Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Các tia phân giác của các góc \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(I.\) Gọi \(D\) và \(E\) là chân các đường vuông góc kẻ từ \(I\) đến \(AB\) và \(AC.\)
a) Chứng minh rằng \(AD = AE.\)
b) Tính các độ dài \(AD, AE\) biết rằng \(AB = 6cm, AC = 8cm.\)
Hướng dẫn giải
Sử dụng:
+) Tính chất đường phân giác của góc: Các điểm nằm trên đường phân giác của một góc cách đều hai cạnh của góc đó.
+) Ba đường phân giác trong tam giác cắt nhau tại một điểm.
+) Tính chất hai tam giác bằng nhau
Lời giải chi tiết
a) I là giao điểm phân giác trong của \(\widehat B\) và \(\widehat C\) nên AI là tia phân giác của Â.
\( \Rightarrow \) ID = IE (tính chất tia phân giác) (1)
∆ADI vuông tại D có \(\widehat {DAI} = 45^\circ \)
Nên ∆ADI vuông cân tại D.
\( \Rightarrow \) ID = DA (2)
∆AEI vuông tại E có \(\widehat {E{\rm{A}}I} = 45^\circ \)
Nên ∆ AEI vuông cân tại E
\( \Rightarrow \) IE = AE (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: AD = AE
b) Trong tam giác vuông ABC có Â=90°
Theo định lý Pitago ta có:
\(\eqalign{
& B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr
& B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100 \cr} \)
\( \Rightarrow \) BC = 10 (cm)
Kẻ \(IF \bot BC\)
Xét hai tam giác vuông IDB và IFB:
\(\eqalign{
& \widehat {IDB} = \widehat {IFB} = 90^\circ \cr
& \widehat {DBI} = \widehat {FBI}\left( {gt} \right) \cr} \)
Cạnh huyền BI chung
Do đó: ∆IDB = ∆IFB (cạnh huyền, góc nhọn)
\( \Rightarrow \) DB = FB (4)
Xét hai tam giác vuông IEC và IFC:
\(\eqalign{
& \widehat {IEC} = \widehat {IFC} = 90^\circ \cr
& \widehat {ECI} = \widehat {FCI}\left( {gt} \right) \cr} \)
Cạnh huyền CI chung
Do đó: ∆IEC = ∆IFC (cạnh huyền, góc nhọn)
\( \Rightarrow \) CE = CF (5)
AD + AE = AB – DB + AC – CE
\( \Rightarrow \) AD + AE = AB + AC – (DB + CF) (6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra:
AD + AE = AB + AC – (FB + FC) = AB + AC – BC
AD + AE = 6 + 8 – 10 = 4 (cm)
Mà AD = AE (chứng minh trên)
\( \Rightarrow \) AD = AE = 4: 2 = 2 (cm)
-- Mod Toán 7