Cho tam giác \(ABC.\) Hãy tìm một điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến mỗi đường thẳng \(AB, BC, CA\) là bằng nhau, đồng thời khoảng cách này là ngắn nhất.
Hướng dẫn giải
Sử dụng:
+) Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
+) Một điểm nằm trong góc và cách đều hai cạnh của một góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
Lời giải chi tiết
Nếu O là điểm nằm trong ∆ABC
Kẻ \(OH \bot AB,OK \bot BC,OI \bot {\rm{A}}C\)
Vì điểm O cách đều các đường thẳng AB, BC, CA.
\( \Rightarrow \) OH = OK = OI
OH = OK
\( \Rightarrow \) O nằm trên tia phân giác \(\widehat {ABC}\)
OI = OK
\( \Rightarrow \) O nằm trên tia phân giác \(\widehat {ACB}\)
Vậy O là giao điểm các đường phân giác của ∆ABC.
Nếu O’ nằm ngoài ∆ABC
Kẻ \(O'D \bot AB,O'E \bot BC,O'F \bot {\rm{AC}}\)
\( \Rightarrow \) O'D = O'E = O'F
O'D = O'F
\( \Rightarrow \) O nằm trên tia phân giác \(\widehat {BAC}\)
O’D = O’E
\( \Rightarrow \) O’ nằm trên tia phân giác \(\widehat {DBC}\)
\( \Rightarrow \) O’ là giao điểm phân giác trong của \(\widehat {BAC}\) và phân giác ngoài tại đỉnh D. nên A, O, O’ thẳng; A, H, D thẳng hàng.
Ta có: OH < O’D
Vậy O là giao điểm các đường phân giác trong của ∆ABC cách đều ba đường thẳng AB, BC, CA và ngắn nhất.
-- Mod Toán 7