác ADE vuông tại D vì góc ADM=90o
Tam giác AEM;BDM;MEC CM tương tự tam giác ADE
tam giác ABC có: AM vừa là đtt vừa là đpg => ABC là tg cân
=> AM cx là đg cao = Am vuông góc BC => tam giác AMB và tam giác AMC vuông tại M
Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác góc BAC cắt BC tại M.
a) CM: tam giác AHB = tam giác AMC
b) Kẻ ME vuông AB ( E thuộc AB )
Kẻ MF vuông góc ( F thuộc AC )
CM : tam giác AEF cân
c) CM : AM vuông góc EF
d) Qua B kẻ đường thẳng // với AC và cắt FM tại I. CM: BE = BI
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC nhọn, gọi H là đường vuông góc từ A xuống BC, I và K lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Trên tia đối của KH lấy điểm N sao cho KN=KH,trên tia đối của IH lấy M sao cho IM=IH. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của MN với AB và AC.
a)CMR 3 đường thẳng AH,BF,CE đồng quy.
b)Gọi O là giao điểm BF và CE. CM OE= OF =OH
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC cân tại A vẽ trung tuyến AM
a) Chứng minh tam giác ABM=tam giác ACM
b)Chứng minh AM⊥BC
c) Kẻ MH⊥AB,MK⊥AC.Chứng minh tam giác HBM=tam giác KCM
d) Chứng minh tam giác AHK cân tại A
e) Chứng minh HK//BC
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC. Vẽ ra phía ngoài tam giác các tam giác đều BCD, CAE, ABF. Chứng minh 3 đoạn AD,BE,CF đồng quy.
Câu trả lời của bạn
Bên trong một tam giác đều có diện tích bằng 1 cho 2017 điểm. Chứng minh rằng trong số các tam giác có đỉnh là các điểm đó hoặc là các đỉnh tam giác đều, tồn tại một tam giác có diện tích không vượt quá 1/4035
Câu trả lời của bạn
Bài 1. Cho tam giác ABC có :
AB = 6cm; AC = 8cm; BC = 10cm
Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
Câu trả lời của bạn
Có AB^2 AC^2=6^2 8^2=100;BC^2=10^2=100 =>AB^2 AC^2=BC^2(=100) =>tam giác ABC vuông tại A
A
Tự vẽ hình nhé
Cho tam giác ABC. Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm các đường trung trực của tam giác đó. Chứng minh:
a) AH bằng hai lần khoảng cách từ O đến BC
b) Ba điểm H, G, O thẳng hàng và GH=2GO
Câu trả lời của bạn
à
tam giác ABC cân tại A. M là trung điểm cạnh BC
a) chứng minh tam giác ABM = ACM
b) đường thẳng qua M song song với AC cắt AB tại E. Chứng minh tam giác EAM cân
c) I là trung điểm AC. Chứng minh BI, AM, CE đồng quy
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác ABC có góc A = 900 BD là phân giác của góc B ( D thuộc AC ). Trên tia BC lấy điểm E sao cho BA = BE
a) Chứng minh tam giác BAD = tam giác BED ⇒ DE vuông góc BE
b) Chứng minh BD là đường trung trực của AE
c) Kẻ AH vuông góc BC . So sánh EH và EC
Mọi người hộ mình nha :3
Câu trả lời của bạn
ok
Bạn Harry moon đúng r đó bạn ạ
cho ΔABC vuông tại A có AH⊥BC(H∈BC) lấy D ∈AC sao cho AB=AD. Vẽ DE,DK lần lượt vuông góc vs BC và AH (E∈BC, K∈AH)
a) So sánh AH và BC
b) C/M: AK=BH
c) Vẽ đường phân giác của ^BAC cắt BC tại M, chứng minh AM đi qua trrung điểm của đoạn BD
d) tínhˆEAH EAH^
e) Với giả thiết AC=2AB. C/M: AE,HD,CK đồng quy
Câu trả lời của bạn
ok
Cái bạn Mai _ Bảo đúng r đók bạn
Tự vẽ hình nha bạn
a) tam giác ABE có AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyển
Nên ABE cân tại A có góc B=60 nên ABE đều
b)ABC vuông tại A có góc B =60 nên ABC là nửa tam giác đều
=> AB=1/2BC
Mà BE=AB( tam giác ABE đều)
=> BE=1/2 BC
=> E là trung điểm BC
c)góc ABE+góc KAE=90
Mà góc BAE=60(tg ABE đều)
=>góc KAE=30
tg ABE đều có AH là đường cao đồng thời là đường phân giác
=>góc EAH=góc ABH =30
tự chứng minh tg ABH = tg AEK(ch-gn)
=>AK=AH
=> tg AKH cân tại A có góc HAK = 60
NÊn tg HAK đều
d)BA=BE=BC/2=6cm
=> BC=12cm
XÉt tg ABC vuông tại A có:
AB^2+AC^2=BC^2(định lý pitago)
=>AC=6căn3 cm
e) Tự chứng mihn tg AHE=tg AKE(ch-gn)
=>HE=EK
MÀ AK=AH
=> AE là đường trung trực của HK
bn cần nữa ko
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *