Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm và tính chất của Tính chất ba đường phân giác của tam giác - Luyện tập cùng với những dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những bài tập có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đề hai góc đối đỉnh.
Trong tam giác ABC tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm M.
* Đoạn thẳng AM được gọi là đường phân giác của tam giác ABC.
* Đường thẳng AM cũng gọi là đường phân giác của tam giác ABC.
* Mỗi tam giác có ba đường phân giác.
Tính chất:
Trong một tam giá cân đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy.
Định lý:
Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
Giả thiết:
* \(\Delta ABC\)
* Hai phan giác BE, CF cắt nhau tại I.
Kết luận:
* AI là tia phân giác của góc A
* IH = IK = IL
Ví dụ 1: Tam giác ABC có trung tuyến AM đồng thời là phân giác. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác cân.
Giải
Kéo dài AM một đoạn MD = AM
\(\Delta AMB\) và \(\Delta DMC\) có:
AM = DM (cách vẽ)
\(\widehat {AMB} = \widehat {DMC}\) (đối đỉnh)
MB = MC (gt)
Nên \(\Delta AMB = \Delta DMC\) (c.g.c)
Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat D;AB = CD\,{\,^{(1)}}\)
Ta có \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\,\,(gt),\,\widehat {{A_1}} = \widehat D \Rightarrow \widehat {{A_2}} = \widehat D\)
Do đó \(\Delta ACD\) suy ra \(AC = CD\,{\,^{(2)}}\)
Từ (1) và (2) suy ra AB = AC
Vậy \(\Delta ABC\)là tam giác cân.
Ví dụ 2: Hai đường phân giác của góc B và C trong tam giác ABC cắt nhau ở I. Chứng minh rằng: \(\widehat {BIC} = 90 + \frac{{\widehat A}}{2}.\)
Giải
I là giao điểm của hai phân giác của \(\widehat B\) và \(\widehat C\)
\( \Rightarrow \) phân giác góc A là AI.
Ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{\widehat A}}{2} + \frac{{\widehat B}}{2} + \frac{{\widehat C}}{2} = {90^0}\\ \Rightarrow \frac{{\widehat B}}{2} + \frac{{\widehat C}}{2} = {90^0} - \frac{{\widehat A}}{2}\end{array}\)
Trong tam giác BIC có:
\(\widehat {BIC} = {180^0} - \left( {\frac{{\widehat B}}{2} + \frac{{\widehat C}}{2}} \right) = {180^0} - ({90^0} - \frac{{\widehat A}}{2}) = {90^0} + \frac{{\widehat A}}{2}\)
Vậy \(\widehat {BIC} = {90^0} + \frac{{\widehat A}}{2}\)
Ví dụ 3: Cho \(\Delta ABC\). Gọi I là giao điểm của hai tia phân giác hai góc A và B. Qua I vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AB tại M, cắt AC tại N. Chứng minh rằng: MN = BM + CN.
Giải
Ba phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm nên CI là tia phân giác của góc C.
Vì MN // BC nên \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{I_1}}\) (hai góc so le trong)
Mà \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\)nên \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{I_2}}\)
Do đó \(\Delta NIC\) cân và NC = NI (1)
Tương tự, ta có: MB = MI (2)
Tự (1) và (2) ta có:
MI + IN = BM + CN
Hay MN = BM + CN
Bài 1: Cho tam giác vuông ABC \((\widehat A = {90^0})\). Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho \(\widehat {ABC} = 3\widehat {ABD}\). Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho \(\widehat {ACB} = 3\widehat {ACE}.\) Gọi F là giao điểm của BD và CE; I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác BFC.
a. Tính \(\widehat {BFC.}\)
b. Chứng tỏ rằng tam giác DEI là tam giác đều.
Giải
a. Trong tam giác vuông ABC ta có:
\(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {90^0}\)
Vì \(\widehat {ABC} = 3\widehat {ABD}\) nên \(\widehat {DBC} = \frac{2}{3}\widehat {ABC}\)
Tương tự \(\widehat {DBC} = \frac{2}{3}\widehat {ACB}\)
Vậy \(\widehat {DBC} + \widehat {ECB} = \frac{2}{3}(\widehat {ABC} + \widehat {ACB}) = \frac{2}{3}{.90^0} = {60^0}\)
Ta có thể viết: \(\widehat {FBC} + \widehat {FCB} = {60^0}\)
Suy ra: \(\widehat {BFC} = {180^0} - {60^0} = {20^0}\)
b. Ta nhận thấy FI là đường phân giác trong vẽ từ đỉnh F của \(\Delta BFC.\) Mà \(\widehat {BFC} = {120^0}.\)Nên \(\widehat {BFI} = \widehat {IFC} = {60^0}.\) Suy ra \(\widehat {CFD} = {60^0}\). Hai tam giác CFD và CFI bằng nhau vì có \(\widehat {CFD} = \widehat {CFI} = {60^0},\) cạnh CF chung.
\(\widehat {DFC} = \widehat {ICF.}\) Suy ra FD = FI
Chứng minh tương tự ta có: FI = FE.
Ba tam giác cân đỉnh F là BFI, IFE và EFD cùng có góc ở đỉnh bằng \({120^0}\) và các cạnh bên bằng nhau nên ba tam giác ấy bằng nhau từng đôi một.
Suy ra: DI = IE =ED.
Vậy \(\Delta DEI\) là tam giác đều.
Bài 2: Cho tam giác ABC hai đường thẳng phân giác trong của hai góc \(\widehat B\) và \(\widehat C\)cắt nhau ở điểm I và hai đường phân giác ngoài của hai góc ấy cắt nhau ở điểm D. Chứng minh rằng ba điểm A, I, D thẳng hàng.
Giải
Hai phân giác trong của hai góc \(\widehat B\) và \(\widehat C\)cắt nhau tại I nên I phải thuộc phân giác góc \(\widehat A\)
Từ D hạ DH, DK, DJ vuông góc lần lượt với AB, BC, AC.
Ta có: DH = DK (do D thuộc phân giác ngoài của góc B)
Tương tự: \(DK{\rm{ }} = {\rm{ }}DJ \Rightarrow DH = DJ\)
Điều này chứng tỏ D thuộc phân giác góc A hay D thuộc AD.
Vậy A, I, D thẳng hàng.
3. Luyện tập Bài 6 Chương 3 Hình học 7
Qua bài giảng Tính chất ba đường phân giác của tam giác này, các em cần hoàn thành 1 số mục tiêu mà bài đưa ra như :
Các em có thể hệ thống lại nội dung kiến thức đã học được thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 7 Chương 3 Bài 6 cực hay có đáp án và lời giải chi tiết.
Điểm E nằm trên tia phân giác góc A của tam giác ABC ta có:
Cho tam giác ABC có hai đường phân giác CD và BE cắt nhau tại I. Khi đó
Câu 3-5: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Các em có thể xem thêm phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 7 Chương 3 Bài 6để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Bài tập 36 trang 72 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 37 trang 72 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 38 trang 73 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 39 trang 73 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 40 trang 73 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 41 trang 73 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 42 trang 73 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 43 trang 73 SGK Toán 7 Tập 2
Bài tập 45 trang 46 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 46 trang 46 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 47 trang 47 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 48 trang 46 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 49 trang 46 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 50 trang 46 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 51 trang 46 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 52 trang 46 SBT Toán 7 Tập 2
Bài tập 53 trang 46 SBT Toán 7 Tập 2
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 7 DapAnHay
Điểm E nằm trên tia phân giác góc A của tam giác ABC ta có:
Cho tam giác ABC có hai đường phân giác CD và BE cắt nhau tại I. Khi đó
Chọn phát biểu đúng nhất
Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {70^0}\), các đường phân giác BE và CD của góc B và góc C cắt nhau tại I. Tính \(\widehat {BIC}\)
Cho tam giác ABC, các tia phân giác của góc B và A cắt nhau tại điểm O. Qua O kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại M, cắt AC tại N. Cho BM = 2cm, CN = 3cm. Tính MN
Cho tam giác DEF, điểm I nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của nó. Chứng minh I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF
Nêu cách vẽ điểm K ở trong tam giác MNP mà các khoảng cách từ K đến ba cạnh của tam giác đó bằng nhau. Vẽ hình minh họa
Cho hình 38
a) Tính góc KOL
b) Kẻ tia IO, hãy tính góc KIO
c) Điểm O có cách đều ba cạnh của tam giác IKL không? Vì sao?
Cho hình 39.
a) Chứng minh \(\Delta AB{\rm{D}} = \Delta AC{\rm{D}}\)
b) So sánh góc DBC và góc DCB
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng
Hỏi trọng tâm của một tam giác đều có cách đều ba cạnh của nó hay không? Vì sao?
Chứng minh định lí: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.
Gợi ý: Trong tam giác ABC, nếu AD vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác thì kéo dài AD một đoạn \(DA_1\) sao cho \(DA_1=AD\)
Đố: Có hai con đường cắt nhau và cùng cắt một con sông tại hai địa điểm khác nhau (h. 40)
Hãy tìm một địa điểm để xây dựng một đài quan sát sao cho các khoảng cách từ đó đến hai con đường và đến bờ sông bằng nhau
Có tất cả mấy địa điểm như vậy
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác, gọi \(I\) là giao điểm các đường phân giác của tam giác. Chứng minh rằng ba điểm \(A, G, I\) thẳng hàng.
Cho tam giác \(ABC.\) Hãy tìm một điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến mỗi đường thẳng \(AB, BC, CA\) là bằng nhau, đồng thời khoảng cách này là ngắn nhất.
Tam giác \(ABC\) có đường trung tuyến \(AM\) đồng thời là đường phân giác. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác cân.
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Các đường phân giác \(BD, CE\) cắt nhau ở \(K.\) Chứng minh rằng \(AK\) đi qua trung điểm của \( BC.\)
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A, D\) là trung điểm của \(BC.\) Gọi \(E \) và \(F\) là chân các đường vuông góc kẻ từ \(D\) đến \(AB\) và \(AC.\) Chứng minh rằng \(DE = DF.\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(\widehat {A} = 70°,\) các đường phân giác \(BD, CE\) cắt nhau ở \(I.\) Tính \(\widehat {BIC}\).
Tính góc \(A\) của tam giác \(ABC\) biết rằng các đường phân giác \(BD, CE\) cắt nhau tại \(I\) trong đó góc \(BIC\) bằng:
a) \(120°\)
b) \(\alpha \,(\alpha > 90°)\)
Cho tam giác \(ABC.\) Các tia phân giác các góc \(A\) và \(C\) cắt nhau ở \(I.\) Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh \(A\) và \(C\) cắt nhau ở \(K.\) Chứng minh rằng ba điểm \(B, I, K\) thẳng hàng.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Các tia phân giác của các góc \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(I.\) Gọi \(D\) và \(E\) là chân các đường vuông góc kẻ từ \(I\) đến \(AB\) và \(AC.\)
a) Chứng minh rằng \(AD = AE.\)
b) Tính các độ dài \(AD, AE\) biết rằng \(AB = 6cm, AC = 8cm.\)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
Cho tam giác ABC .Các ta phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I.Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A
Câu trả lời của bạn
Từ I hạ các đường vuông góc với các cạnh AB,AC,BC lần lượt tại E,F,G
Vì BI là tia phân giác \(\widehat{ABC}\)
=> \(\widehat{EBI}\) = \(\widehat{GBI}\)
Xét \(\Delta\) EIB vuông tại E và \(\Delta\) GIB vuông tại G có :
chung BI
\(\widehat{EBI}\) = \(\widehat{GBI}\) ( chứng minh trên )
=> \(\Delta\) EIB = \(\Delta\) GIB (ch-gn)
=> IE = IG ( cặp cạnh tương ứng ) (1)
*) Tương tự :
Ta có : IF = IG (2)
Từ (1) và (2) => IE = IF
Xét \(\Delta\) AEI vuông tại E và \(\Delta\) AFI vuông tại F có :
chung AI
IE = IF
=> \(\Delta\) AEI = \(\Delta\) AFI ( ch-cgv)
=> \(\widehat{EAI}\) = \(\widehat{FAI}\) ( cặp góc tương ứng )
=> AI là tia phân giác \(\widehat{EAF}\)
=> AI là tia phân giác \(\widehat{BAC}\)
=> ĐPCM
Nêu cách vẽ điểm K ở trong tam giác MNP mà các khoảng cách từ K đến ba cạnh của tam giác đó bằng nhau.Vẽ hình minh họa
Câu trả lời của bạn
Vẽ điểm K ở trong tam giác MNP mà các khoảng cách từ K đến ba cạnh của tam giác đó bằng nhau tức là K là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác MNP
Vì vậy ta chỉ cần vẽ phân giác của hai trong ba góc của ∆MNP.
+ Hình vẽ:
Chúc pạn hok tốt!!!
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE.Kẻ BH vuông góc với AD, kẻ CK vuông góc với AE. Chứng minh rằng: a)BH=CK b) tam giác ABH=tam giác ACK
Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Chia minh rằng AI là tia phân giác của góc A.Hướng dẫn : Từ I, kẻ các đường vuông góc với các cạnh của tam giác ABC
Câu trả lời của bạn
2) Từ A hạ đường vuông góc với AB,AC,BC lần lượt tại K,H,N
Xét t/g IKB vuông tại K và t/g INB vuông tại N có:
KBI = NBI (gt)
BI là cạnh chung
Do đó, t/g IKB = t/g INB ( cạnh huyền - góc nhọn)
=> IK = IN (2 cạnh tương ứng) (1)
Tương tự: t/g INC = t/g IHC ( cạnh huyền - góc nhọn)
=> IN = IH (2 cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) => IK = IH
Xét t/g AKI vuông tại K và t/g AHI vuông tại H có:
AI là cạnh chung
IK = IH (cmt)
Do đó, t/g AKI = t/g AHI ( cạnh huyền - cạnh góc vuông)
=> KAI = HAI (2 góc tương ứng)
=> AI là phân giác góc BAC (đpcm)
Cho hình 38
a) Tính góc KOL
b) Kẻ tia IO , hãy tính góc KIO
c) Điểm O có cách đề ba cạnh của tam giác IKL ko? Tại sao?
HELP ME!
Câu trả lời của bạn
ta có: \(\widehat{OKL}\)+\(\widehat{KOL}\)+\(\widehat{OLK}\)= \(180^o\)
=> \(\widehat{KLO}\)+\(\widehat{OKL}\)= \(180^o\)- \(\widehat{KOL}\)
=>( \(\widehat{K}\)+ \(\widehat{L}\)) :2 = (\(180^o\)- \(\widehat{KOL}\)) :2
Ta có : \(\widehat{I}\)+\(\widehat{K}\)+\(\widehat{L}\)= \(180^o\)
=> \(\widehat{K}\)+\(\widehat{L}\)= \(180^o\)- \(62^o\)
=> (\(\widehat{K}\)+ \(\widehat{L}\)) : 2 = \(59^o\)
Thay vào trên ta có :(\(180^o\)- \(\widehat{KOL}\)) :2 =\(59^o\)
=> \(180^o\)- \(\widehat{KOL}\)= \(118^o\)
=> \(\widehat{KOL}\)= \(62^o\)
b, Vì điểm O thuộc tia phân giác \(\widehat{K}\)và điểm O cũng thuộc tia phân giác \(\widehat{L}\)
=> điểm O thuộc tia phân giác \(\widehat{I}\)
=> \(\widehat{KIO}\)=\(\widehat{LIO}\)=\(31^o\)
c.Vì điểm O là giao điểm của 3 đường phân giác trong \(\Delta KIL\)
=> điểm O cách đều 3 cạnh \(\Delta KIL\)
19.Cho tam giác ABC có góc A=60 độ, kẻ BD, CE là các tia pg của góc B, góc C(D thuộc AC: E thuộc AB). BD cắt CE tại I.
a)Tính góc BIC
b)Kẻ IF là các tia pg của góc BIC(F thuộc BC). CMR:
+Tam giác BEI = tam giác BFI
+BE+CD=BC
ID=IE=IF
Câu trả lời của bạn
a)
Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác ta có:
\(\widehat {A}\) + \(\widehat {B} + \widehat {C}\) = 180°
hay: 60° + \(\widehat {B} + \widehat {C}\) = 180°
=> \(\widehat {B} + \widehat {C}\) = 180 ° - 60 ° = 120°
Vì \(\widehat {IBF} = \widehat {IBE}; \widehat {ICF} = \widehat {ICD}\) nên:
\(\widehat {IBF} + \widehat {ICF} = 120° : 2 = 60°\)
Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác ta có:
\(\widehat {BIC} = 180° - (\widehat {IBF} + \widehat {ICF})\)
\(\widehat {BIC}=180° - 60° = 120°\)
Vậy \(\widehat {BIC} = 120°\)
b)
Vì IF là tia phân giác của góc BIC nên:
\(\widehat {BIF} = \widehat {FIC} = 120° : 2 = 60°\)
Vì EIB và BIC là 2 góc kề bù nên:
\(\widehat {EIB} = 180° - BIC\)
\(\widehat {EIB} = 180° - 120° = 60°\)
Xét 2 tam giác BEI và BFI ta có:
\(\widehat {EBI} = \widehat {IBF} (gt)\)
BI là cạnh chung
\(\widehat {EIB} = \widehat {BIF} = 60°\) (cmt)
Vậy \(\Delta BEI=\Delta BFI\) (g-c-g).
=> BE = BF (2 cạnh tương ứng).
Ta có:
\(\widehat {FIC} = 60° (cmt)\)
\(\widehat {DIC} + \widehat {BIC} = 180°\) (2 góc kề bù)
hay: \(\widehat {DIC} + 120° = 180°\)
=> \(\widehat {DIC} = 180° - 120° = 60°\)
Xét 2 tam giác DIC và FIC ta có:
\(\widehat {DCI} = \widehat {ICF} (gt)\)
IC là cạnh chung
\(\widehat {FIC} = \widehat {DIC} = 60° (cmt)\)
Vậy \(\Delta DIC=\Delta FIC\) (g-c-g).
=> CD = CF (2 cạnh tương ứng).
Ta có:
BC = BF + CF
Mà BF = BE; CF = CD nên:
BE + CD = BC (đpcm).
1.Cho tam giác đều ABC. Lấy các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho AD=BE=CF. Chứng minh rằng tam giác DÈ là tam giác đều.
2.Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC. Gọi giao điểm của đường thẳng này với AB, AC theo thứ tự là D, E. Chứng minh rằng DE=BD+CE.
3.Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi M là một điểm nằm trên đường tròn, tính số đo góc AMB.
Câu trả lời của bạn
2.
Vì BI là phân giác của góc ABC=>Góc ABI=Góc IBC (1)
Do DE//BC=>Góc DIB=Góc IBC(slt) (2)
Từ (1) và (2)=>Góc ABI=Góc DIB (=Góc IBC)
Xét tam giác DBI có góc DBI=góc DIB
=>Tam giác DBI cân tại D
=>DB=DI(3)
Tương tự:Tam giác IEC cân tại E=>EI=EC(4)
Từ (3) và (4)=>BD+CE=DI+EI
Mà DI+EI=DE
=>BD+CE=DE(đpcm)
cho tam giác,trên tia đối của AB lấy điểm D sao cho AB=AD.lấy G thuộc AC sao cho AG=1/3 AC.tia DG cắt BC ở E.Qua E vẽ đường song song với BD,qua D vẽ đường song song với BC,2 đường thẳng này cắ nhau ở F.
Chứng minh điểm B,G,M thẳng hàng
Câu trả lời của bạn
n co hinh chua z
Cho góc xOy=60, trên tia phân giác của góc xOy lấy điểm H. Từ M kẻ MA vuông góc với Ox( A thuộc Ox), kẻ MB vuông góc với Oy( B thuộc Oy). a, Chứng minh rằng OA=OB và tam giác OAB đều. b, Gọi E là giao điểm của BM và Ox, F là giao điểm của AM và Oy. Chứng minh rằng tam giác BMF=Tam giác AME. c, Gọi H là trung điểm của FE. Chứng minh 3 điểm O, M, H thẳng hàng.
Câu trả lời của bạn
a, xét \(\Delta OMA\) và \(\Delta OMB\) có
OM chung
\(\widehat{AOM}=\widehat{BOM}\) ( OM là tia pg của \(\widehat{AOB}\) )
\(\widehat{A}=\widehat{B}=90^0\)
=> \(\Delta OMA=\Delta OMB\) ( cạnh huyền - góc nhọn )
=> OA = OB => \(\Delta OAB\) cân tại O mà \(\widehat{O}=60^0\)
=> \(\Delta OAB\) đều
b, xét \(\Delta AME\) và có
MA = MB ( câu a )
\(\widehat{AME}=\widehat{BMF}\) ( đối đỉnh )
\(\widehat{A}=\widehat{B}=90^0\)
=> \(\Delta AME=\Delta BMF\) ( cạnh góc vuông - góc nhọn kề )
c, ta có OA = OB
AE =- BF ( câu b )
=> OA + EA = OB + BF
hay OE = OF => \(\Delta OEF\) cân tại O
=> OH là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của \(\widehat{EOF}\)
ta có OM cũng là đường phân giác của \(\widehat{EOF}\)
=> O , M , H thẳng hàng
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC).Gọi M là trung điểm của BH.Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA
a) CMR: tam giác AMH = tam giác NMB và NB vuông góc với BC
b) CMR: AH = NB,từ đó suy ra NB < AB
c) Gọi K là trung điểm của NC. Chứng minh ba điểm A,H,K thẳng hàng
Câu trả lời của bạn
a) Xét tam giác AMH và tam giác NMB có:
AM = MN (gt)
Góc AMH = Góc NMB (2 góc đối đỉnh)
MH = MB ( M là trung điểm của BH)
=> Tam giác AMH = tam giác NMB ( cạnh_góc_cạnh)
=> Góc MHA = góc MBN ( 2 góc tương ứng)
Mà góc MHA vuông
=> Góc MBN cũng vuông
=> NB vuông góc với BC
b) Xét tam giác vuông ABH có:
AH< AB ( AB là cạnh huyền)
Mà AH = NB (tam giác AMH = tam giác NMB)
=> NB< AB
c) Xét tam giác ANC có:
CM là đường trung tuyến thứ nhất
AK là đường trung tuyến thứ 2
Mà CM và AK cắt nhau tại H
=> H là trọng tâm
Mà AK là đường trung tuyến
=> A, H, K thẳng hàng
Cho tam giác ABC vuông tại A đường phân giác BD qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại E cắt BD tại F
Chứng Minh: D là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác AEF
Câu trả lời của bạn
Giúp mk với mai thi rồi
cho tam giác ABC, phân giác góc B, góc C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng BC. Cắt AB ở D, AC ở E
a) CM tam giác BDI cân
b) CM DE=BD+CE
Câu trả lời của bạn
Ta có hình vẽ:
a/ Ta có: BI là phân giác của \(\widehat{B}\)
=> \(\widehat{DBI}=\widehat{IBC}\) (1)
Mà DE // BC => \(\widehat{DIB}=\widehat{IBC}\) (2)
Từ (1),(2) => \(\widehat{DBI}=\widehat{DIB}\)
Vậy tam giác BDI cân tại D
b/ Ta có: CI là phân giác của \(\widehat{C}\)
=> \(\widehat{ECI}=\widehat{ICB}\) (3)
Mà DE // BC => \(\widehat{EIC}=\widehat{ICB}\) (4)
Từ (3),(4) => \(\widehat{ECI}=\widehat{EIC}\)
Vậy tam giác ECI cân tại E
Ta có: tam giác BDI cân tại D
=> DB = DI (*)
Ta có: tam giác ECI cân tại E
=> EC = EI (**)
Từ (*),(**) => DB + EC = DI + EI
hay BD + EC = DI + IE
hay BD + EC = DE
-> Ta có: đpcm.
cho tam giác ABC có góc A=120 độ. hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I a, tính số đo góc BIC b, nối AI kéo dài cắt BC tại F. chứng minh DF vuông góc với FE giúp mk với na các pạn
Câu trả lời của bạn
a)\(\Delta ABC:\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)
Mà \(\widehat{A}=120^o\Rightarrow\widehat{B}+\widehat{C}=60^o\)
Có \(\widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\) ; \(\widehat{ACE}=\widehat{ECB}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}\)
\(\Rightarrow\widehat{ABD}+\widehat{DBC}+\widehat{ACE}+\widehat{ECB}=60^o\)
\(\Rightarrow2\widehat{DBC}+2\widehat{ECB}=60^o\)
\(\Rightarrow\widehat{DBC}+\widehat{ECB}=30^o\)
\(\Delta BIC:\widehat{DBC}+\widehat{ECB}+\widehat{BIC}=180^o\)
Mà \(\widehat{DBC}+\widehat{ECB}=30^o\) \(\Rightarrow\widehat{BIC}=150^o\)
b)Ta vẽ tia đối Ax là tia đối tia AB
Ta có \(\widehat{BAF}=\widehat{FAC}=\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=60^o\) (1)
Thấy\(\widehat{BAC}+\widehat{CAx}=180^o\) (2 góc kề bù)
Mà\(\widehat{BAC}=120^o\Rightarrow\widehat{CAx}=60^o\) (2)
Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\) \(\widehat{FAC}=\widehat{CAx}=60^o\)
Nên AC là tia phân giác \(\widehat{FAx}\)
\(\Delta ABF:\)BD là tia phân giác \(\widehat{ABC}\)(tia p/g trong)
AC là tia phân giác \(\widehat{FAx}\) (tia p/g ngoài)
Mà AC,BD,FD đồng quy tại D
Theo t/c 1 đường p/g trong và 2 đường p/g ngoài không kề nó đồng quy tại 1 điểm nên FD là tia phân giác \(\widehat{AFC}\) (cái này là nó được c/m ở SGK bài 32 đó bạn)
Làm tương tự ta cũng được FE là tia phân giác \(\widehat{AFB}\) (bạn sử dụng tam giác AFC ý)
Ta có \(\widehat{AFB}+\widehat{AFC}=180^o\) (2 góc kề bù)
Ta cũng có \(\widehat{BFE}=\widehat{EFA}=\dfrac{\widehat{AFB}}{2}\) ; \(\widehat{AFD}=\widehat{DFC}=\dfrac{\widehat{AFC}}{2}\)
\(\Rightarrow\widehat{BFE}+\widehat{EFA}+\widehat{AFD}+\widehat{DFC}=180^o\)
Haitia phân giác trong của góc B và góc C của tam giác ABC cắt nhau tại O, biết góc BOC= 130 độ. tính góc A
Câu trả lời của bạn
Hình vẽ thì bạn tự vẽ nha
Giải:
Trong \(\Delta OBC:\widehat{BOC}+\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=180^o\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=180^o-\widehat{BOC}=50^o\)
Mà \(\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=\frac{\widehat{ABC}}{2}+\frac{\widehat{ACB}}{2}=\frac{\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)}{2}\)
Nên \(\frac{\widehat{ABC}}{2}+\frac{\widehat{ACB}}{2}=50^o\)
\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=100^o\)
Trong \(\Delta ABC:\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BAC}=180^o-\left(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BAC}=180^o-100^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BAC}=80^o\)
cho tam giác ABC cân tại A . Phân giác góc B cắt AC tại N,phân giác góc C cắt AB tại M.
a)c/m : MN//BC
Câu trả lời của bạn
Cho tam giác MNP.Vẽ hai đường phân giác MK và NH cắt nhau tại I.Cho góc NMP bằng 700,góc MNP bằng 400.Hãy tính số đo góc IPH
Câu trả lời của bạn
Ta có: MIlà đường phân giác \(\widehat{M}\)
NI là đường phân giác \(\widehat{N}\)
=>PI là đường phân giác góc P (đường phân giác thứ 3)
Ta có: \(\widehat{M}\)+\(\widehat{N}\)+\(\widehat{P}\)=180o
=>700+400+\(\widehat{P}\)=180o
=>1100 +\(\widehat{P}\)=1800
=> \(\widehat{P}\) =70o
mà PI là đường phân giác góc P
=> IPH=IPK= (Góc P):2=35o
cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác đó. Chúng minh am giác ABD = tam giác ACD ; So sánh góc DBC và góc DCB
Câu trả lời của bạn
pạn tự vẽ hình nhé!
Vì AD là tia phân giác của góc BAC
=> góc BAD= góc CAD
Xét tam giác ABD và tam giác ACD có:
AB = AD ( vì tam giác ABC cân tại A)
góc BAD = góc CAD( cmt)
AD- cạnh chung
=> tam giác BAD = tam giác CAD( c.g.c)
=> góc ABD = góc ACD
Mà góc ABC = góc ACB(vì tam giác ABC cân tại A)
=> góc ABC - góc ABD = góc ACB - góc ACD
=> góc DBC = góc DCB
Cho ΔABC có góc A=60độ. Hai tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I. Tính số đo góc BIC.
Câu trả lời của bạn
Hình tự vẽ
ΔABC có: ∠A+∠ABC+∠ACB= 180o (định lí tổng 3 góc của 1 t/g)
60o+∠ABC+∠ACB=180o
∠ABC+∠ACB=180o-60o
=> \(\left(\dfrac{1}{2}.ABC\right).2+\left(\dfrac{1}{2}ACB\right).2=120^o\)
∠IBC.2 + ∠ICB.2 = 120o
=> (∠IBC+∠ICB) .2 = 120o
(∠IBC+∠ICB) = 120o:2
∠IBC+∠ICB = 60o
Mà ΔIBC có:∠BIC+∠IBC+∠ICB = 180o(đlí tổng 3 góc của 1 t/g)
=> ∠BIC+ 60o = 180o
∠BIC = 180o-60o
∠BIC = 120o
Vậy ∠BIC=120o
Cho tam giác ABC,các đường phân giác trong của tam giác là AM,BN,CP đồng qui tại I. CMR: \(\dfrac{AI.BI.CI}{AM.BN.CP}\)\(\leq\) \(\dfrac{8}{27}\).
Mọi người giúp mình bài này với. Các CTV giúp mình với @Ace Legona,Phương An, Akai Haruma, @Neet
Câu trả lời của bạn
Vì BI là đường phân giác trong của tam giác ABM nên ta có :
\(\dfrac{AB}{BM}=\dfrac{AI}{IM}\Rightarrow\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{AB}{AB+BM}\)(1)
Vì CI là đường phân giác trong của tam giác ACM nên ta có :
\(\dfrac{AC}{CM}=\dfrac{AI}{IM}\Rightarrow\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{AC}{AC+CM}\)(2)
Từ (1) và (2) , ta suy ra :
\(\dfrac{AI}{AM}=\dfrac{AB}{AB+BM}=\dfrac{AC}{AC+CM}=\dfrac{AB+AC}{AB+BM+AC+CM}=\dfrac{AB+AC}{AB+BC+CA}\)
Chứng minh tương tự ta có :\(\dfrac{BI}{BN}=\dfrac{AB+BC}{AB+BC+CA}\)
\(\dfrac{CI}{CP}=\dfrac{BC+CA}{AB+BC+CA}\)
Do đó :\(\dfrac{AI.BI.CI}{AM.BN.CP}=\dfrac{\left(AB+AC\right)\left(AB+BC\right)\left(CA+BC\right)}{\left(AB+BC+CA\right)^3}\)
Đặt AB=a(a>o);BC=b(b>0);CA=c(c>0)
Khi đó :\(\dfrac{AI.BI.CI}{AM.BN.CP}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{\left(a+b+c\right)^3}\le\dfrac{\dfrac{\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]^3}{27}}{\left(a+b+c\right)^3}=\dfrac{\dfrac{8}{27}\left(a+b+c\right)^3}{\left(a+b+c\right)^3}=\dfrac{8}{27}\)(AM-GM )
Dấu "=" xảy ra khi :a=b=c
\(\Leftrightarrow AB=BC=CA\)
\(\Leftrightarrow\Delta ABC\) đều
1. Tam giác ABC vuông tại A , AB = 3cm , AC = 4cm .
a) Tính BC và so sánh các góc của tam giác ABC .
b) Kẻ BD là tia phân giác của góc ABC ( D thuộc AC ) . Kẻ DK vuông góc BC . Chứng minh tam giác ABK cân.
c) Gọi E là giao điểm của BA và KD . Chứng minh BD là đường trung trực của CE .
HELP ME !!!!!!!!!!!!
Câu trả lời của bạn
a.
Ta có tam giác ABC vuông tại A
=> BC2 = AB2 + AC2
=> BC2 = 32 + 42
=> BC = 5 (cm)
Ta có: AB = 3; AC = 4; BC = 5
=> BC > AC > AB
=> A > B > C
b.
Xét tam giác ABD và tam giác AKD có:
góc A = K = 90o
BD chung
góc ABD = DBK (gt)
Do đó: tam giác ABD = AKD
=> AB = AK ( 2 cạnh tương ứng)
Suy ra tam giác ABK cân tại B
c.
Xét tam giác BEC có: EK vuông góc BC
CA vuông góc BA
EK cắt CA tại D
=> D là trực tâm
suy ra BD cũng vuông góc với CE
Xét tam giác ADE vuông tại A và tam giác KDC vuông tại K có:
AD = DK ( Tam giác ABD = AKD)
góc ADE = KDC ( đối đỉnh)
Do đó: tam giác ADE = KDC ( cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
=> AE = KC ( 2 cạnh tương ứng)
Ta có: BE = AE + AB
BC = BK + KC
Mà: AE = BK ; AB = KC
=> BE = BC
Suy ra tam giác BEC cân tại B
Ta có: BD là đường phân giác đồng thời cũng là đường cao
=> BD cũng là đường trung tuyến
Suy ra: BD là đường trung trực của CE
Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I (D thuộc AC; E thuộc AB). C/minh:
a, BD = CE
b, AI là phân giác của góc A
c, BE = ED = DC
Câu trả lời của bạn
Chứng minh :
a/
Vì BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\)
\(\Rightarrow\widehat{B1}=\widehat{B2}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\)(1)
Vì CE là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\)
\(\Rightarrow\widehat{C1}=\widehat{C2}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}\) (2)
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) ( t/c t/g cân )
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{B1}=\widehat{C1}=\widehat{B2}=\widehat{C2}\)
Xét △ABD và △ACE có :
\(\widehat{BAC}\) - góc chung
AB = AC ( t/c t/g cân )
\(\widehat{B1}=\widehat{C1}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACE\left(g.c.g\right)\)
⇒ BD = CE ( tương ứng )
b/ Nối A -> I
Có \(\widehat{B2}=\widehat{C2}\left(cmt\right)\)
⇒ △IBC cân tại I
\(\Rightarrow IB=IC\) ( t/c t/g cân )
Xét △ABI và △ACI có:
AB = AC ( t/c t/g cân )
\(\widehat{B1}=\widehat{C1}\left(cmt\right)\)
BI = CI ( cmt )
⇒ △ABI = △ACI ( c.g.c )
\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) ( tương ứng )
Mà AI nằm giữa AB và AC
⇒ AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\)
c/
Nối E với D
Xét △EBC và △DCB có :
\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\) ( t/c t/g cân )
BC - cạnh chung
\(\widehat{C2}=\widehat{B2}\) ( cmt )
⇒ △EBC = △DCB ( g.c.g )
⇒ EB = DC ( tương ứng )
*) E ϵ AB ⇒ E nằm giữa A và B
⇒ AE + EB = AB
⇒ AE = AB - EB
*) D ϵ AC ⇒ D nằm giữa A và C
⇒ AD + DC = AC
⇒ AD = AC - DC
Mà AB = AC ( cmt ) ; EB = DC ( cmt )
⇒ AE = AD
⇒ △AED cân tại A
*)Xét △AED
\(\widehat{AED}=\widehat{ADE}=\dfrac{180^o-\widehat{EAD}}{2}\) ( 3 )
*) Xét △ABC
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^o-\widehat{EAD}}{2}\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{ACB}\)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị
⇒ ED // BC ( dấu hiệu nhận biết )
\(\Rightarrow\widehat{EDB}=\widehat{B2}\) ( so le trong )
Mà \(\widehat{B2}=\widehat{B1}\Rightarrow\widehat{B1}=\widehat{EDB}\)
\(\Rightarrow\Delta EBD\text{ cân tại E}\)
⇒ EB = ED ( t/c t/g cân )
Mà EB = CD ⇒ EB = ED = CD
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *